2021年湖南省邵阳市洞口县洞口镇洞口中学高一数学文联考试卷含解析

2021年湖南省邵阳市洞口县洞口镇洞口中学高一数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，则甲运动员的极差与乙运动员的
众数分别是（）
A．20、80 B．20、81 C．17、80 D．17、81
参考答案：
C
考点：众数、中位数、平均数．
专题：概率与统计．
分析：根据茎叶图计算甲的极差，找出乙成绩中出现最多的数据即可．
解答：由茎叶图可知，甲成绩的极差为95﹣78=17，乙运动员的众，80；
故选C．
点评：本题考查了茎叶图中的极差以及众数的计算，明确各定义是关键，属于基础题．
2. 已知{a n}是等差数列，且，，则（）
A. -9
B. -8
C. -7
D. -4
参考答案：
B
【分析】
由，得，进而求出.
【详解】解：是等差数列，且，故选B.
3. P（3，y）为α终边上一点，，则y=（）
A．﹣3 B．4 C．±3D．±4
参考答案：
D
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】利用余弦函数的定义，即可得出结论．
【解答】解：∵P（3，y）为α终边上一点，，
∴=，
∴y=±4，
故选D．
4. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
A．，； B．，；C．，； D．，。

参考答案：
C
略
5. 在平面内，已知，则（）A．3 B．C．D．
参考答案：B
6. 函数的部分图象如图所示，若，且
，则等于（）
A. 1
B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据图象可求得和，利用求得；代入，结合求得，从而求得；根据图象可求得函数一个对称轴为，从而可得，代入函数解析式求得结果.
【详解】由图象可知：，
将代入上式得
由得：
函数图象的一个对称轴为：
又且，即本题正确选项：
【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够根据图象求出函数的解析式和对称轴，从而根据对称关系求得自变量的取值.
7. 函数的图象与函数y=2sinπx(－4≤x≤6)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．18 B．14 C.16 D．12
参考答案：
D
8. 已知集合M={1，2}，N={2，3，4}，若P=M∪N，则P的子集个数为（）
A．14 B．15 C．16 D．32
参考答案：
C
【考点】并集及其运算．
【分析】根据并集的定义写出P=M∪N，再计算P的子集个数．
【解答】解：集合M={1，2}，N={2，3，4}，
则P=M∪N={1，2，3，4}，
∴P的子集有24=16个．
故答案为：C．
9. （多选题）下列各式中，值为的是（）
A. 2sin15°cos15°
B. cos215°－sin215°
C. 1－2sin215°
D. sin215°+ cos215°
E.
参考答案：
BCE
【分析】
利用二倍角公式计算可得.
【详解】解：A不符合，；
B符合，；
C符合，；
D不符合，；
E符合，．
故选：BCE．
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.
10. 下列各式中，函数的个数是( )
①y=1；②y=x2；③y=1﹣x；④y=+．
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
B
【考点】函数的概念及其构成要素．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的定义方便继续判断即可．
【解答】解：根据函数的定义可知，①y=1；②y=x2；③y=1﹣x；都是函数，
对应④，要使函数有意义，则，
即，则x无解，∴④不是函数．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的判断，根据函数的定义是解决本题的关键，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则的最小值为_____．
参考答案：
2
【分析】首先分析题目，由已知，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用基本不等式代入已知条件，化简为不等式，解不等式即可，．
【详解】解：由题可得：（当且仅当时取等号），
整理得：，
即：，
又：，
所以：（当且仅当时取等号），
则：的最小值是2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。

12. 已知直线2x+y﹣2=0与直线4x+my+6=0平行，则它们之间的距离为．
参考答案：
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】由2m﹣4=0，解得m．再利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：由2m﹣4=0，解得m=2．
直线4x+my+6=0化为：2x+y+3=0．
经过验证：m=2时，两条直线平行．
它们之间的距离d==．
故答案为：．
13. 在△ABC中，，且，则AB=____________
参考答案：
【分析】
根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.
【详解】由正弦定理可知：，又
由余弦定理可知：
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.
14. 方程在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．
参考答案：
【详解】∵1﹣2a=2sin（2x+），
令y1（x）=2sin（2x+），y2（x）=1﹣2a，
∵x∈，
∴2x+∈[，]，
方程2sin（2x+）+2a﹣1=0在[0，]上有两个不等的实根，
由图知，≤2sin（2x+）＜2，即≤1﹣2a＜2，∴﹣2＜2a﹣1≤﹣，
解得﹣＜a≤．
∴实数a的取值范围是．
故答案为.
点睛：这个题目考查了已知函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含x的函数，注意让含x的函数式子尽量简单一些.
15. (13) 数列，，，，，…的一个通项公式为_________.
参考答案：
a n=
略
16. 给出下列命题：①已知函数的图象与直线的某两个交点的横坐标为
，若的最小值为，则；②向量与满足||=||||,则与共线；
③已知幂函数的图象与坐标轴不相交，且关于轴对称，则;其中所
有正确命题的序号是。

