高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 H单元 解析几何(文科)

数 学
H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)
的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →
同向．
(1)求C 2的方程；
(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．
20．解：(1)由C 1：x 2
＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2
－b 2
＝1.①
C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，
由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6
b 2＝1.②
联立①②得a 2
＝9，b 2
＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 2
8
＝1.
(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →
，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4.③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2
＝－4.④
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 2
9＝1得(9＋8k 2)x 2
＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以
x 3＋x 4＝－
16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－64
9＋8k
2.⑤
将④⑤代入③，得16(k 2
＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2
＋1)＝162×9（k 2
＋1）（9＋8k 2）
2
， 所以(9＋8k 2)2
＝16×9，解得k ＝±
64，即直线l 的斜率为±6
4
. 19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为5
5
.
(1)求直线BF 的斜率．
(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.
(i)求λ的值；
(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝75
9，求椭圆的方程．
19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝
55
及a 2＝b 2＋c 2
，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2c
c
＝2.
(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．
(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 2
4c
2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭
圆方程联立，消去y ，整理得3x 2
＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3
.
因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－1
2x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得
21x 2
－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21
.
又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝7
8.
(ii)由(i)知
|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝15
7
|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－
4
3
c ，所以|BP |＝
0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝55
3
，得c ＝1，
所以椭圆的方程为x 25＋y 2
4
＝1. 12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．
12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－1
2，
所以所求切线方程为y －2＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －5＝0.
20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以
|2k －3＋1|1＋k
2
<1，解得4－73<k <4＋7
3， 所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
4－73
，4＋73.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2
＋(y －3)2
＝1，整理得(1＋k 2
)x 2
－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝7
1＋k 2，
OM →
·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝
4k （1＋k ）
1＋k
2
＋8. 由题设可得4k （1＋k ）
1＋k 2
＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
H3 圆的方程
20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点
A ，
B .
(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
16．H3、H4 如图1­3，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B
在A 的上方)，且|AB |＝2.
图1­3
(1)圆C 的标准方程为________；
(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 (2)－2－1
(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫||AB 22＋12
＝2，解得r ＝2，
所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2
＝2.
(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.
20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以
|2k －3＋1|1＋k
2
<1，解得4－73<k <4＋7
3， 所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
4－73
，4＋73.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2
＋(y －3)2
＝1，整理得(1＋k 2
)x 2
－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝7
1＋k 2，
OM →
·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝
4k （1＋k ）
1＋k
2
＋8. 由题设可得4k （1＋k ）
1＋k 2
＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.
7．H3 已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.53
B.213
C.253
D.43
7．B 由已知可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即三角形的重心，坐标为
1＋0＋23，0＋3＋33，即1，23
3
，圆心到原点的距离为12＋2332＝213
.
2．H3 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝1 B ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2 D ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝2
2．D 根据题意知圆的半径r ＝（1－0）2
＋（1－0）2
＝2，所以以(1，1)为圆心且过原点的圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝2，故选D.
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系
8．H4 直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或12
8．D 圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |
32＋4
2
＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2，选D. 20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点
A ，
B .
(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
16．H3、H4 如图1­3，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.
图1­3
(1)圆C 的标准方程为________；
(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 (2)－2－1
(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫||AB 22＋12
＝2，解得r ＝2，
所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2
＝2.
(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.
20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以
|2k －3＋1|1＋k
2
<1，解得4－73<k <4＋7
3， 所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
4－73
，4＋73.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2
＋(y －3)2
＝1，整理得(1＋k 2
)x 2
－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝7
1＋k 2，
OM →
·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝
4k （1＋k ）
1＋k
2
＋8. 由题设可得4k （1＋k ）
1＋k 2
＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.
13．H4 若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°
(O 为坐标原点)，则r ＝________．
13．2 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|0－0＋5|32
＋（－4）
2
＝1，
又△OAB 中点O 到AB 边的距离d ＝r sin 30°＝r
2
＝1，所以r ＝2.
13．H4、F3 过点P (1，3)作圆x 2＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________．
13.32 如图所示，|PA |＝|PB |＝3，|OP |＝2，|OA |＝1，且PA ⊥OA ，∴∠APO ＝π6，即∠APB ＝π3，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →
|cos ∠APB ＝3×3×cos π3＝32
.
