瑕积分的收敛判别法专题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

2o
若 b a
f
( x)dx 发散
b
a
g( x)dx 发散.
常用旳比较对象：
b dx
当 p 1 时收敛；
a ( x a) p (a 0) 当 p 1 时发散．
4. 定理4.4（比较鉴别法极限形式）
设f ( x), g( x) 0, 且 lim f ( x) l，则 xa g( x)
1
lim
0
b
f ( x)dx lim
a
0
1
ba 1
f (a
1) y
1 y2
dy
1 ba
f
(a
1) y
1 y2
dy
瑕积分 无穷积分
约定 : 积分下限a是瑕点, f ( x), g( x) R[a ,b]
瑕积分与无穷积分有平行旳理论和成果 .
二. 瑕积分旳性质
性质１若f1 (
x),
f1 ( x)的瑕点同为x
1)3
3 3 2,
3 dx
0
2
( x 1)3
3(1 3
2).
例3
计算广义积分
2 1
dx . x ln x
解
2 dx
2 dx
1
x ln x
lim 0
1
x ln x
lim 0
2 1
d(ln x) ln x
lim ln(ln
0
x)
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
所以第一个积分当 s 0时收敛.
当x 时, x 2e x x s1 0,
所以第二个积分不论 s为何值都收敛 .
因此原积分当 s 0时收敛.
该积分定义了一个以 s为变量的函数(s).
函数
－函数旳几种主要性质：
１．递推公式 (s 1) s(s) (s 0). ２．当 s 0 时，(s) . 3．余元公式 (s)(1 s) (0 s 1).
x
1,
m
2
1,
m
3
收敛
由于
sin2 x xm
1 xm
，m
1
收敛
m
sin2 x 1, xm
1 cos 2x 2xm
发散
例9
设p 0,
讨论积分
1 0
sixnp1xdx的敛散性.
解： 易见 x 0 是瑕点, 作变换 1 t, 得
x
1
0
sin xp
1
xdx
1
sin tdt, t 2 p
1o. 当p 2时, 积分发散.
绝对收敛
,
所以 I2条件收敛.
故 I当0 1 时条件收敛 .
2
例12
讨论积分
＋
0
arctan xp
x
dx的收敛性
.
解：
原积分＝01
arctan xp
x
dx
＋
1
arctan xp
x
dx
由arctan x ~ 1 ( x 0)可知,
xp
x p1
当 p 2时第一项积分收敛；
由arctan x ~ ( x )可知，
xp
2x p
当 p 1时第二项积分收敛 .
所以当1 p 2时积分收敛，其他情况 发散.
例13
讨论积分
＋
0
e sin
x cos xp
x
dx的敛散性
.
解：原积分＝01
e sin
x cos xp
x
dx
＋
1
e sin
x cos xp
x
dx
由esin x cos x ~ 1 ( x 0)可知，
xp
xp
t 2 p
t 2 p
3o. 当1 p 2时, 积分条件收敛 .
当1 p 2时, t p2单调地趋于0,
由Dirichlet判别法, 积分收敛.
而此时
,
1
|
sint t 2-p
|dt是发散的,
所以
例10判断积分
1
0
ln 1
x x
2
dx的敛散性
.
解： 因为
1
0
ln 1
x x2
dx
1
2 0
ln 1
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，如果f ( x), g( x)满足
下列条件：
1 M 0, 使得对0 b a，有
| b a
f
( x)dx |
M;
2 g 在(a,b]上单调,且 lim g( x) 0, xa
则 b a
f
( x)g( x)dx 收敛.
6. 定理4.5(Abel鉴别法)
a
,
k1
,k
为任意常数，
2
则当瑕积分
b
a
f1 ( x)dx与ab
f2 ( x)dx都收敛时，
瑕积分
b
a
[k 1
f( 1
x)
k 2
f( 2
x)]dx也收敛，且
b[k a1
f (x) 1
k 2
f ( x)]dx 2
k b 1a
f ( x)dx 1
k b 2a
f ( x)dx. 2
性质２若f ( x)的瑕点为x a, 且 c (a,b)为任意常数，
这是因为若取A' 2kπ, A'' 2(k 1) ,则当k 时，
|
2( k1)
2 k
t
p2
sin
tdt
|
(2k
)
p2
0
sin
tdt
2(2k ) p2 2,
所以由Cauchy收敛原理, 当p 2时, 积分发散.
2o. 当0 p 1时, 积分绝对收敛 .
| sin t | 1 , 由比较判别法可知 .
lim (
x10
x
1)
1 ln x
lim
x10
1 1
1 0,
x
根据鉴别法极限形式,所给广义积分发散.
例6
研究
1
0
x
p1 (1
x)q1 dx
的敛散性 .
解：当p 1时, x 0是瑕点; 当q 1时, x 1是瑕点.
故取a (0,1), 把积分拆成两部分 :
1 x p1 (1 x)q1 dx a x p1 (1 x)q1 dx
为 b a
f
( x)dx.
即：
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
a
0+ a
这时也称瑕积分收敛, a称为瑕点.
当上述的极限不存在时, 称瑕积分发散.
类似地，可以定义
(1) f ( x)在区间[a,b)上瑕积分，b为瑕点，
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
a
当p 1时第一项积分收敛；
又当p
0时
＋
1
e
sin
x cos xp
x
dx发散，
当p
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
有 (s) 2 eu2 u2s1du. 0
sin2 x
例8
0 xm dx
1<m<3,收敛
解：
0
sin2 xm
xdx
1 sin2 x 0 xm dx
sin2 x 1 xm dx
lim
x0
x
m2
sin2 xm
.