参考答案：
②
17. 已知一个扇形的周长是40，则扇形面积的最大值为___________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=log3（9x）?log3（3x），≤x≤9．（Ⅰ）若m=log3x，求m取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．
参考答案：
考点：复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求m得取值范围；
（Ⅱ）把f（x）=log3（9x）?log3（3x）利用对数式的运算性质化为含有m的二次函数，然后利用配方法求函数f（x）的最值，并由此求出最值时对应的x的值．
解答：解：（Ⅰ）∵，m=log3x为增函数，
∴﹣2≤log3x≤2，即m取值范围是；
（Ⅱ）由m=log3x得：f（x）=log3（9x）?log3（3x）
=（2+log3x）?（1+log3x）
=，
又﹣2≤m≤2，∴当，即时f（x）取得最小值，
当m=log3x=2，即x=9时f（x）取得最大值12．
点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了换元法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．
19. 如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3 km，∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N 之间），且∠MON=30°．（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）在△OAB，根据OA=3km，OB=3 km，∠AOB=90°，可以求出,在△OAM中,运用余弦定理,求出, 在△OAN中,可以求出,在△OMN中，运用正弦定理求出;
（2）解法1：在△OAM中，由余弦定理可以求出的表达式, 的表达式,在△OAN中,可以求出的表达式,运用正弦定理求出,运用面积求出的表达式，运用换元法、运用基本不等式，求出的最小值；
解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜,在△OAM中，由正弦定理得OM的表达式．在△OAN中，由正弦定理得ON的表达式．利用面积公式可得出，化简整理求最值即可＝
【详解】（1）在△OAB中，因为OA=3，OB=3，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°．
在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cos A=7，
所以OM=，所以cos∠AOM==，
在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．
在△OMN中，由=，得MN=×=．
（2）解法1：设AM=x，0＜x＜3．
在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cos A=x2-3x+9，
所以OM=，
所以=，
在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）
=cos∠A OM=．
由=，
得．
所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=???
=，（0＜x＜3）．
令6-x=t，则x=6-t，3＜t＜6，则S△OMN==（t-9+）
≥?（2-9）=．
当且仅当t=，即t=3，x=6-3时等号成立，S△OMN的最小值为．所以M的位置为距离A点6-3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是
km2．
解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜
在△OAM中，由=，得OM=．在△OAN中，由=，得ON==．
所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=???
===
==，（0＜θ＜）．
当2θ+=，即θ=时，S△OMN的最小值为．
所以应设计∠AOM=，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，正弦型函数的性质的应用，基本不等式的应用及相关的运算问题．
20. 已知，，，．
（ I）求tan2β的值；
（ II）求α的值．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】（I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得tan2β．
（II）由已知可求范围α+β∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β）的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosα的值，结合范围，可求
α=．
【解答】（本题满分为14分）
解：（ I）∵，，可得：sin=，…2分
∴tan==﹣2，…4分
∴tan2β==…7分
（ II）∵，，
∴α+β∈（，），
又∵，
∴cos（α+β）=﹣=﹣，…9分
∴cosα=cos（α+β﹣β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（）×（﹣）+×（）=，
∵，
∴α=．…14分
21. （12分）求值：
（1）﹣（﹣）﹣2+﹣3﹣1+（﹣1）0
（2）已知cos（+x）=，＜x＜，求的值．
参考答案：
考点：三角函数的恒等变换及化简求值；有理数指数幂的运算性质．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）利用有理数指数幂的运算性质，对给出的关系式化简即可；（2）利用三角函数的恒等变换，化简得：=sin2x?tan（+x），依题意，分别求得sin2x与tan（+x）的值，即可求得答案．
解答：（1）
=．
（2）===
=sin2x?tan（+x）．
∵＜x＜，∴＜x+＜2π，又∵cos（+x）=，∴sin（+x）=﹣．
∴tan（+x）=﹣．
∴cosx=cos=cos（+x）cos+sin（+x）sin=×（﹣）=﹣．
∴sinx=sin=sin（+x）cos﹣sin cos（+x）=﹣，
sin2x=．∴=﹣．
点评：本题考查有理数指数幂的运算性质与三角函数的恒等变换及化简求值，考查运算求解能力，属于中档题．
22. 在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
（Ⅰ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率
（Ⅱ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个；（Ⅰ）用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含基本事件有：5个，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
（Ⅱ）用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件有：6个，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有个，
分别是：
（A1，A1），（A1，A2），（A1，B），（A1，C），
（A2，A1），（A2，A2），（A2，B），（A2，C），
（B，A1），（B，A2），（B，B），（B，C），
（C，A1），（C，A2），（C，B），（C，C）．
（Ⅰ）用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，
则N包含基本事件有：个，分别为：
（B，A1），（B，A2），（C，A1），（C，A2），（C，B）．
所以．
（Ⅱ）用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，
则M包含的基本事件有：，分别为：
（A1，A1），（A1，A2），（A2，A1），（A2，A2），（B，B），（C，C）．
所以．。