高考物理万有引力与航天(一)解题方法和技巧及练习题含解析

高考物理万有引力与航天(一)解题方法和技巧及练习题含解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该星球半径为R ，引力常量为G ，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度；
(3)该星球的“第一宇宙速度”．
【答案】(1)02v g t = (2) 0
32πv RGt ρ=
(3)v = 【解析】
(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间0
2v t g
= 可得星球表面重力加速度：0
2v g t
=
． (2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：2
GMm
mg R =
得：2
202v R gR M G Gt ==
因为3
43
R V π=
则有：032πv M V RGt
ρ=
= (3)重力提供向心力，故2
v mg m R
=
该星球的第一宇宙速度v =
=
【点睛】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．
2．经过逾6 个月的飞行，质量为40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日03：56在火星安全着陆。

着陆器到达距火星表面高度800m 时速度为60m/s ，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m 时速度减为10m/s 。

该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为g = 10m/s 2。

求：
(1)火星表面重力加速度的大小； (2)火箭助推器对洞察号作用力的大小.
【答案】(1)2
=4m/s g 火 (2)F =260N 【解析】 【分析】
火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力. 【详解】
（1）设火星表面的重力加速度为g 火，则2=M m G
mg r
火火火
2
=M m
G
mg r 地地
解得g 火=0.4g=4m/s 2
（2）着陆下降的高度：h=h 1-h 2=700m ，设该过程的加速度为a ，则v 22-v 12=2ah 由牛顿第二定律：mg 火-F=ma 解得F=260N
3．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO ）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的质量为M 0，万有引力常量为G ．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a ．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T ，半径为r 0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M ；
b ．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2
（2）23
02
4r M GT
π=；22GM R c '＝ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r
r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT π=
b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
解得
22GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c '
=
4．利用万有引力定律可以测量天体的质量． （1）测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ．若忽略地球自转的影响，求地球的质量． （2）测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星球A 和B ，如图所示．已知A 、B 间距离为L ，A 、B 绕O 点运动的周期均为T ，引力常量为G ，求A 、B 的总质量．
（3）测月球的质量
若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T1，月球、地球球心间的距离为L1．你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质量．
【答案】（1）
2
gR
G
；（2）
23
2
4L
GT
π
；（3）
232
1
2
1
4L gR
GT G
π
-．
【解析】
【详解】
（1）设地球的质量为M，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有2
Mm
G mg
R
=解得：M=
2
gR
G
；
（2）设A的质量为M1，A到O的距离为r1，设B的质量为M2，B到O的距离为r2，
根据万有引力提供向心力公式得：
2
12
11
2
2
()
M M
G M r
L T
π
=，
2
12
22
2
2
()
M M
G M r
L T
π
=，
又因为L=r1+r2
解得：
23
122
4L
M M
GT
π
+=；
（3）设月球质量为M3，由（2）可知，
23
1
32
1
4L
M M
GT
π
+=
由（1）可知，M=
2
gR
G
解得：
232
1
32
1
4L gR
M
GT G
π
=-
5．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017年6月，“神舟十号”与“太空一号”成功对接．现已知“太空一号”飞行器在轨运行周期为To，运行速度为0v，地球半径为R，引力常量为.G假设“天宫一号”环绕地球做匀速圖周运动，求：
()1“天宫号”的轨道高度h．
()2地球的质量M．
【答案】(1)00
2
v T
h R
π
=- (2)
3
00
2
v T
M
G
π
=
【解析】 【详解】
(1)设“天宫一号”的轨道半径为r ，则有：
00
2r
v T π=
“天宫一号”的轨道高度为：h r R =- 即为：00
2v T h R π
=
- (2)对“天宫一号”有：2
220
4Mm G m r r T π=
所以有：3
00
2v T M G
π=
【点睛】
万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．
6．根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h ，绕月球做圆周运动的周期为T ，月球半径为R ，引力常量为G ．求： （1）月球的密度ρ；
（2）在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v ．
【答案】（1）3
23
3()R h GT R π+（2
【解析】 【详解】
(1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2
()Mm R h =+m 22
4T π（R +h ）， 解得月球的质量为：23
2
4()R h M GT π+=；
则月球的密度为：
3
23
3()M R h V GT R
πρ+==； （2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2Mm R =m 2
v R
，
解得：v =
7．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x ，已知弹簧的劲度系数为k ，火星的半径为R ，万有引力常量为G ，忽略火星自转的影响。

（1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；
（2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。

【答案】（1）g =kx m ，M =2
kxR Gm
； （2）v =kxR m ， 2πmR kx
【解析】 【详解】
（1）物体静止时由平衡条件有: mg =kx ，所以火星表明的重力加速度g =
kx
m
；在火星表面重力由万有引力产生：mg =G 2mM R ，解得火星的质量M =2
kxR Gm。

（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg =m 2
v R
，解得卫星的线速度v =kxR m ；
近地卫星的周期T =
2R v =2πmR
kx。

8．宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以v 0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为h （h 远小于星球半径），该星球为密度均匀的球体，引力常量为G ，求：
（1）求该星球表面的重力加速度；
（2）若该星球的半径R ，忽略星球的自转，求该星球的密度． 【答案】（1）（2）
【解析】
（1）根据速度-位移公式得：
，
得
（2）在星球表面附近的重力等于万有引力，有
及
联立解得星球密度
9．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小
球以v 0的初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x ，又已知该 星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求：
(1)、该星球表面的重力加速度g (2)、该星球的质量M (3)、该星球的第一宇宙速度v (最后结果必须用题中己知物理量表示)
【答案】（1）202222hv h g t x ==（2）22
20
2
2hv R Gx gR M G ==
(3)0v 2v gR hR x == 【解析】
（1）小球做平抛运动时在水平方有0x t v = 得小球从抛出到落地时间为： 0
t x v =
小球做平抛运动时在竖直方向上有：21h-R 2
gt =
得该星球表面的重力加速度为：()2
22
222h R v h R g t x
--== （2）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m 由万有引力等于物体的重力得： 2
GMm
mg R
=
所以该星球的质量为：()22
202
2v R
Gx
h R gR M G -== (3) 设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，则有
2
2
GMm mv mg R R
== 故该星球的第一宇宙速度为：()0
v 2v gR h R R x
-=
=
点睛：运用平抛运动规律求出小球从抛出到落地的时间和星球表面重力加速度；根据万有引力等于物体的重力求解星球的质量；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量．
10．假设在宇航员登月前用弹簧秤称量一只砝码，成功登陆月球表面后，还用这一弹簧秤称量同一砝码，发现弹簧秤在月球上的示数是在地球上示数的k(k<1)倍，已知月球半径为
R ，引力常量为G ，地球表面的重力加速度大小为g ，求： （1）月球的密度；
（2）月球的第一宇宙速度和月球卫星的最小周期。

【答案】（1）34gk GR π；（2
2 【解析】 【详解】
（1）在地面上1F mg = 在月球表面上22
GMm
F R = 月球的质量3
43
M R πρ= 由于
2
1
F k F = 解得月球密度34gk
GR
ρπ=
（2）当卫星环绕月球表面飞行时的速度为第一宇宙速度，周期最小，设月球的第一宇宙速度为v ，近月卫星的周期为T ，则
2
2mv F R = 1F mg =
2R
T v
π=
解得v
22R T v π=
=。