故原广义积分发散.
注意 （1） 瑕积分与定积分体现方式相同，遇到有限区
间上旳积分时，要仔细检验是否有瑕点。
（2） 瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分
公式依然成立，代入上、下限时相应旳是极限值。
问题： 如何判断瑕积分的敛散 性?
设a是f ( x) 的瑕点, 作代换x a 1 , 则 y
瑕点为积分上限或者中 间值时,有类似的结果 .
例4
1 ln x ln(1 x) dx
0 x(1 x)
解
ln x ln(1 x)
lim
x0
x(1 x) 1
lim
x0
1
x4
ln
x
lim
x0
ln x
1
4 lim x0
1 11 0
x4
xx 4
1
x4
收敛
例5 判别广义积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x 解 被积函数在点 x 1 的左邻域内无界． 由洛必达法则知：
3. 定理4.3（比较鉴别法）
设f ( x)，g( x)在(a,b]上有定义，瑕点同为 x a, 且对
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，对充分靠近 a的
x ( x a),如果有0 f ( x) g( x),则
1o
若 b a
g( x)dx 收敛
b
a
f
( x)dx 收敛;
设f ( x), g( x)在(a,b]上有定义，且f ( x)有唯一瑕点x a,
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，如果 f ( x), g( x)满足
下列条件：
1
b
a
f
( x)dx 收敛;
2 g( x)在(a, b]中单调有界 .
则 b a
f
( x)g( x)dx 收敛.
0+ a
(2) 若c (a,b), 且f ( x)在c点无界，则f ( x)在[a,b]
上的积分为
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0+ a
0+ c
当上述右边旳两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；
x dx x2
1
1 2
ln 1
x x
dx,
2
又因为
ln
lim x1
1
x x2
1, 2
所以，x
1不是瑕点，因此
1
1 2
ln 1
x x
2
dx存在.
对于
1
2 0
ln 1
x x
2
dx，由于对充分小的
x,| ln x 1 x2
| 2 | lnx |,而
1
1
1
2 0
ln
xdx
lim
0
2 0
ln
xdx
lim [ x
0
ln
x
x
]2 ε
存在，
故所给积分收敛 .
例11
设
0,
讨论积分
0
[(1
sin x
x )
1]dx的收敛性.
解：易见 x 0 是瑕点, 为此, 把积分分成两部分 :
I
1
0
1
sin x
x
1dx
1
1
si
2
现讨论 I 的收敛性 : 1
显然 I 的收敛性和 1
I' 1
3
例2 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
解： 由于x 1为瑕点，所以
3 dx
1 3 dx
0
2
( x 1)3
( )
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
0
2
( x 1)3
lim 0
1 0
dx
2
( x 1)3
3
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
(x
2
当上述右边旳其中旳一种极限不存在时，称该瑕积分发散.
例1
讨论瑕积分
1 0
1 xp
dx
(
p
0)的收敛性.
解: 由于x 0是瑕点，且
1
1 xp
dx
1
1
p
(1
1
p
),
p 1,
ln
,
p 1.
(0
1),
故当0 p 1时， 瑕积分收敛， 且
11
11
1
0
x
p
dx
lim
0
xp
dx
1
; p
当p 1时, 瑕积分发散于 .
当0
l
时,
b
a
f
(
x
)dx与
b
a
g( x)dx同敛散；
2
当l＝0时，ab
g( x)dx 收敛
b
a
f
( x)dx收敛；
3
当l＝ 时,
b
a
g(
x
)dx
发散
b
a
f ( x)dx发散.
5. 定理4.5(Dirichlet鉴别法)
设f ( x), g( x)在(a,b]上有定义，且f ( x)有唯一瑕点x a,
2
1
由于 sin x 1, 故I '绝对收敛.
x
1
再讨论 I2 的收敛性 : | sin x | 1, 由二项式展开得 , x
所以,
1
sin x
x
1
sin x x
1 O( ).
x2
1
sin x
x
1
sin x
x
O(
1 x2
).
因为积分
1
sin x
x
dx条件收敛
,
1
O
(
1 x2
)dx
例7
研究积分 ( s )
0
e
x
x
s1dx
(
s
0)的敛散性 .
解： 当s 1时, x 0是瑕点,
(s)
但它又是无穷积分 .
下面我们把它拆成两个 部分来讨论 :
o
s
e x x s1dx 1 e x x s1dx e x dx x s1
0
0
1
当x 0时, e x x s1 ~ x s1 ,
(a为瑕点)收敛的充要条件是
0, 0,只要当a u1 u2 a δ,有
2. 定理4.2
u2
u1
f
( x)dx
.
若f ( x)在(a,b]上有定义,a为瑕点,且 b f ( x)dx 收敛， a
则 b f ( x)dx 收敛,|
b
f ( x)dx |
b
f ( x)dx.
a
a
a
绝对收敛 收敛. 收敛 绝对收敛.
1
0
1
sin x
x
dx的收敛性相同.
因为当x 0时,
sin x x 1 x3 O(x5), 3!
所以 ,
1 sin x 1 x2 O( x4 ) 1 x2 (1 O( x2 )).
x 3!
6
因而当x 0时,
1
sin x
x
~
1
6
x 2 .
故当 1 时, I '收敛.
§8.4 瑕积分旳收敛与计算
一、无界函数旳广义积分
定义4.1 设f ( x)在区间(a,b]上有定义，而在点 a的右