角的平分线的性质

D
C
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
证明：Q AD平分BAC, DE AB, DF AC
DE DF
A
在RtVBED和RtVCFD中
BD CD
DE DF
RtVBED≌RtVCFD(HL)
E
F
EB FC
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，求证: PD=PE.
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
A
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） D 在△OPD和△OPE中
C
D
A
EB
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1. 角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 它为我们提供了证明什么的方法？ 3. 在应用过程中要注意哪里问题？
则PE的长度为 10 ．
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
【解析】根据角平分线的性质得
到DE=DF，再根据HL证
E
F
△BED≌△CFD,从而得到EB=FC. B
∠DOP=∠BOP （已证） ∠ODP=∠OEP （已证） OP=OP （已知）
1 2
O
C P EB
∴ △OPD≌△OPE(AAS)
∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）
角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
A 用符号语言表示为：
D
∵OC平分∠AOB PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
∴ DB = DC ，（ 角的平分线上的点到这个角 ）
的两边的距离相等。
√
B
A
不必再证全等
D C
填空题
1. 如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A__，__P_E_⊥__O_B_
A
∴角P的D平=分P线E上(的点
D
到角的两边的距离相等
)C P
O
E B
2. （2014•广州）已知OC是∠AOB的平分线， 点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为点D、E，PD=10，
人教版八年级上册
12.3 角的平分线的性质
1. 新课导入 2. 巩固练习 3. 例题 4. 提高练习
从化区第四中学 欧烽宁
1. 掌握角平分线的性质. 2. 提高综合运用三角形全等的有关知识的解 决能力.
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折 痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕， 你能得出什么结论？
B
D
C
1. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线
的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是： A
_______________，并给予证明. E F
B
Dc
2. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
1
PC
2
O
EB
判断题
1. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 角的平分线上的点到这个 )
角的两边的距离相等。
（×）
B
A

C
2. ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
)
A
（×） B
D
C
3. ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）