周测2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

周测2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
(时间：60分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．命题“∀x ∈R ，x 2＋3x －1≥0”的否定是( )
A ．∃x ∈R ，x 2＋3x －1<0
B ．∃x ∈R ，x 2＋3x －1≥0
C ．∃x ∈R ，x 2＋3x －1≤0
D ．∀x ∈R ，x 2＋3x －1<0
答案 A
解析 由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为∃x ∈R ，x 2＋3x －1<0.
2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，
∴x (y －2)＝0，充分性成立．
反之，x (y －2)＝0，
即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立，必要性不成立．
3．下列各命题中，是存在量词命题且为假命题的是( )
A ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0
B ．所有正方形都是矩形
C ．∃x ∈R ，使x 2－x ＋14
≤0 D ．∃x ∈R ，使x 2＋2x ＋2＝0
答案 D
解析 A 是存在量词命题，且存在x ＝－1，使x 3＋1＝0，故A 不符合题意； B 是全称量词命题，故B 不符合题意；
C 是存在量词命题，且存在x ＝12，使x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭
⎫x －122＝0，故C 不符合题意； D 是存在量词命题，且x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>0恒成立，故D 符合题意．
4．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．0<a <4
B ．a >4
C ．a <0
D ．a ≥4
答案 B
解析 ∵p 是假命题，
∴方程x 2＋4x ＋a ＝0没有实数根，
即Δ＝16－4a <0，即a >4.
5．已知p ：4x －m <0，q ：1≤3－x ≤4，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为( )
A ．{m |m ≥8}
B ．{m |m >8}
C ．{m |m >－4}
D ．{m |m ≥－4} 答案 B
解析 由4x －m <0，得x <m 4
. 由1≤3－x ≤4，得－1≤x ≤2.
∵p 是q 的必要不充分条件，
∴{x |－1≤x ≤2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x <m 4， ∴m 4
>2，即m >8. 6．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )
A ．m >－1，n <5
B ．m <－1，n <5
C ．m >－1，n >5
D ．m <－1，n >5
答案 A
解析 由题意知，∁U B ＝{(x ，y )|x ＋y －n >0}，
由P (2，3)∈A ∩(∁U B )， 得⎩
⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m >0，2＋3－n >0，解得⎩⎨⎧
m >－1，n <5. 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的
得2分，有选错的得0分)
7．下列说法正确的是( )
A ．“对任意一个无理数x ，x 2也是无理数”是真命题
B ．“xy >0”是“x ＋y >0”的充要条件
C ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1＝0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≠0”
D ．“1<x <3”是“x ≥0”的充分不必要条件
答案 CD
解析 x ＝2是无理数，x 2＝2是有理数，A 错；
当x ＝－1，y ＝－2时，xy >0，但x ＋y ＝－3<0，不是充要条件，B 错；
命题“∃x ∈R ，x 2＋1＝0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≠0”，C 正确；
因为1<x <3⇒x ≥0，但x ≥0不能推出1<x <3，所以“1<x <3”是“x ≥0”的充分不必要条件，D 正确．
8．下列命题中为真命题的是( )
A ．“a －b ＝0”的充要条件是“a b
＝1” B ．“a >b ”是“1a <1b
”的既不充分也不必要条件 C ．命题“∃x ∈R ，x 2－2x <0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－2x ≥0”
D ．“a >2，b >2”是“ab >4”的必要条件
答案 BC
解析 对于A ，当b ＝0时，a b
不存在，A 错误； 对于B ，当a ＝1，b ＝－1时，满足a >b ，但不满足1a <1b
，故充分性不成立；当a ＝－2，b ＝1时，满足1a <1b
，但不满足a >b ，故必要性不成立，B 正确； 对于C ，根据命题的否定的定义知C 正确；
对于D ，“a >2，b >2”是“ab >4”的充分条件，不是必要条件，D 错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．“|x －1|<2成立”是“0<x <3成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 必要不充分
解析 ∵|x －1|<2成立⇔－1<x <3成立，
又－1<x<3⇏0<x<3，0<x<3⇒－1<x<3，
∴“|x－1|<2成立”是“0<x<3成立”的必要不充分条件．
10．若命题“∃x∈R，x2＋3≤m”为假命题，则满足条件的自然数m的全部取值为________．答案0，1，2
解析因为x2＋3≥3，
又命题“∃x∈R，x2＋3≤m”为假命题，
所以“∀x∈R，x2＋3>m”为真命题，
所以m<3，
因为m为自然数，
所以m的取值为0，1，2.
