浙江省湖州市嘉善第四中学高一数学理模拟试题含解析

浙江省湖州市嘉善第四中学高一数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数的图像经过第一、三和四象限，则（）
A．>1 B．0< <1且m>0
C．>1 且m<0 D．0< <1
参考答案：
C
2. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是（）
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近
D．概率是随机的，在试验前不能确定
参考答案：
C
【考点】概率的意义；随机事件．
【专题】概率与统计．
【分析】利用频率与概率的意义及其关系即可得出．
【解答】解：随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近，这个常数就是此试验的事件的概率．
因此C正确．
故选C．
【点评】熟练掌握频率与概率的意义及其关系是解题的关键．
3. 已知函数．则在单调递增区间是（）
A． B． C． D．参考答案：C
4. 已知，，直线，若直线过线段AB的中点，则a=（）
A. -5
B. 5
C. -4
D. 4
参考答案：
B
【分析】
根据题意先求出线段的中点，然后代入直线方程求出的值.
【详解】因为，，所以线段的中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选
【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单.
5. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有
（）
A．①②③⑤B．②③④⑤ C．①②④⑤D．①②③④
参考答案：
D
6. 如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()
A.0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
参考答案：
B
略
7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A. 向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
参考答案：
D
，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数
的图象向右平移个单位长度.本题选择D 选项.
8. 已知函数在R 上是增函数，点A(0, -1), B(3, 1)是其图像上两点，那么的解集
的补集是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
参考答案： A 略
9. 已知幂函数y=f （x ）的图象过（4，2）点，则=（ ） ．
B ．
C ．
D
．
参考答案：
B
10. 若变量，且满足约束条件
，则的最大值为（ ）
A. 15
B. 12
C. 3
D.
参考答案：
A 【分析】
作出可行域，采用平移直线法判断何处取到最大值.
【详解】画出可行域如图阴影部分，
由得，目标函数图象可看作一条动直线，
由图形可得当动直线过点
时，
．故选A ．
【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数最值的计算，难度较易.求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法是最常规的.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数的近似解在区间
,则
▲ .
参考答案：
12. 某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为_____
参考答案：
54 【分析】
根据分层抽样的定义建立比例关系，即可得到答案。

【详解】设抽取的样本中老年教师的人数为，学校所有的中老年教师人数为270人
由分层抽样的定义可知：，解得：
故答案为54
【点睛】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题。

13. 已知函数（），给出下列四个命题：
①当且仅当时，是偶函数；②函数一定存在零点；
③函数在区间上单调递减；④当时，函数的最小值为．
那么所有真命题的序号是．
参考答案：
①④
略
14. 五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2013个被报出的数为▲．
参考答案：
6
略
15. 函数的对称中心为(1,－1)，则a =
参考答案：
－1
因为是对称中心，则将图象左移1个单位，上移1个单位后，图象关于对称，奇函数。

