2018年高中数学人教版选修2-3课件：3.1回归分析的基本思想及其初步应用
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预习课本 P80～89，思考并完成以下问题
1．什么是回归分析？
2．什么是线性回归模型？
3．求线性回归方程的步骤是什么？
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[新知初探] 1．回归分析 (1)回归分析 回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种 常用方法． (2)回归方程的相关计算 对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1，y1)，(x2， y2)，„，(xn，yn)．设其回归直线方程为^ y ＝^ b x＋^ a ，其中^ a ，^ b 是待 定参数，由最小二乘法得
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(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认 为 x 和 y 线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ 5．6 6．0 6．1 6．4 7．0 7．5 8．0 8．2 54．8
yi 130 136 143 149 157 172 183 188 1 258
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^ b＝
i＝1
xi－ x yi－ y xiyi－nx y
i＝1 n
n
n
i＝1
xi－ x
n
＝
2
，
i＝1
xi2－n x 2
^ a ＝ y －^ bx． (3)线性回归模型
y＝bx＋a＋e， 线性回归模型 2 E e ＝ 0 ， D e ＝ σ
，其中 a，b 为模型的未知
参数，通常 e 为随机变量 ，称为 随机误差．x 称为解释 变量，y 称为 预报 变量．
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[点睛]
对线性回归模型的三点说明
(1)非确定性关系：线性回归模型 y＝bx＋a＋e 与确定性函 数 y＝a＋bx 相比，它表示 y 与 x 之间是统计相关关系(非确定 性关系)， 其中的随机误差 e 提供了选择模型的准则以及在模型 合理的情况下探求最佳估计值 a，b 的工具． (2)线性回归方程^ y ＝^ b x＋^ a 中^ a ，^ b 的意义是：以^ a 为基数， x 每增加 1 个单位，y 相应地平均增加^ b 个单位．
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2．线性回归分析 (1)残差：对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)的随机误差的估计值
n
^ e i＝yi－^ y I 称为相应于点(xi，yi)的残差， y i)2 称为残差平方和． (yi－^
i＝1
(2)残差图： 利用图形来分析残差特性， 作图时纵坐标为残差 ， 横 坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出 的图形称为残差图． y i2 yi－^
答案：0 1 或－1
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求线性回归方程
[典例] 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行 x y 6 2 8 3 10 5 12 6 统计分析，得下表数据
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程 ^ y ＝^ b x＋^ a； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的 判断力．
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[解]
(1)散点图如图：
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(2) xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
i＝1
n
6＋8＋10＋12 2＋3＋5＋6 x＝ ＝ 9， y ＝ ＝4， 4 4
i＝1
xi2＝62＋82＋102＋122＝344．
n
158－4×9×4 14 ^ ^ b＝ ＝0． 7， a ＝ y －^ b x ＝4－0． 7×9＝－2． 3， 2 ＝ 20 344－4×9 故线性回归方程为^ y ＝0．7x－2．3． (3)由(2)中线性回归方程知，当 x＝9 时，^ y ＝0．7×9－2．3＝4， 故预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4．
n
i＝1
(3)R2＝1－
i＝1
yi－ y 2
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n
越接近 1，表示回归的效果越好．
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[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)残差平方和越小， 线性回归方程的拟合效果越好．( √ ) (2)在画两个变量的散点图时， 预报变量在 x 轴上，解释变 量在 y 轴上． (3)R2 越小， 线性回归方程的拟合效果越好． ( ×) ( × )
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x 31．36 36．00 37．21 40．96 49．00 56．25 64．00 67．24 382．02
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xiyi 728．0 816．0 872．3 953．6 1 099．0 1 290．0 1 464．0 1 541．6 8 764．5
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计算得 x ＝6．85， y ＝157．25．
5．6 6．0 6．1 6．4 7．0 7．5 8．0 8．2
130
136
143
149
157
172
183
188
以产量为 x，成本为 y． (1)画出散点图； (2)y 与 x 是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．
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解：(1)由表画出散点图，如图所示．
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求线性回归方程的三个步骤 (1)画散点图： 由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否 具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数． (3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行 预测说明．Fra bibliotek首 页
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[活学活用] 某工厂 1～8 月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表： 月份 产量 (吨) 成本 (万元) 1 2 3 4 5 6 7 8
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2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变 量的这种相关关系称为________．
答案：正相关
3．在残差分析中， 残差图的纵坐标为________．
答案：残差
4．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上， 则残差 平方和等于________， 解释变量和预报变量之间的相关系 数等于________．
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预习课本 P80～89，思考并完成以下问题
1．什么是回归分析？
