博兴县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

博兴县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
y x 82
=l l ，则（ ）
FQ PF 2==QF A ．6
B ．3
C ．
D ．
3
83
4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
2． 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则
{}n a 12a =114
n n n n a a a a ++-=
+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n （ ）
n =A ．
B ．
C ．
D ．3536120
121
3． 已知圆方程为，过点与圆相切的直线方程为（ ）
C 2
2
2x y +=(1,1)P -C A ． B ．
C ．
D ．20x y -+=10x y +-=10x y -+=20
x y ++=4． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A
．4
B ．8
C ．12
D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．5． 已知函数f （x ）的定义域为[a ，b]，函数y=f （x ）的图象如下图所示，则函数f （|x|）的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知在平面直角坐标系中，点，（）.命题：若存在点在圆
xOy ),0(n A -),0(n B 0>n p P 上，使得，则；命题：函数在区间1)1(3(22=-++y x 2
π
=
∠APB 31≤≤n x x
x f 3log 4
)(-=
内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
)4,3(A ．
B ．
C ．
D ．)(q p ⌝∧q p ∧q p ∧⌝)(q
p ∨⌝)(7． 已知直线 a A 平面α，直线b ⊆平面α，则（ ）
A ．
B ．与异面
C ．与相交
D ．与无公共点
a b A 8． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在
9． 已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列
{}n a 22(2,log )M a 25(5,log )N a 1y x =-的前项和为（
）
{}n a n A ．
B ．
C ．
D ．22n
-1
2
2n +-21n
-1
2
1
n +-
10．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
11．一个骰子由六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ）1~6A ．6
B ．3
C ．1
D ．2
12．十进制数25对应的二进制数是（ ）A ．11001B ．10011
C ．10101
D ．10001
二、填空题
13．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．
14．在中，有等式：①；②；③；④
ABC ∆sin sin a A b B =sin sin a B b A =cos cos a B b A =.其中恒成立的等式序号为_________.sin sin sin a b c
A B C
+=+15．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
16．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和
．例如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：1=++++++++
++++，其中m，n∈N*，则m+n= ．
17．在（2x+）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
18．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日1235000
2015年5月15日4835600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
三、解答题
19．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法
知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：
甲单位8788919193
乙单位8589919293
（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的
掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的
分数差至少是4的概率.
20．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，40：59岁之间进行了统计，相关数据如下：100﹣500元600﹣1000总计20﹣391061640﹣59151934总计
25
25
50
（1）用分层抽样的方法在缴费100：500元之间的村民中随机抽取5人，则年龄在20：39岁之间应抽取几人？（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．
21．（本小题满分12分）
已知平面向量，，.
(1,)a x = (23,)b x x =+-
()x R ∈（1）若，求；
//a b ||a b -
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
22．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值﹣1
的一个特征向量=，=
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M5．
23．在2014﹣2015赛季CBA常规赛中，某篮球运动员在最近5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：2分球3分球
第1场10投5中4投2中
第2场13投5中5投2中
第3场8投4中3投1中
第4场9投5中3投0中
第5场10投6中6投2中
（1）分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率；
（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．
24．平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；
（2）圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交请说明理由．
博兴县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
解析：抛物线C ：的焦点为F （0，2），准线为：y=﹣2，
y x 82
=l 设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
2． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114n n n n
a a a a ++-=
+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得
2
2
14n n a a +-={}
2
n a 442
44(1)4n a n n =+-=0n a >
．
，∴数列的前项和为
n
a
=111
2n n a a +==+11n n a a +⎧⎫⎨
⎬+⎩⎭
n ，∴
，选C
．1111
1)1)52222
+++=-= 120n
=3． 【答案】A 【解析】
试题分析：圆心，设切线斜率为，则切线方程为，由
(0,0),C r =
1(1),10y k x kx y k -=+∴
-++=，所以切线方程为
，故选A.