10．H4，H8 设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，4)
C ．(2，3)
D ．(2，4)
10．D 不妨设直线l ：x ＝ty ＋m ，代入抛物线方程有y 2
－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2
＋16m ＞0.又中点M (2t 2
＋m ，2t )，圆心C (5，0)，k MC k l ＝－1，所以m ＝3－2t 2
，
当t ＝0时，对于0<r <5，满足条件的直线有2条，当t ≠0时， 代入Δ＝16t 2
＋16m ，可得3－t 2
＞0，即0＜t 2
＜3. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得r ＝|5－m |1＋t
2
＝
2＋2t
21＋t
2
＝21＋t 2
.
由0＜t 2
＜3，可得r ∈(2，4)．
5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线
与圆(x －2)2
＋y 2
＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.x 29－y 213＝1
B.x 213－y 29＝1
C.x 2
3－y 2＝1 D ．x 2
－y 2
3
＝1
5．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2
＝4①.其渐
近线方程为y ＝±b a
x ，且渐近线与圆相切，所以|2b |
a 2＋b
2
＝3②.联立①②，解得b ＝3，a
＝1，所以所求双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
14．H4，E5 已知实数x ，y 满足x 2
＋y 2
≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．
14．15 方法一：当x ，y 满足x 2
＋y 2≤1时，2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，
设z ＝|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |，则z ＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10，即3x ＋4y ＋z －10＝0.由题意可知，|z －10|
5≤1，即|z －10|≤5，所以5≤z ≤15，故所求最大值
为15.
方法二：坐标原点到直线2x ＋y －4＝0和6－x －3y ＝0的距离分别是
45
，
610
，均大
于1，在x ，y 满足x 2
＋y 2
≤1的条件下，2x ＋y －4≤0，6－x －3y ≥0恒成立．故在x 2
＋y 2
≤1下，
|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－(2x ＋y －4)＋(6－x －3y )＝－3x －4y ＋10，令m ＝－3x －4y ，则y ＝－34x －m 4，m 的几何意义是直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距的－4倍，若m 最大，
则需要直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距最小．
故只有当直线m ＝－3x －4y 与单位圆x 2
＋y 2
＝1相切于第三象限时，m 取得最大值．此时可求得切点坐标为－35，－45，故m max ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝5，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－3x －4y ＋10的最大值为15.
12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．
12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－1
2，
所以所求切线方程为y －2＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －5＝0.
10．H4 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
10．(x －1)2
＋y 2
＝2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1
＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2
＝2.
H5 椭圆及其几何性质
20．H5 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，
点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为
5
10
. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .
20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，所以b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2
＝2b ，故e ＝c a ＝255
.
(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a
2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 6，5b 6.
又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2
)．
由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2
，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .
8．H5 已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
8．B 由题意得，m 2
＝25－42
＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选B.
22．H5、H8、H9、H10 一种画椭圆的工具如图1­5所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图1­6所示的平面直角坐标系．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线
l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出
该最小值；若不存在，说明理由．
图1­5
图1­6
22．解：(1)由题知|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立． 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 2
4＝1.
(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝1
2×4×4＝8.
(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12. 由⎩
⎪⎨
⎪
⎧y ＝kx ＋m ，x 2
＋4y 2
＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－16＝0.
因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k 2m 2
－4(1＋4k 2
)(4m 2
－16)＝0，即m 2
＝16k 2
＋4. ①
又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，
可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .
由原点O 到直线PQ 的距离d ＝
|m |1＋k
2
和|PQ |＝1＋k 2
|x P －x Q |，可得
S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m
2
1－4k 2. ②
将①代入②得，S △OPQ ＝2m 2
1－4k 2＝84k 2
＋14k 2
－1
. 当k 2
>14时，S △OPQ ＝8·4k 2
＋14k 2－1＝8⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋24k 2－1>8；
当0≤k 2
<14时，S △OPQ ＝8·4k 2
＋11－4k 2＝8⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1＋21－4k 2.
因为0≤k 2<14，所以0<1－4k 2
≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号，
所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.
5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2
＝8x
的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
5．B 抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距
c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2
＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212
＝1.A ，B 是C
的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.
20．H5、H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2
，点(2，2)在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为
M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
20．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b
2＝1，解得a 2＝8，b 2
＝4.
所以C 的方程为x 28
＋y 2
4
＝1.
(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 2
4＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2
－8＝0.
故x M ＝
x 1＋x 2
2＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b
2k 2＋1
. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－1
2
.
所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
20．H5，H8 已知椭圆C ：x 2＋3y 2
＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．
20．解：(1)椭圆C 的标准方程为x 2
3＋y 2
＝1.所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.
所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝
63
. (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，得M (3，2－y 1)． 所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 1
3－1＝1.
(3)直线BM 与直线DE 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝
1－0
2－1
＝1，所以BM ∥DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1
x 1－2
(x －2)． 令x ＝3，得点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫
3，
y 1＋x 1－3x 1－2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋3y 2
＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0.所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2
－31＋3k 2.
