高考数学专题闯关教学课件导数及其应用(共35张PPT)

变式训练2 设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切， 求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)由题知 f′(x)＝3x2－3a(a≠0)， 因为曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相 切， f′2＝0， 34－a＝0， 所以 即 f2＝8， 8－6a＋b＝8. 解得 a＝4，b＝24.
3．复合函数求导 复合函y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导 数之间的关系为gx′＝f′(u)g′(x)． 4．函数的单调性与导数的关系
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区
间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)
在区间(a，b)上单调递减．
导数及其应用
主干知识整合
1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x) 在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
2．导数的四则运算法则 (1)[μ(x)± v(x)]′＝μ′(x)± v′(x)； (2)[μ(x)· v(x)]′＝μ′(x)v(x)＋μ(x)v′(x)； μ′xvx－μx· v′x μx (3)[ ]′＝ . 2 vx v x
(2)∵函数 f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴f′(x)≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． x 2 x 2 ∵f′(x)＝(－2x＋a)e ＋(－x ＋ax)e ＝[－x ＋(a－ 2)x＋a]ex， ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． ∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0 对 x∈(－1,1)恒成 立， x2＋2x x＋12－1 1 即 a≥ ＝ ＝(x＋1)－ 对 x∈ x＋1 x＋1 x＋ 1 (－1,1)恒成立．
5．函数的单调性与极值的关系 一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝ 0. (1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数 大于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值． (2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数
小于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．
6．利用定积分求曲边梯形的面积
变式训练 1 曲线 y＝x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x＝1 所围成的三角形的面积为( ) 1 A. 12 1 B. 6 1 C. 3 1 D. 2
解析： 选 B.求导得 y′＝3x ， 所以 y′＝3x |x＝1＝3， 所以曲线 y＝x3 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x － 1) ，结合图象易知所围成的三角形是直角三角
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值
范围．
【解】
(1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－ 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
2 形，三个交点的坐标分别是3，0 ，(1,0)，(1,1)，于
2
2
2 1 1 是三角形的面积为 ×1－ ×1＝ ，故选 B. 2 3 6
导数与函数的单调性
例2
已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋
ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(x0，y0)处的切线方程为________．
【解析】
因为 f(x)＝xln x＋1， 1 所以 f′(x)＝ln x＋x· ＝ ln x ＋ 1. x 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y －(e＋1)＝2(x－e)，即 2x－y－e＋1＝0.
1 1 令 y＝(x＋1)－ ，则 y′＝1＋ 2>0. x＋1 x＋1 1 ∴y＝(x＋1)－ 在(－1,1)上单调递增． x＋1 1 3 ∴y<(1＋1)－ ＝ . 1＋1 2 3 ∴a≥ . 2
【归纳拓展】 利用导数研究函数单调性的一般 步骤： (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3) ①若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ，只需在函数 f(x) 的 定 义 域 内 解 ( 或 证 明 ) 不 等 式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ② 若 已 知 f(x ) 的 单 调 性 ， 则 转 化 为 不 等 式 f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求 解．
(2)因为 f′(x)＝3(x －a)(a≠0)． 所以①当 a<0 时， f′(x)>0， 函数 f(x)在(－∞， ＋∞) 上单调递增；此时函数 f(x)没有极值点． ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递 增； 当 x∈(－ a， a)时， f′(x)<0， 函数 f(x)单调递减； 当 x∈( a， ＋∞)时， f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增． 综上可知 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a是 f(x) 的极小值点．
由直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝ f(x)(f(x)≥0) 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 S ＝ ∫ b a f(x)dx.若 F′(x)＝f(x)，则 S＝F(b)－F(a)．
高考热点讲练
导数的几何意义
例1 设f(x)＝xln x＋1，若f′(x )＝2，则f(x)在点 0
【答案】 2x－y－e＋1＝0
【归纳拓展】 求曲线切线方程的步骤是： (1) 求出函数 y ＝ f(x) 在点 x ＝ x0 处的导数，即曲线 y ＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2) 在已知切点坐标 P(x0 ， f(x0)) 和切线斜率的条件下， 求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)· ( x － x 0) ． 注意：①当曲线 y ＝ f(x) 在点 P(x0 ， f(x0)) 处的切线平 行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线 方程为x＝x0； ②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求 解．