高中数学选修2-1优质学案9：2.1.1 曲线与方程-2.1.2 求曲线的方程

2.1.1 曲线与方程~2.1.2 求曲线的方程
教材新知
知识点一曲线与方程
提出问题
在平面直角坐标系中：
问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？
问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？
问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？
导入新知
曲线的方程、方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
①曲线上点的坐标都是；
②以这个方程的解为坐标的点都是．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
化解疑难
“纯粹性”与“完备性”
(1)定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”．
(2)定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.
知识点二求曲线的方程
提出问题
在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．
问题1：平面上任一点P(x，y)到A点的距离是多少？
问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？
问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？
导入新知
求曲线的方程的步骤
化解疑难
1．步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理．如定点作为原点，互相垂直的直线作为坐标轴等．合理地建立坐标系，能使运算更方便．
2．步骤(2)可以不必写出，也就是说可以根据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并．
3．步骤(5)没有特殊情况可以省略不写．如有特殊情况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除.
常考题型
题型一曲线的方程与方程的曲线的概念
例1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
类题通法
这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．
活学活用
命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是()
A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C
B ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C
C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程
D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上
题型二曲线与方程的关系
例2 下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x ＋y －1)x －1＝0；
(2)4x 2－y 2＋6x －3y ＝0.
类题通法
判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．
活学活用
已知方程x 2＋(y －1)2＝10.
(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ⎝⎛⎭
⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．
题型三求曲线的方程
例3 过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
类题通法
直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视．活学活用
已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．
随堂即时演练
1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()
A．一个点B．一条直线
C．两条直线D．一个点和一条直线
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()
A．π B．4π
C．8π D．9π
3．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________.
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则动点P的轨迹方程是________________．
5．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．
——★参考答案★——教材新知
知识点一曲线与方程
提出问题
在平面直角坐标系中：
问题1：提示：对．
问题2：提示：不对，还可能在直线x ＝－5上．
问题3：提示：直线x ＝±5.
导入新知
①这个方程的解
②曲线上的点
知识点二求曲线的方程
问题1：提示：|P A |＝(x －2)2＋y 2.
问题2：提示：(x －2)2＋y 2＝(x ＋2)2＋y 2.
问题3：提示：轨迹是一条直线．
常考题型
题型一曲线的方程与方程的曲线的概念
例1 解：(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解；但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5；但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.
活学活用
[答案]B
[解析]“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A ，C ，D 都不正确，B 正确.
题型二曲线与方程的关系
例2 解：(1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0，可得
⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.
故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.
(2)方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，
即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.
故原方程表示的是两条直线2x －y ＝0和2x ＋y ＋3＝0.
活学活用
解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，
点Q 不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．
(2)x ＝m 2
，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.所以m 的值为2或－185
. 题型三求曲线的方程
例3 解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )．
∵M 为线段AB 的中点．
∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y )．
∵l 1，l 2均过点P (2,4)，且l 1⊥l 2，
∴P A ⊥PB ，当x ≠1时，k P A ·k PB ＝－1.
而k P A ＝
4－02－2x ＝21－x ，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x ·2－y 1
＝－1， 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．
当x ＝1时，A ，B 点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0，
综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.
法二：设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.
而|PM |＝(x －2)2＋(y －4)2，|AB |＝(2x )2＋(2y )2，
∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2.
化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程．
活学活用
解：法一(直接法)：如图所示，连接QC ，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得
|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，
即x 2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝9，
所以OP 的中点Q 的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94
(去掉原点)． 法二：(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，
所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上．
故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94
(去掉原点)． 法三：(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，
由题意得⎩⎨⎧ x ＝x 12，
y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝⎛⎭
⎫y －322＝9， 即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94
(去掉原点)．
随堂即时演练
1．[答案]C
[解析]由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．
2．[答案]B
[解析]设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，则其面积是22·π＝4π.
3．[答案]13
[解析]将点P (2，－3)代入曲线方程得4－9k ＝1，∴k ＝13
. 4．[答案](x －1)2＋y 2＝2
[解析]圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为点B (1,0)，半径r ＝1，
则|PB |2＝|P A |2＋r 2.∴|PB |2＝2.
∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.
5．解：设动点坐标为(x ，y )，则动点到直线x ＝8的距离为|x －8|，到点A 的距离为(x －2)2＋y 2. 由已知，得|x －8|＝2(x －2)2＋y 2，
化简得3x 2＋4y 2＝48.
所以动点的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.。