,1d r k =∴=20x y -+=考点：直线与圆的位置关系．4． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长，宽的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
62，故选C.123123
1
=⨯⨯5． 【答案】B
【解析】解：∵y=f （|x|）是偶函数，
∴y=f （|x|）的图象是由y=f （x ）把x ＞0的图象保留，x ＜0部分的图象关于y 轴对称而得到的．故选B ．
【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f （x ）的图象和函数f （|x|）的图象之间的关系，函数y=f （x ）的图象和函数|f （x ）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题：,则以为直径的圆必与圆有公共点,所以
p 2
π
=
∠APB AB ()()
113
2
2
=-++y x ,解得,因此,命题是真命题.命题：函数，,121+≤≤-n n 31≤≤n p ()x
x
x f 3
log 4-=
()0log 1443<-=f ,且在上是连续不断的曲线,所以函数在区间内有零点，因此,命题是()0log 3
4
333>-=
f ()x f []4,3()x f ()4,3假命题.因此只有为真命题．故选A ．)(q p ⌝∧考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点满足,因此在以为直径的圆上,又点在圆
P 2
π
=
∠APB AB P 上，因此为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
1)1(3(22=-++y x P 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
x x
x f 3log 4
)(-=7． 【答案】D 【解析】
试题分析：因为直线 a A 平面α，直线b ⊆平面α，所以或与异面，故选D.//a b 考点：平面的基本性质及推论.8． 【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tan θ=﹣2，即可判断出结论．【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tan θ=﹣2，则θ为钝角．故选：C ．9． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴
n 22log 1a =25log 4a =,,∴,，数列的前项和为，选C ．
22a =516a =11a =2q ={}n a n 21n -10．【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x ×0.1=0.5，所以x 为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C ．　
11．【答案】A
【解析】
试题分析：根据与相邻的数是，而与相邻的数有，所以是相邻的数，故“？”表示的数是，1,4,31,2,51,3,5故选A ．
考点：几何体的结构特征．12．【答案】A
【解析】解：25÷2=12...112÷2=6...06÷2=3...03÷2=1...11÷2=0 (1)
故25（10）=11001（2）故选A ．
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键．　
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵=1﹣bi ，∴a=（1+i ）（1﹣bi ）=1+b+（1﹣b ）i ，
∴
，解得b=1，a=2．∴|a ﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．　
14．【答案】②④【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知，推出或，所以三角形为等腰三角
sin sin a A b B =A B =2
A B π
+=
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，，即恒成立，所以是正
sin sin a B b A =sin sin sin sin A B B A =确的；对于③中，，可得，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由cos cos a B b A =sin()0B A -=正弦定理以及合分比定理可知
是正确，故选选②④．1sin sin sin a b c
A B C
+=+考点：正弦定理；三角恒等变换．15．【答案】　9　．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，
所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．
故答案为：9
16．【答案】　33　．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
17．【答案】　240　
【解析】解：由（2x+）6，得
=．
由6﹣3r=0，得r=2．
∴常数项等于．
故答案为：240．
18．【答案】　8　升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．
故答案是：8．
三、解答题
19．【答案】（1）,,,，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）.90=甲x 90=乙x 5242=
甲s 82=乙s 21【解析】试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件10用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.试题解析：解：（1），90939191888751
=++++=）（甲x 9093929189855
1=++++=）（乙x 5
24])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222=-+-+-+-+-=甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(5
1222222=-+-+-+-+-=乙s ∵，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
8524<考
点：1.平均数与方差公式；2.古典概型．
20．【答案】
【解析】解：（1）设抽取x 人，则
，解得x=2，
即年龄在20：39岁之间应抽取2人．
（2）设在缴费100：500元之间抽取的5人中，年龄在20：39岁年龄的两人为A ，B ，在40：59岁之间为a ，b ，c ，
随机选取2人的情况有（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共10种，
年龄都在40：59岁之间的有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3种，
则对应的概率P=．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，以及古典概型的计算，利用列举法是解决本题的关键．
21．【答案】（1）2或2）．
(1,0)(0,3)- 【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量的夹角为锐角的充要条件是且不共线，由此可得范围．,a b 0a b ⋅> ,a b 试题解析：（1）由，得或，//a b 0x =2x =-当时，，，0x =(2,0)a b -=- ||2a b -=
当时，，.2x =-(2,4)a b -=- ||a b -= （2）与夹角为锐角，，，，0a b ∙> 2230x x -++>13x -<<又因为时，，
0x =//a b 所以的取值范围是.
(1,0)(0,3)- 考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式，当为锐角时，，但当cos a b a b θ⋅= cos 0θ>cos 0
θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是且不同0a b a b
⋅> ,a b 向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是且不反向．0a b a b
⋅< ,a b 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设M=
则=4=，∴①
又=（﹣1）=，∴
②由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=
；
（Ⅱ）易知=0•+（﹣1），
∴M5=（﹣1）6=．
【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．
23．【答案】
【解析】解：（1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：
=，
3分球的命中率为：=．
（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3分球命中的概率分别为，，
ξ的可能取值为0，2，3，5，
P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=（1﹣）×=，
P（ξ=5）==，
∴该运动员在最后1分钟内得分ξ的分布列为：
ξ0235
P
∴该运动员最后1分钟内得分的数学期望为Eξ==2．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）由圆C1的参数方程为（φ为参数），可得普通方程：（x﹣2）2+y2=4，即x2﹣4x+y2=0
．
由圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为ρ2=4ρsinθ，∴直角坐标方程为x2+y2=4y．
（2）联立，解得，或．
∴圆C1与圆C2相交，交点（0，0），（2，2）．
公共弦长=．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。