梯度下降法推导逻辑回归

梯度下降法推导逻辑回归
逻辑回归是一种用于二分类问题的机器学习算法。

梯度下降法是一种优化算法，可用于求解逻辑回归的参数。

在逻辑回归中，首先定义了一个逻辑函数，也称为sigmoid函数，它可以将任意输入映射到一个0到1之间的输出。

逻辑函数的定义如下：
h(x) = 1 / (1 + exp(-z))
其中，h(x)为逻辑回归模型的输出，z为输入特征的线性组合
加上一个偏置项，即：
z = w1*x1 + w2*x2 + ... + wn*xn + b
在逻辑回归中，我们的目标是找到一组最优的参数w和b，使得对于给定的输入特征，逻辑回归模型的输出能够最好地与实际标签相匹配。

为了衡量模型的性能，我们引入了一个成本函数来度量模型的预测结果与实际标签之间的差异。

对于二分类问题，逻辑回归模型的成本函数可以使用对数似然函数来定义：
J(w, b) = -1/m * Σ(yi*log(h(xi)) + (1-yi)*log(1-h(xi)))
其中，m表示训练样本的数量，yi表示第i个样本的实际标签。

接下来，我们需要使用梯度下降法来最小化成本函数。

梯度下
降法的思想是沿着成本函数的负梯度方向不断更新参数，直到收敛到最优解。

对于每个参数，我们使用以下公式来更新它们：
wi = wi - η * ∂J(w, b) / ∂wi
b = b - η * ∂J(w, b) / ∂b
其中，η是学习率，控制着参数更新的步长。

∂J(w, b) / ∂wi表
示成本函数对参数wi的偏导数。

根据对成本函数的求导运算和链式法则，我们可以推导出参数的更新公式：
∂J(w, b) / ∂wi = -1/m * Σ(xi * (yi - h(xi)))
∂J(w, b) /∂b = -1/m * Σ(yi - h(xi))
根据这些公式，在每次迭代中，我们都可以更新参数w和b，然后继续计算成本函数，并重复这个过程，直到达到收敛条件。

最终，我们将得到一组使得成本函数最小化的最优参数。

这就是梯度下降法推导逻辑回归的基本逻辑。

在实际应用中，我们可以使用批量梯度下降法，随机梯度下降法或小批量梯度下降法来进行参数更新。