直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3
x 1－2
－y 2
3－x 2
.
因为k BM －1＝
k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）
（3－x 2）（x 1－2）
＝
（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）
＝
（k －1）⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3k 2
＋31＋3k 2＋12k 2
1＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）
＝0，
所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行．
11．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x
－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E
的离心率的取值范围是( )
A ．0，
32 B ．0，34 C.32，1 D.3
4
，1 11．A 因为直线l 过原点，不妨设A 在第一象限，左焦点为F ′，由对称性可知四边形AF ′BF 为平行四边形，所以|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ＝4，所以a ＝2，点M (0，b )到直线l 的距离d ＝|0－4b |5≥45且b <a ，所以1≤b <2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2
－b
2
a ＝
4－b 2
2∈0，3
2
. 20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)
的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →
同向．
(1)求C 2的方程；
(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．
20．解：(1)由C 1：x 2
＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2
－b 2
＝1.①
C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，
由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6
b 2＝1.②
联立①②得a 2
＝9，b 2
＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 2
8
＝1.
(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →
，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4.③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2
＝4y
得x 2
－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2
＝－4.④
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 2
9＝1得(9＋8k 2)x 2
＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以
x 3＋x 4＝－
16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－64
9＋8k
2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2
＋1)＝162k 2
（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2
＋1)＝162
×9（k 2
＋1）（9＋8k 2）2
， 所以(9＋8k 2)2
＝16×9，解得k ＝±
64，即直线l 的斜率为±6
4
. 21．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，
且点⎝
⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b
2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E
于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
(i)求|OQ ||OP |
的值；
(ii)求△ABQ 面积的最大值．
21．解：(1)由题意知3
a 2＋14
b 2＝1，又a 2
－b 2
a ＝32
，解得a 2＝4，b 2
＝1.
所以椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 2
4
＝1.
(i)设P (x 0，y 0)，|OQ |
|OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．
因为x 20
4＋y 2
＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2
04＋y 20＝1，
所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.
(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－16＝0，
由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2
，①
则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2
－16
1＋4k 2，
所以|x 1－x 2|＝416k 2
＋4－m
2
1＋4k
2
. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2
＋4－m 2
|m |
1＋4k 2
＝2（16k 2
＋4－m 2
）m
2
1＋4k 2
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－m 21＋4k 2m 2
1＋4k 2. 设
m 2
1＋4k
2
＝t .
将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2
≤1＋4k 2
.②
由①②可知，0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2
＋4t ，故S ≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2
＝1＋4k 2
时取得最大值23， 由(i)知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.
20．H5、H8 如图1­6，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为2
2
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
图1­6
20．解：(1)由题设知c a ＝
22
，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2
，解得a ＝ 2. 所以椭圆E 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 2
2＋y 2
＝1，得
(1＋2k 2
)x 2
－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知得Δ>0.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）
1＋2k 2
. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和
k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k
x 2
＝2k ＋(2－k )1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2
x 1x 2
＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）
＝2k －2(k －1)＝2.
20．F3，H5，H8 如图1­3，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是2
2
，点P (0，1)在短
轴CD 上，且PC →·PD →
＝－1.
(1)求椭圆E 的方程．
(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →
＋λPA →·PB →
为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
图1­3
20．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →
＝－1，
于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2
＝－1，
c a ＝22，a 2
－b 2
＝c 2
，
解得a ＝2，b ＝
2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，
y 1)，(x 2，y 2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2
2＝1，y ＝kx ＋1，
得(2k 2＋1)x 2
＋4kx －2＝0.
其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2
＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2
＋1，x 1x 2＝－2
2k 2＋1
. 从而OA →·OB →＋λPA →·PB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ
＝(1＋λ)(1＋k 2
)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2
＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－1
2k 2
＋1
－λ－2.
所以，当λ＝1时，－λ－1
2k 2＋1
－λ－2＝－3.
此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →
＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .
此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →
＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →
为定值－3.
19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为5
5
.
(1)求直线BF 的斜率．
(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.
(i)求λ的值；
(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝75
9，求椭圆的方程．
19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝
55
及a 2＝b 2＋c 2
，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2c
c
＝2.
(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．
(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 2
4c
2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭
圆方程联立，消去y ，整理得3x 2
＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3
.
因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－1
2x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得
21x 2
－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21
.
又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝7
8
.
