河北省唐山市高三第三次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
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（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，如果点M在直线AB的上方，求 面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ， .
（1）求函数 的最小值；
（2）若 ，证明：当 时， .
请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则（）
A． B． C． D．
2.若复数z满足 ，则 =（）
A． B． C． D C． D．
4.在等比数列 中， ， ，则 （）
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD内接于圆 ，BD是圆 的直径， 于点E，DA平分 .
（1）证明：AE是圆 的切线；
（2）如果 ， ，求CD.
23.（本小题满分10分）坐标系与参数方程
已知曲线 的直角坐标方程为 .以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线 上一点， ， ，将点P绕点O逆时针旋转角 后得到点Q， ，点M的轨迹是曲线 .
A． B． C．8D．4
5.函数 的一段大致图象是（）
6.椭圆 的左、右焦点为 ，过 作直线 交C于A，B两点，若 是等腰直角三角形，且 ，则椭圆C的离心率为（）
A． B． C． D．
7.执行左下面的程序框图，如果输入的依次为3,5,3,5,4,4,3,4,4，则输出的S为（）
A． B．4 C． D．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）求 的取值范围.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设不等式 的解集为M， .
（1）证明： ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
12.设数列 满足 ， ， ，则数列 的前n项和可以表示为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线 在 处的切线方程为.
14.以双曲线 的上焦点为圆心，与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为.
15.观察等式： ， ， .照此规律，对于一般的角 ，有等式.
16.函数 的最大值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点， ， ， .
（1）当 时，求 的大小；
（2）求 的面积S的最小值及使得S取最小值时 的值.
8.右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）
A．1 B． C． D．
9.三棱锥 的四个顶点都在球面上，SA是球的直径， ， ，则该球的表面积为（）
A． B． C． D．
10. 中，D是BC中点， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
11.若 ，且 ，则 （）
A．0 B． C．1 D．2
18.（本小题满分12分）
在斜三棱柱 中，平面 平面ABC， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
19.（本小题满分12分）
商场销售的某种饮品每件售价为36元，成本为20元.对该饮品进行促销：顾客每购买一件，当即连续转动三次如图所示转盘，每次停止后指针向一个数字，若三次指向同一个数字，获一等奖；若三次指向的数字是连号（不考虑顺序），获二等奖；其他情况无奖.
（Ⅰ）求一顾客一次购买两件该饮品，至少有一件获得奖励的概率；
（Ⅱ）若奖励为返还现金，一等奖奖金数是二等奖的2倍，统计表明：每天的销售y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式为 ，问x设定为多少最佳？并说明理由.
20.（本小题满分12分）
过抛物线C： 上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.
（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，如果点M在直线AB的上方，求 面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ， .
（1）求函数 的最小值；
（2）若 ，证明：当 时， .
请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则（）
A． B． C． D．
2.若复数z满足 ，则 =（）
A． B． C． D C． D．
4.在等比数列 中， ， ，则 （）
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD内接于圆 ，BD是圆 的直径， 于点E，DA平分 .
（1）证明：AE是圆 的切线；
（2）如果 ， ，求CD.
23.（本小题满分10分）坐标系与参数方程
已知曲线 的直角坐标方程为 .以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线 上一点， ， ，将点P绕点O逆时针旋转角 后得到点Q， ，点M的轨迹是曲线 .
A． B． C．8D．4
5.函数 的一段大致图象是（）
6.椭圆 的左、右焦点为 ，过 作直线 交C于A，B两点，若 是等腰直角三角形，且 ，则椭圆C的离心率为（）
A． B． C． D．
7.执行左下面的程序框图，如果输入的依次为3,5,3,5,4,4,3,4,4，则输出的S为（）
A． B．4 C． D．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）求 的取值范围.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设不等式 的解集为M， .
（1）证明： ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
12.设数列 满足 ， ， ，则数列 的前n项和可以表示为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线 在 处的切线方程为.
14.以双曲线 的上焦点为圆心，与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为.
15.观察等式： ， ， .照此规律，对于一般的角 ，有等式.
16.函数 的最大值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点， ， ， .
（1）当 时，求 的大小；
（2）求 的面积S的最小值及使得S取最小值时 的值.
8.右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）
A．1 B． C． D．
9.三棱锥 的四个顶点都在球面上，SA是球的直径， ， ，则该球的表面积为（）
A． B． C． D．
10. 中，D是BC中点， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
11.若 ，且 ，则 （）
A．0 B． C．1 D．2
18.（本小题满分12分）
在斜三棱柱 中，平面 平面ABC， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
19.（本小题满分12分）
商场销售的某种饮品每件售价为36元，成本为20元.对该饮品进行促销：顾客每购买一件，当即连续转动三次如图所示转盘，每次停止后指针向一个数字，若三次指向同一个数字，获一等奖；若三次指向的数字是连号（不考虑顺序），获二等奖；其他情况无奖.
（Ⅰ）求一顾客一次购买两件该饮品，至少有一件获得奖励的概率；
（Ⅱ）若奖励为返还现金，一等奖奖金数是二等奖的2倍，统计表明：每天的销售y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式为 ，问x设定为多少最佳？并说明理由.
20.（本小题满分12分）
过抛物线C： 上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.