2．什么是线性回归模型？
3．求线性回归方程的步骤是什么？
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[新知初探] 1．回归分析 (1)回归分析 回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种 常用方法． (2)回归方程的相关计算 对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1，y1)，(x2， y2)，„，(xn，yn)．设其回归直线方程为^ y ＝^ b x＋^ a ，其中^ a ，^ b 是待 定参数，由最小二乘法得
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(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认 为 x 和 y 线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ 5．6 6．0 6．1 6．4 7．0 7．5 8．0 8．2 54．8
yi 130 136 143 149 157 172 183 188 1 258
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^ b＝
i＝1
xi－ x yi－ y xiyi－nx y
i＝1 n
n
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i＝1
xi－ x
n
＝
2
，
i＝1
xi2－n x 2
^ a ＝ y －^ bx． (3)线性回归模型
y＝bx＋a＋e， 线性回归模型 2 E e ＝ 0 ， D e ＝ σ
，其中 a，b 为模型的未知
参数，通常 e 为随机变量 ，称为 随机误差．x 称为解释 变量，y 称为 预报 变量．
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[点睛]
对线性回归模型的三点说明
(1)非确定性关系：线性回归模型 y＝bx＋a＋e 与确定性函 数 y＝a＋bx 相比，它表示 y 与 x 之间是统计相关关系(非确定 性关系)， 其中的随机误差 e 提供了选择模型的准则以及在模型 合理的情况下探求最佳估计值 a，b 的工具． (2)线性回归方程^ y ＝^ b x＋^ a 中^ a ，^ b 的意义是：以^ a 为基数， x 每增加 1 个单位，y 相应地平均增加^ b 个单位．
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2．线性回归分析 (1)残差：对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)的随机误差的估计值
n
^ e i＝yi－^ y I 称为相应于点(xi，yi)的残差， y i)2 称为残差平方和． (yi－^
i＝1
(2)残差图： 利用图形来分析残差特性， 作图时纵坐标为残差 ， 横 坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出 的图形称为残差图． y i2 yi－^
答案：0 1 或－1
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求线性回归方程
[典例] 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行 x y 6 2 8 3 10 5 12 6 统计分析，得下表数据
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程 ^ y ＝^ b x＋^ a； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的 判断力．
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(1)散点图如图：
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(2) xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
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6＋8＋10＋12 2＋3＋5＋6 x＝ ＝ 9， y ＝ ＝4， 4 4
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xi2＝62＋82＋102＋122＝344．
n
158－4×9×4 14 ^ ^ b＝ ＝0． 7， a ＝ y －^ b x ＝4－0． 7×9＝－2． 3， 2 ＝ 20 344－4×9 故线性回归方程为^ y ＝0．7x－2．3． (3)由(2)中线性回归方程知，当 x＝9 时，^ y ＝0．7×9－2．3＝4， 故预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4．
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i＝1
(3)R2＝1－
i＝1
yi－ y 2
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越接近 1，表示回归的效果越好．
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[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)残差平方和越小， 线性回归方程的拟合效果越好．( √ ) (2)在画两个变量的散点图时， 预报变量在 x 轴上，解释变 量在 y 轴上． (3)R2 越小， 线性回归方程的拟合效果越好． ( ×) ( × )
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x 31．36 36．00 37．21 40．96 49．00 56．25 64．00 67．24 382．02
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xiyi 728．0 816．0 872．3 953．6 1 099．0 1 290．0 1 464．0 1 541．6 8 764．5
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计算得 x ＝6．85， y ＝157．25．
5．6 6．0 6．1 6．4 7．0 7．5 8．0 8．2
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以产量为 x，成本为 y． (1)画出散点图； (2)y 与 x 是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．
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解：(1)由表画出散点图，如图所示．
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求线性回归方程的三个步骤 (1)画散点图： 由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否 具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数． (3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行 预测说明．Fra bibliotek首 页
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[活学活用] 某工厂 1～8 月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表： 月份 产量 (吨) 成本 (万元) 1 2 3 4 5 6 7 8
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2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变 量的这种相关关系称为________．
答案：正相关
3．在残差分析中， 残差图的纵坐标为________．
答案：残差
4．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上， 则残差 平方和等于________， 解释变量和预报变量之间的相关系 数等于________．