(ii)由(i)知
|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝15
7
|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－
4
3
c ，所以|BP |＝
0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝55
3
，得c ＝1，
所以椭圆的方程为x 25＋y 2
4
＝1. 7．H5 如图1­3，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )
图1­3
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支
7．C 射线AP 以AB 为旋转轴，∠PAB ＝30°为定值，旋转一周，构成斜放的圆锥，故可知，点P 的轨迹为椭圆．
15．H5 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b
c
x 的对称点Q 在椭圆上，
则椭圆的离心率是________．
15.
2
2
设FQ 的中点为A ，椭圆的左焦点为F ′，连接QF ′.因为点F 和Q 关于直线y ＝b c x 对称，所以点A 在直线y ＝b c
x 上，且OA ⊥QF ，又OA ∥QF ′，所以F ′Q ⊥QF .在直角三
角形OAF 中，tan ∠AOF ＝b c ，又a 2＝b 2＋c 2
，故sin ∠AOF ＝b a ，cos ∠AOF ＝c a ，则|OA |＝c 2a
，|AF |
＝cb a ，|QF ′|＝2c 2a ，|QF |＝2cb a ，所以2a ＝|QF ′|＋|QF |＝2c 2
a ＋2c
b a
，即a 2＝c 2＋cb ，又a 2＝c 2＋b 2
，所以c ＝b ，故e ＝c
a ＝
22
. 21．H5、H8 如图1­5，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线
交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.
(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<4
3
，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
图1­5
21．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得
2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝（2＋2）2
＋（2－2）2
＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2
－c 2
＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2
＋|PQ |2
＝1＋λ2
|PF 1|.
由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2
)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2
， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a （λ＋1＋λ2
－1）
1＋λ＋1＋λ2
. 由勾股定理得|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝(2c )2
＝4c 2
，
从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2a （λ＋1＋λ2
－1）1＋λ＋1＋λ2
2
＝4c 2， 两边除以4a 2
，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）
2
（1＋λ＋1＋λ2）
2
＝e 2
. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2
，则上式变成e 2
＝4＋（t －2）2
t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12
.
由34≤λ<43，得3≤t <4，即14<1t ≤1
3. 进而12<e 2≤59，即22<e ≤53
.
18．H5、H10 如图1­4，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的离心
率为
2
2
，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；
(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，
C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．
图1­4
18．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2
c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，
所以椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2
)x 2
－4k 2
x ＋2(k 2
－1)＝0，则x 1，2＝2k 2
±2（1＋k 2
）
1＋2k
2
，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2k 2
1＋2k 2，－k 1＋2k 2，
且AB ＝（x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
＝（1＋k 2
）（x 2－x 1）2
＝22（1＋k 2
）
1＋2k
2
. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意， 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k
1＋2k 2
＝－1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2k 2
1＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2
|k |（1＋2k 2
）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2
＋1）1＋k 2
|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2
）
1＋2k 2
，解得k ＝±1， 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.
H6 双曲线及其几何性质
6．H6 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2
－y 24＝1 B.x 2
4－y 2＝1 C ．x 2
－y 22＝1 D.x 2
2
－y 2
＝1
6．A A 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x ；C
中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中双曲线的渐近线方程为y ＝±
2
2
x .故选A. 9．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )
A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2
B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2
D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2
9．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2
（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，
化简得b a <b ＋m
a ＋m (m >0)，得bm <am ，得
b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m
a ＋m
，即e 1<e 2.故选D.
16．H6 已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
8＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，
当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
16．12 6 由已知得a ＝1，c ＝3，则F (3，0)，|AF |＝15.设F 1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF |－|PF 1|＝2，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2≥|AF 1|＋2＝17，即点P 是线段AF 1与双曲线的交点时，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2最小，即△APF 周长最小，此时，sin ∠OAF ＝15，cos ∠PAF ＝1－2sin 2
∠OAF ＝2325，即有sin ∠PAF ＝4625.由余弦定
理得|PF |2
＝|PA |2
＋|AF |2
－2|PA ||AF |cos ∠PAF ，即(17－|PA |)2
＝|PA |2
＋152
－2|PA |×15×2325，解得|PA |＝10，于是S △APF ＝12|PA |·|AF |·sin ∠PAF ＝12×10×15×46
25＝
12 6.
15．H6 已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1
2x ，则该双曲线的标准方程
为________．
15.x 2
4－y 2＝1 根据双曲线的渐近线方程y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 2
4
－y 2
＝
λ(λ≠0)，将点(4，3)的坐标代入得λ＝1，所以双曲线方程为x 2
4
－y 2＝1.
12．H6 已知(2，0)是双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________．
12. 3 因为(2，0)是双曲线x 2
－y 2b
2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝22
，又因为b >0，
所以b ＝ 3.
