广西柳州市城中区2022-2023学年九年级下学期2月教学质量抽测数学试题(含答案解析)

广西柳州市城中区2022-2023学年九年级下学期2月教学质
量抽测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．－3的相反数是（）A ．3
B ．－3
C ．3
±D ．13
-
2．下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（）
A ．3
6.7510´B ．4
6.7510⨯C ．5
67.510⨯D ．4
67.510⨯4．
关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（）
A ．32x -≤≤
B ．32x -<≤
C ．32x -≤<
D ．32
x -<<5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 关于直线m （直线m 上各点的横坐标都为1）对称，点C 的坐标为（4，1），则点B 的坐标为（
）
A ．（﹣2，1）
B ．
（﹣3，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．
（2，1）6．下列事件是随机事件的是（
）
A ．射击运动员射击一次，命中靶心
B ．
在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾
C ．任意画一个三角形，其内角和等于180︒
D ．在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，
硬币不会从空中落下
7．如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量2105∠=︒，要使木条a 与b 平行，则1∠的度数应为（
）
A ．45°
B ．75°
C ．105°
D ．135°
8．下列运算中，正确的是（）
A ．3x+4y ＝12xy
B ．x 9÷x 3＝x 3
C ．
（x 2）3＝x 6D ．
（x ﹣y ）2＝x 2﹣y 29．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是（）
A ．1
2
B ．
2
5
C ．
47
D ．
37
10．一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为(
)
A ．x ＝－1
B ．x ＝2
C ．x ＝0
D ．x ＝3
11．如图，两个正方形边长分别为a ，b ，已知7a b +=，9ab =，则阴影部分的面积为（
）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
12．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E,若△ABC 的周长为24，CE ＝4，则△ABD 的周长为（
）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．24
二、填空题13．若分式
2
1
x -有意义，则x 的取值范围是________．14．分解因式：ab a -=______.
15．如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在圆周上，∠CBD =20°，则∠A 的度数为____°．
16．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数n 50100150200300400500投中次数m 284978102153208255投中频率m
n
0.56
0.49
0.52
0.51
0.51
0.52
0.51
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为______．17．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3
sin 5
A =
，10AB =，，则AC 的长为_________．18．如图所示，函数y ax b =+和y x =的图象相交于（﹣1，1）
，（2，2）两点．当12y y ＞
时，x 的取值范围是________．
三、解答题
19．计算：()1
12 3.14
2π-⎛⎫
-+-+ ⎪⎝⎭
．
20．先化简，再求值：
4
3m -÷2469
m m m -+，其中9m =．21．如图，在平面直角坐标系内，ABC 三个顶点的坐标分别为(1,2)A -，(4,1)B -，(3,3)C -（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
(1)以坐标原点O 为旋转中心，将ABC 逆时针旋转90︒，得到111A B C △，请画出111A B C △；(2)求点C 到点1C 经过的路径．
22．某中学组织七、八年级学生参加了体质健康测试，现随机从七、八年级各抽取了10名学生的成绩（单位：分）
，进行统计、分析．收集数据：七年级：78，90，80，95，68，90，90，100，75，80；八年级：80，70，85，95，90，100，90，85，90，78．整理数据：成绩x /分6070
≤≤x 7080
x <≤8090
x <≤90100
x <≤七年级1432八年级
1
2
a
b
分析数据：
统计量平均数中位数众数
七年级84.6c90
八年级86.387.5d
(1)填空：=a__________，b=__________，c=__________，d=__________；
(2)若八年级共有200人参与测试，请估计八年级成绩大于80分的人数；
(3)根据以上数据，结合所学的统计知识，你认为哪个年级学生的体质更好，并说明理由（写出一条即可）．
23．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．
24．某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：
甲水笔乙水笔
a+
每支进价（元）a5
每支利润（元）23
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
⊥，垂足为H，E为 BC上一点，过点E作⊙O 25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD AB
DC AB的延长线于点F，G，连接AE，交CD于点P．
的切线，分别交,
（1）求证：EF FP =；
（2）连接AD ，若4
//,8,cos 5
AD FG CD F ==
，求EG 的长．26．如图1，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ，且OC OA =．
(1)求抛物线解析式；
(2)点M 是直线AC 上方的抛物线上一动点，M 点的横坐标为m ，四边形ABCM 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)如图2，(0,2)D -，连接BD ，将OBD 绕平面内的某点（记为P ）逆时针旋转180︒得到O B D ''' ，O 、B 、D 的对应点分别为,,O B D '''．若点,B D ''两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P 的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】由题意直接根据相反数的定义与性质，进行分析计算即可.【详解】解：－3的相反数是(3)3--=.故选：A.