移动之后的函数，
，解得。

16. 原点到直线l：3x﹣4y﹣10=0的距离为．
参考答案：
2
【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．
【分析】直接由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得，原点到直线l：3x﹣4y﹣10=0的距离
d=．
故答案为：2．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，关键是熟记公式，是基础题．
17. （5分）已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（3）
= ．
参考答案：
38
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：令f（x）﹣3x=t，得f（t）=3t+t，结合函数的单调性，得到方程3t+t=4只有一个解1，从而求出函数的解析式，将x=3代入求出即可．
解答：令f（x）﹣3x=t，
则f（x）=3x+t，f（t）=4，
又f（t）=3t+t，
故3t+t=4，
显然t=1为方程3t+t=4一个解，
又易知函数y=3x+x是R上的增函数，
所以方程3t+t=4只有一个解1，
故f（x）=3x+1，
从而f（3）=28，
故答案为：38．
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了复合函数的性质，是一道中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的单调递增区间. 参考答案：
（1）π（2）
【分析】
（1）通过降次公式和辅助角公式化简函数得到，再根据周期公式得到答案. （2）根据（1）中函数表达式，直接利用单调区间公式得到答案.
【详解】（1）由题意得
．
可得：函数的最小正周期
（2）由，
得，
所以函数的单调递增区间为．
【点睛】本题考查三角函数的最小正周期，函数的单调区间，将函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生对于三角函数性质的应用和计算能力.
19. 如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，
AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求PM与BC所成角的正弦值；
（3）求二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值．参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明BC⊥EF．EF⊥BE．然后证明EF⊥平面BCE．
（2）取BE的中点N，连结CN，MN，证明PM∥CN．说明CN与BC所成角∠NCB即为所求，在直角三角
形NBC中，求解．
（3）说明∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角．设AB=1，则AE=1，在Rt△BGH中与在Rt△FGH中，求解二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°又因为∠AEF=45°，
所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．
因为BC?平面BCE，BE?平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．
（2）取BE的中点N，连结CN，MN，
则，
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．
所以CN与BC所成角∠NCB即为所求，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB=AE，设AE=a，BE=．BC=a，NC==，在直角三角形NBC中，
．
（3）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD．
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA．从而，FG⊥平面ABCD．
作GH⊥BD于H，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH．
因此，∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角．
因为FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．
设AB=1，则AE=1，．．
在Rt△BGH中，∠GBH=45°，，．在Rt△FGH中，．
故二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值为．
20. （本题10分）已知二次函数的图象上任意一点都不在直线的下方.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设，，若，且的最小值等于，求的解析式.
参考答案：略
21. 已知函数f（x）=x|m﹣x|（x∈R），f（4）=0．
（Ⅰ）求m的值，并指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=a只有一个实根，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3D：函数的单调性及单调区间．
【分析】（Ⅰ）将x=4代入f（x）的解析式，解方程可得a的值；由绝对值的意义，讨论x的范围，运用二次函数的性质，可得单调区间；
（Ⅱ）作出f（x）的图象，考虑直线y=a与曲线有一个交点情况，即可得到所求a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x|m﹣x|，且f（4）=0．
得4|m﹣4|=0，解得m=4；
故f（x）=x|4﹣x|，
当x≥4时，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
对称轴x=2在区间[4，+∞）的左边，
f（x）在[4，+∞）递增；
当x＜4时，f（x）=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，
可得f（x）在（﹣∞，2）递增；在（2，4）递减．
综上可得f（x）的递增区间为（﹣∞，2），（4，+∞）；
递减区间（2，4）；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，如图所示：
由f（x）的图象可知，
当a＜0或a＞4时，
f（x）的图象与直线y=a只有一个交点，
方程f（x）=a只有一个实根，
即a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
22. 已知f（x）=|2x﹣1|．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）比较f（x+1）与f（x）的大小；
（3）试确定函数g（x）=f（x）﹣x2零点的个数．
参考答案：
【考点】5B：分段函数的应用；3D：函数的单调性及单调区间；52：函数零点的判定定理．【分析】（1）将函数转化为分段函数，利用分段函数确定函数单调区间．
（2）利用函数的单调性比较大小．
（3）转化函数的零点与函数的图象的交点，画出函数的图象，判断即可．
【解答】解：（1）当x≥0时，函数f（x）=|2x﹣1|=2x﹣1，此时函数单调递增．
当x＜0时，函数f（x）=|2x﹣1|=﹣（2x﹣1）=1﹣2x，此时函数单调递减．
∴函数的单调递增区间为[0，+∞），单调递减为（﹣∞，0）．
（2）若x≥0，则x+1≥1，此时函数f（x）单调递增，∴f（x+1）＞f（x），
若x+1≤0，则x≤﹣1，此时函数f（x）单调递递减，∴f（x+1）＜f（x），
若x+1＞0且x＜0，即﹣1＜x＜0时，
f（x）=﹣2x+1，f（x+1）=|2x+1﹣1|=2x+1﹣1，
则f（x+1）﹣f（x）=2x+1﹣1﹣（1﹣2x）=2x+2x+1﹣2=3?2x+1﹣2＞0，
∴f（x+1）＞f（x），
综上：当x≤﹣1时，f（x）＜f（x+1）．当x＞﹣1时，f（x）＞f（x+1）．
（3）由（1）可知函数f（x）=|2x﹣1|在x=0时取得最小值0，
g（x）=f（x）﹣x2=0，
即|2x﹣1|=x2，在坐标系中画出函数y=|2x﹣1|与y=x2的图象，如图：两个函数的图象的交点有3个．
函数g（x）=f（x）﹣x2零点的个数为3．。