6．H6 若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.
73 B.54 C.43 D.53
6．D 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，故b a ＝43
，
又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2
＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53
，选D.
15．H6 过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C
于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
15．2＋ 3 过右焦点且与渐近线平行的一条直线不妨设为y ＝b
a
(x －c )，∵该直线与双曲线交点的横坐标为2a ，∴有（2a ）2
a 2
－y
2
b
2＝1，解得y ＝－3b (y ＝3b 舍去)，∴－3b ＝b a
(2a －c )，整理得c ＝(2＋3)a ，即双曲线的离心率e ＝2＋ 3.
7．H6，H8 过双曲线x 2
－y 2
3＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近
线于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.
4 3
3
B ．2 3
C ．6
D ．4 3 7．D 由题意得，a ＝1，b ＝3，故c ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝2 3或y ＝－2 3，故|AB |＝4 3.
5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线
与圆(x －2)2
＋y 2
＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.x 29－y 213＝1
B.x 213－y 29＝1
C.x 2
3－y 2＝1 D ．x 2
－y 2
3
＝1 5．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2
＝4①.其渐
近线方程为y ＝±b a
x ，且渐近线与圆相切，所以|2b |
a 2＋
b 2
＝3②.联立①②，解得b ＝3，a
＝1，所以所求双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
9．H6 设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作
A 1A 2的垂线与双曲线交于
B ，
C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A ．±12
B ．±2
2
C ．±1
D ．± 2
9．C 由题设，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F (c ，0)．将x ＝c 代入双曲线方程，解得y
＝±b 2a .不妨设Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2
a ，则kA 1B ＝
b 2a
c ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2
a c －a
＝
－1，整理得b a
＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.
12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2
－y 2
＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．
12.
22
不妨设点P (x 0，x 2
0－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||
x 0－
x 20－1＋12
.令u (x )＝x －x 2
－1＝
1
x ＋x 2－1
，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.
当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >
22，故c max ＝2
2
.
H7 抛物线及其几何性质
5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2
＝8x
的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
5．B 抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距
c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2
＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212
＝1.A ，B 是C
的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.
19．H7、H10 已知点F 为抛物线E ：y 2
＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
图1­4
19．解：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p
2.
因为|AF |＝3，所以2＋p
2＝3，解得p ＝2，
所以抛物线E 的方程为y 2
＝4x .
(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2
＝4x 上，
所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)． 由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)． 由⎩⎨
⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，
得2x 2
－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝ 2 2－02－（－1）＝2 23，k GB ＝－2－012
－（－1）＝－2 2
3
，
所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．
方法二：(1)同方法一．
(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2
＝4x 上，
所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)， 由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)． 由⎩⎨
⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，
得2x 2
－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2.
又G (－1，0)，故直线GA 的方程为2 2x －3y ＋2 2＝0， 从而r ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 2
17
.
又直线GB 的方程为2 2x ＋3y ＋2 2＝0，
所以点F 到直线GB 的距离d ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 2
17＝r .
这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．
20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)
的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →
同向．
(1)求C 2的方程；
(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．
20．解：(1)由C 1：x 2
＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2
－b 2
＝1.①
C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，
由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6
b 2＝1.②
联立①②得a 2
＝9，b 2
＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 2
8
＝1.
(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →
，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4.③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2
＝－4.④
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 2
9＝1得(9＋8k 2)x 2
＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以
x 3＋x 4＝－
16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－64
9＋8k
2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2
＋1)＝162k 2
（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2
＋1)＝162
×9（k 2
＋1）（9＋8k 2）2
， 所以(9＋8k 2)2
＝16×9，解得k ＝±
64，即直线l 的斜率为±6
4
. 3．H7 已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A ．(－1，0)
B ．(1，0)
C ．(0，－1)
D ．(0，1)
3．B 抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由已知得－p 2＝－1，所以p
2＝1，故
其焦点坐标为(1，0)．
19．H7，H10 如图1­5，已知抛物线C 1：y ＝1
4x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)
作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．
(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
图1­5
19．解：(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由直线PA 与抛物线相切,得k ＝
t .
因此，点A 的坐标为(2t ，t 2
)．
设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 0
2＝－x 02t ＋1，
x 0t －y 0＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝2t
1＋t 2，
y 0＝2t 2
1＋t
2， 因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2t 1＋t 2，2t 2
1＋t 2.
(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2
，和直线PA 的方程tx －y －t 2
＝0. 点B 到直线PA 的距离d ＝
t 2
1＋t
2
.
设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t
3
2.
H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）。