【点睛】本题考查求一个数的相反数，熟练掌握求一个数的相反数就是在这个数前面添一个负号.2．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．3．B
【分析】将原数表示成形式为10n a ⨯的形式（其中110a ≤＜
，n 为整数）即可解答．【详解】解：467500 6.7510=⨯．故选：B ．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式（其
中110a ≤＜，n 为整数），正确确定a 、n 的值是解答本题的关键．
4．C
【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法求出不等式组的解集即可．【详解】解：由题意得，不等式组的解集为：32x -≤<．故选：C ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．5．A
【分析】根据题意得出点C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，则根据对称点到对称轴距离相等，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称.
∵点C的坐标为（4，1），
∴设B（x,1）则
41 2
+
=
x
，
解得x=-2
则点B的坐标为：（-2，1）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据轴对称求点的坐标，确定两个点关于直线对称的横坐标之间的关系是解题关键．
6．A
【分析】在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念逐项分析判断即可．
【详解】A.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
B.在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
C.任意画一个三角形，其内角和等于180︒，是必然事件，不符合题意；
D.在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下，是不可能事件，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件和不可能事件的判断，理解并掌握相关概念是解题关键．
7．B
【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
【详解】解：如图，
∵∠2=105︒，∴∠3=∠2=105︒，
∴要使b 与a 平行，则∠1+∠3=180︒，∴∠1=180︒-105︒=75︒．故选：B ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．8．C
【分析】直接应用整式的运算法则进行计算得到结果【详解】解：A 、原式不能合并，错误；B 、原式＝6x ，错误；C 、原式＝6x ，正确；
D 、原式＝22x 2xy y -+，错误，故选：C ．
【点睛】整式的乘除运算是进行整式的运算的基础，需要完全掌握.9．C
【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【详解】解：如图，1C ，2C ，3C ，4C 均可与点A 和B 组成直角三角形．
47
P =
，故选：C ．
【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有n 种可能，而且这些事件
的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n
=
．10．A
【分析】首先利用待定系数法把(2,3)(0,1)代入y=kx+b,可得关于k 、b 的方程组,再解方程组可得k 、b 的值,求出一次函数解析式,再求出方程kx+b=0的解即可.【详解】解::y=kx+b 经过(2,3)(0,1),∴b=1{3=2k+b ，解得:k=1{b=1
∴kx+b=x+1=0,
解得:x=-1,
所以A 选项是正确的.
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系,关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式.11．B
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为a 的等腰直角三角形面积，再减去边长为a b -和b 的直角三角形面积，即可得
()2
212
a a
b b -+，根据完全平方公式的变式应用可得()2
132a b ab ⎡⎤+-⎣
⎦，代入计算即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，2211
()22S a a a b b
=---阴()2
212
a a
b b =-+(
)
2
212
a a
b b =
-+()2
132a b ab ⎡⎤
=+-⎣
⎦∵7a b +=，9ab =，∴()21
739112
S =
⨯-⨯=阴，故选：B ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．12．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.
【详解】解：∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴DB=DC ，BC=2CE=8
又∵AABC 的周长为24，
∴AB+BC+AC=24
∴AB+AC=24-BC=24-8=16
∴△ABD 的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
13．1
x ≠【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．【详解】解：∵分式
21
x -有意义，∴10x -≠，
解得1x ≠．
故答案为：1x ≠．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．
14．()
1a b -【分析】确定多项式每项的公因式为a ，直接提取即可.
【详解】解：1(1)
ab a a b a a b -=⋅-⋅=-故答案为()
1a b -【点睛】本题考查提公因式法因式分解，确定公因式是解答此题的关键，确定公因式的方法为公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的.