11．若“x>2m－3”是“－1<x<4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案{m|m≤1}
解析依题意，可得{x|－1<x<4}{x|x>2m－3}，
所以2m－3≤－1，解得m≤1.
12．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案{a|a>1}
解析∵命题p为假命题，
∴命题綈p为真命题，
又命题綈p：∀x∈R，ax2＋2x＋1>0，
∴ax2＋2x＋1>0对∀x∈R恒成立，
当a>0时，Δ＝4－4a<0，解得a>1；
当a＝0时，不等式化为2x＋1>0，不恒成立；
当a<0时，不等式ax2＋2x＋1>0不恒成立，
故实数a的取值范围是{a|a>1}．
四、解答题(本大题共3小题，共40分)
13．(12分)已知集合A＝{x|2a－1<x<a＋1}，B＝{x|0≤x≤1}．
(1)(5分)在①a＝－1，②a＝0，③a＝1这三个条件中选择一个条件，求A∪B；
(2)(7分)若“x∈A”是x∈∁R B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)选择①：当a ＝－1时，A ＝{x |－3<x <0}，
因为B ＝{x |0≤x ≤1}，
所以A ∪B ＝{x |－3<x ≤1}．
选择②：当a ＝0时，A ＝{x |－1<x <1}，
因为B ＝{x |0≤x ≤1}，
所以A ∪B ＝{x |－1<x ≤1}．
选择③：当a ＝1时，A ＝{x |1<x <2}，
因为B ＝{x |0≤x ≤1}，
所以A ∪B ＝{x |0≤x <2}．
(2)因为B ＝{x |0≤x ≤1}，
所以∁R B ＝{x |x <0或x >1}，
因为x ∈A ，
所以集合A ＝{x |2a －1<x <a ＋1}不是空集，
即2a －1<a ＋1，解得a <2.
因为“x ∈A ”是x ∈∁R B 的充分不必要条件，
所以集合A 是集合∁R B 的真子集，
即a ＋1≤0或2a －1≥1，
解得a ≤－1或a ≥1.
综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤－1或1≤a <2}．
14．(13分)已知命题p ：“∀x ∈R ，－1≤x ≤1，不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．
(1)(6分)求实数m 的取值范围；
(2)(7分)若命题q ：－4<m －a <4是命题p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知命题p ：“∀x ∈R ，－1≤x ≤1，不等式x 2－x －m <0成立”是真命题． 所以m >x 2－x 在－1≤x ≤1上恒成立，
即m >(x 2－x )max ，－1≤x ≤1，
因为x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14
，
所以－14
≤x 2－x ≤2，即m >2， 所以实数m 的取值范围是m >2.
(2)由命题p 得，设A ＝{m |m >2}，
由q 得，设B ＝{m |a －4<m <a ＋4}，
因为命题q 是命题p 的充分不必要条件，
所以q ⇒p ，但p ⇏q ，所以B A ，
所以a －4≥2，即a ≥6，
所以实数a 的取值范围是a ≥6.
15．(15分)设集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}，B ＝{x |x <2a 或x >－a }(a <0)．
(1)(7分)设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；
(2)(8分)是否存在实数a ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)因为集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}，B ＝{x |x <2a 或x >－a }(a <0)，且命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，
则綈p 中x 的取值构成的集合为P ＝{x |－2<x <3}，
綈q 中x 的取值构成的集合为Q ＝{x |2a ≤x ≤－a }(a <0)，
又綈p 是綈q 的充分不必要条件，于是得P Q ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a ≤－2，
－a ≥3，解得a ≤－3，
所以实数a 的取值范围为{a |a ≤－3}．
(2)不存在．理由：
根据充要条件的定义知，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件为当且仅当A ＝B ，
而集合A 中x 可以取到端点值－2，3，集合B 中x 不能取到端点值2a ，－a (a <0)， 于是得无论a 取何值，都有A ≠B ，
所以不存在实数a ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件．。