多项式函数的高阶导数

多项式函数的高阶导数
一般来说，n个函数相乘的高阶导数是可以有类似Leibniz rule (fg)'=fg'+f'g的公式的，他就是不断迭代Leibniz rule的结果。

求这
个公式关键是要计算各个系数，是个组合问题。

两个函数乘积的高阶导数公式如下：
(fg)^{(n)}=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}f^{(i)}g^{(n-i)}}多个函数乘积的一阶导数公式如下：(f_1f_2\cdots
f_n)'=f_1'f_2\cdots f_n+f_1f_2'f_3\cdots f_n+\cdots+f_1f_2\cdots f_{n-1}f_n'。

一般情况下可以这样寻找系数。

(f_1\cdots f_n)^{(k)}含有的项是
\prod {f_i^{(r_i)}}, \mathrm{where} \;r_i\ge0,\; \sum {r_i}=k,
这一项的系数怎么来？考虑到每次求导都会有那么一项会增大某个f_i的
导数阶数而其他不变，那么求k次导以后就能得到\prod {f_i^{(r_i)}}。

当然求导路径不止一种，你可以先对f_1求导再对f_2求导etc, 也可以
换顺序，不过每一种求导路径都贡献系数1，所以\prod {f_i^{(r_i)}}
的系数就是(0,0,..,0)到(r_1,...,r_n)的路径数目，路径指的是“从
x_1=...=x_n=0开始，不断进行将某一个x_i增加1的操作，直到走到
x_i=r_i为止”的一种操作方法。

发现这跟把r_1个数字1，r_2个数字2，..., r_n个数字n排成一列的排法一一对应，一共有
\frac{k!}{r_1!r_2!\cdots r_n!}个。

于是我们有公式：
(f_1...f_n)^{(k)}=\sum_{r_1+...+r_n=k, r_i\ge
0}\frac{k!}{r_1!r_2!\cdots r_n!}\prod {f_i^{(r_i)}}
很复杂，不过放心，如果多项式已经拆成一次多项式f_i=x-a_i的乘
积了，那么每个每一项二阶导都是0，所以(f_1\cdots f_n)^{(k)}中只
有形如\prod {f_i^{(r_i)}}, \mathrm{where} \;r_i=0\; \mathrm{ or } \;1, \sum {r_i}=k的项了。

每项系数都是k! （因为r_i无论是0还是1，阶乘都是1）. 于是我们有。

f^{(k)}=((x-a_1)...(x-a_n))^{(k)}={k!}\sum_{I\subset
\{1,...,n\}, |I|=n-k} \prod_{i\in I}(x-a_i)
换句话说，如果f是一个能完全分解成线性因式的多项式，f的k阶
导是它所有(n-k)阶因子的和的k!倍。