15．70
【分析】根据BD 是直径得到∠DCB=90°，故可求出∠D 的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠A 的度数.
【详解】∵BD 是直径
∴∠DCB=90°
∵∠CBD =20°，
∴∠D=90°-∠CBD =70°，
∴∠A=∠D=70°，
故填：70.
【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知直径所对的圆周角为90°.16．0.51（答案不唯一）
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.51附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.51，
故答案为：0.51（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
17．8．
【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC 的长，然后根据勾股定理即可求得AC 的长．
【详解】解： 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3sin 5
A =，sin BC A A
B ∴=，10AB = ，
6BC ∴=，
8AC ∴==，
故答案是：8．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．
18．x ＜﹣1或x ＞2
【分析】根据两图象的交点，求出图象中1y 在2y 上面的部分中x 的范围即可，当x ＜-1时，1y 的图象在2y 的上面；同理当x ＞2时，1y 的图象在2y 的上面．
【详解】根据函数y ax b =+和()10a x b -﹣＞的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，知当x
＜﹣1时，1y 的图象在2y 的上面；同理当x ＞2时，1y 的图象在y 2的上面．当1y ＞2y 时，x 的取值范围是x ＞2或x ＜﹣1，
故答案为x ＜﹣1或x ＞2．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
19．3
【分析】根据绝对值、零指数幂、负整指数幂和立方根的运算法则计算即可．
【详解】解：()1
012 3.142π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=2122++-，
=3．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解决本题的关键是掌握相关的运算法则即可．20．3m m
-，23【分析】利用分式的除法法则，进行计算，然后把m 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【详解】解：43m -÷2469
m m m -+=43m -⋅2(3)4m m
-=3m m
-，当9m =时，原式=939
-=23．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)π2
【分析】（1）根据旋转的性质，作出图形即可；
（2）首先根据勾股定理可求得OC 的长，再根据弧长公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求；
（2）解：
OC = 190COC ∠=︒，
∴点C 到点1C 经过的路径为：90ππ1802
⨯=．【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，弧长公式，根据旋转的性质求解是解决本题的关键．
22．(1)5a =，2b =，85c =，90
d =(2)140人
(3)八年级学生的体质更好，理由见解析
【分析】（1）根据收集到的数据即可求出a 和b 的值，根据众数中位数的定义即求出c 和d 的值；
（2）求出八年级抽取的人数中分数大于80分的人数所占的百分比，再乘以200即可；（3）根据七年级和八年级的平均数，中位数和众数求解即可．
【详解】（1）八年级成绩在8090x <≤分组的有：85，90，90，85，90，共有5个，∴5a =；
八年级成绩在90100x <≤分组的有：95，100，共有2个，
∴2b =；
七年级的成绩按从小到大排列为：68，75，78，80，80，90，90，90，95，100，
∴中间的两个数为80，90，∴中位数为
8090852
+=，∴85c =；
八年级成绩出现次数最多的成绩为90，
∴90d =．
故答案为：5，2，85，90；
（2）
7
200140
10
⨯=（人）
∴八年级成绩大于80分的人数大约有140人；
（3）八年级学生的体质更好．
理由如下：因为两个年级的众数相同，但是八年级成绩的平均数、中位数均大于七年级，所以八年级学生的体质更好．
【点睛】本题考查求中位数、众数，由样本估计总体，根据题意从所给数据中收集必要的信息以及正确的列出表格是解答本题的关键．
23．（1）详见解析；（2）BG＝
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，由菱形的判定可证结论；
（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝6，DG∥EC，由直角三角形的性质可得BH＝DH＝3，HG
＝BG的长．
【详解】（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG，
∵EG垂直平分CD
∴DG＝CG，DE＝EC，
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC
∴CE∥DG，DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC
∴四边形DGCE是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形DGCE是菱形，
∴DE＝DG＝6，DG∥EC
∴∠ACB＝∠DGB＝30°，且DH⊥BC
∴DH ＝3，HG
