2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版选修2-1学案：3-2-3 空间的角的计算1

2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版选修2-1学案：
3-2-3 空间的角的计算1 空间的角的计算
[学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．
知识点一 两条异面直线所成的角
(1)定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角． (2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2
.
(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a·b |
|a|·|b |
.
知识点二 直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π
2
.
(3)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有 sin θ＝|cos φ|＝
|a·u|
|a|·|u|
或cos θ＝sin φ. 知识点三 二面角
(1)二面角的取值范围：[0，π]． (2)二面角的向量求法：
①若AB ，CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A ，C )，如
图，则二面角的大小就是向量AB →与CD →
的夹角．
②设n 1、n 2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n 1与向量n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．
题型一 两条异面直线所成角的向量求法
例1 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，
点D 是BC 的中点．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．
解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，
则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →
＝(2,0，－4)，C 1D →
＝(1，－1，－4)．
因为cos 〈A 1B →，C 1D →
〉＝|A 1B →·C 1D →||A 1B →||C 1D →|＝1820×18
＝310
10
， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为310
10
.
反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．
解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，
则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →
＝(1，t －2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋(t －2)2·cos 60°，
所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点． 题型二 直线与平面所成角的向量求法
例2 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (0，a
2
，2a )，
C 1(－
32a ，a
2
，2a )，B (0，a,0)， 故AC 1→
＝(－32a ，a 2，2a )，
AM →
＝(0，a 2，2a )，
BC 1→
＝(－32a ，－a 2
，2a )．
设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧
AC 1→·
n ＝0，AM →·n ＝0，∴⎩⎨⎧
－32ax ＋a
2y ＋2az ＝0，a 2y ＋2az ＝0，
令y ＝2，则z ＝－
22，x ＝0.∴n ＝(0,2，－2
2
)． 又BC 1→
＝(－32a ，－a 2
，2a )，
∴cos 〈BC 1→
，n 〉＝BC 1→·n |BC 1→||n |＝－a －a 3a ×
9
2＝－269.
设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈BC 1→
，n 〉|＝269
.
反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．
跟踪训练2 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明MN ∥平面P AB ；
(2)求直线AN
与平面PMN 所成角的正弦值． (1)证明 由已知得AM ＝2
3
AD ＝2.
取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝1
2BC ＝2.
又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB . (2)解 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ， 从而AE ⊥AD ，AE ＝AB 2
－BE 2
＝
AB 2
－⎝⎛⎭⎫BC 22
＝ 5.
以A 为坐标原点，AE →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭
⎫52，1，2，PM →
＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.
设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则
⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．
于是cos 〈n ，AN →
〉＝n ·AN →
|n ||AN →
|
＝8525.
设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝85
25，
∴直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为85
25.
题型三 二面角的向量求法
例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.
(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；
(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值．
(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．
因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .
又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ， 且CK ∩AC ＝C ， 所以BF ⊥平面ACFD .
(2)解 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．
取BC 的中点O ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向， 建立空间直角坐标系O －xyz .
由题意得B (1，0，0)，C (－1，0，0)，K (0，0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32.
因此，AC →＝(0，3，0)，AK →＝(1，3，3)，AB →
＝(2，3，0)．
设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，
取m ＝(3，0，－1)；
由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，
取n ＝(3，－2，3)．
于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝3
4
.
所以，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为
3
4
.
反思与感悟 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面所成角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2|
|n 1|·|n 2|
.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练3 在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．
(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；
(2)已知EF ＝FB ＝1
2
AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．
(1)证明 设FC 中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF . 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .
在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC ，又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .
(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .
由题意得B (0，23，0)，
C (－23，0，0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ， 所以FM ＝
FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．
故BC →＝(－23，－23，0)，BF →
＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的一个法向量．
由⎩
⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0.可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，33，
因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝7
7.
所以二面角F －BC －A 的余弦值为
77
.
1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1
2，则直
线l 与平面α所成的角为________． 答案 30°
解析 由cos 〈m ，n 〉＝－1
2
知，
直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________． 答案 45°或135° 解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝
12＝2
2
， ∴二面角的大小为45°或135°.
3．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________．
答案 90°
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)， B 1⎝⎛⎭
⎫
62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛
⎭
⎫62，22，1. ∴AB 1→
＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，
C 1B →
＝⎝⎛⎭
⎫62，－22，1，
∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →
.
即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.
4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________． 答案
6
3
解析 设正方体的棱长为1，建系如图． 则D (0,0,0)，B (1,1,0)， B 1(1,1,1)．
平面ACD 1的一个法向量为DB 1→
＝(1,1,1)． 又BB 1→
＝(0,0,1)，
则cos 〈DB 1→，BB 1→
〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33.
故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为
1－(
33)2＝6
3
. 5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________． 答案
9
25
解析 如图，建立空间直角坐标系．
由已知得A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，B 1(4，4,0)，C (0,4,3)． ∴A 1B →
＝(0,4,3)，
B 1
C →
＝(－4,0,3)， ∴cos 〈A 1B →，B 1C →
〉＝925
.
利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．。