＝∵∠B ＝45°，DH ⊥BC
∴∠B ＝∠BDH ＝45°
∴BH ＝DH ＝3
∴BG ＝BH +HG ＝【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．
24．(1)甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程即可求出答案．
（2）根据题意，可以列出利润与购进甲种水笔数量的函数关系式，然后根据购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以求出购进甲种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出结果．
【详解】（1）解：由题意可得：
5
400800a a =+，解得5a =，
经检验，5a =是原分式方程的解，510a ∴+=，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元．
（2）解：设利润为w 元，甲种水笔购进x 支，
20005230.560010
x w x x -=+⨯=+，0.50k => ，
∴y 随x 的增大而增大， 购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
20005410
x x -∴≤⨯，解得，23
266x ≤，∵x 为整数，
∴当266x =时，w 取得最大值，最大值为733，此时，200056710
x -=，答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）25
8
【分析】（1）连接OE ，由切线的性质和垂径定理可得90OEF ∠=︒，90AHC ∠=︒，利用余角的性质可证EPF AEF ∠=∠，进而可证结论成立；
（2）连接OD ，设O 的半径为r ，由平行线的性质得ADH F ∠=∠，由余弦的定义求出的长，再由勾股定理求出和，求出3tan 4
GOE ∠=
，进而可求出EG 的长．【详解】（1）证明：连接OE ，
∵EF 是O 的切线，
∴OE EF ⊥，
∴90OEF ∠=︒，
∴90OEA AEF ∠+∠=︒．
∵CD AB ⊥于，
∴90AHC ∠=︒，
∴90OAE APH ∠+∠=︒．
∵OA OE =，
∴OAE OEA ∠=∠，
∴AEF APH ∠=∠．
∵APH EPF ∠=∠，
∴EPF AEF ∠=∠，
∴EF PF =．
（2）解：连接OD ，设O 的半径为r ，
∴直径AB CD ⊥于，8CD =，
∴4CH DH ==．
∵//AD FG ，
∴ADH F ∠=∠，∴4cos cos 5
ADH F ==
，∴5cos DH AD D =
=，
∴3AH ==，∴3OH OA AH r =-=-．
∵在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，
∴()22234r r -+=，∴256
OE r ==．∵90,90F G G GOE ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∴GOE F ∠=∠，∴4cos 5
GOE ∠=．
设OE =4x ，OG =5x ，则EG x ，
∴3tan 4EG GOE OE ∠==，∴25tan 8
EG OE GOE =⋅∠=．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键．
26．(1)223
y x x =--+
(2)239622
S m m =--+，S 的最大值为758(3)3748P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，【分析】（1）先求出点A 坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）过M 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点N ．先求出直线AC 的解析式，待定点M ，N 的坐标，用m 表示线段MN 的长度，进而求出S 的最大值；
（3）根据中心对称的性质，明确,B D ''与BD 平行且相等，待定点,B D ''的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出,B D ''的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可．
【详解】（1）解：由(3,0)A -，且OC OA =可得()0,3C ，
设抛物线解析式为31y a x x =+-()()，
将()0,3C 代入解析式得，33a -=，解得1a =-，
∴抛物线解析式为223y x x =--+．
（2）如图1，
设直线AC 解析式为y kx d =+，
∵()()3,0,0,3A C -，
∴033k d d
=-+⎧⎨=⎩，解得13k d =⎧⎨=⎩
，∴直线AC 解析式为3y x =+，
设2(,23)M m m m --+，则(,3)N m m +，
则()222333(30)MN m m m m m m =--+-+=---<<，
21393222
ACM AMN CMN S S S MN m m =+=⨯=-- ，∴223913943622222
ACM ABC S S S m m m m =+=--+⨯⨯=--+ ，10a =-< ，∴32
m =-时，此时S 最大，∴四边形ABCM 的最大面积2775688S =
+=．（3）如图2中，旋转180︒后，对应线段互相平行且相等，则BD 与B D ''互相平行且相等．
∵1,2O B OB O D OD ''''====，
设()2,23B t t t '--+，则()21,232D t t t '+--++，
∵D ¢在抛物线上，则()()2
21213232t t t t -+-++=--++，解得，52
t =-，则B '的坐标为57(,)24-，P 是点(1,0)B 和点57(,)24
B '-的对称中心，51()3224+-=-，
707428+=，∴37(,48
P -．【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键．。