【数学】江西省南昌市2018届高三第二轮复习测试卷(一)试题(文)(解析版)

江西省南昌市2018届高三第二轮复习测试卷
数学试题（一）（文）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则集合可以是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先求得集合A，再有得，即可得解.
因为，
由得，
故选A．
2.已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点位于复平面的（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】先根据得到z然后根据复数的坐标定义即可得出结论.
详解：由题得：
故z所对应的坐标为，为第四象限
故选D.
3.已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.
因为直线与轴的交点为，
所以在双曲线中有，
故，即，
故选D．
4.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽
取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间的人做问卷，编
号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据系统抽样可知抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，得，由，进而求解即可.
若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，则需要分为组，每组20人，若第一组抽到的号码为，则以后每组有抽取的号码分别为，
所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，
此等差数列的通项公式为.
由题意可知，落在区间[1521,2000]的有：.
解得：.，所以
编号落入区间的有（人），
故选B．
5.已知数列为等比数列，，且是与的等差中项，则的值为（）
A. 或
B.
C. 或
D.
【答案】C
【解析】由是与的等差中项，得，进而解得，代入等比数列的通项公式求解即可.
由题意，
所以，故选C．
6.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为
（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由条件可得，由与垂直，进而得，即可得解.
因为，所以，
故答案选D．
7.已知，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在上递增，，化为，由指数函数的性质，可得，故选C.
8.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，计算表面积令其等于，即可得解.
由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，
设圆半径为，所以该几何体的表面积，得，故选A．
9.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，，)
A. 600立方寸
B. 610立方寸
C. 620立方寸
D. 633立方寸
【答案】D
【解析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用
，乘以高即可得体积.
连接，设⊙的半径为，
则，所以.
由于，
所以，即.
所以平方寸．
∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，
故选D．
10.某程序框图如图所示，若输出，则判断框中为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由框图程序可知，结合循环结构的终止条件可得解.由框图程序可知
因为，
所以
所以，解得，即当时程序退出，
故选B．
11.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆
的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，则，进而得最值.
【详解】由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为．
设，则
所以当时，切线长取得最小值，
此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D．
【点睛】圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．
12.设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得令，即与恰有3个交点，由
，利用导数得到函数的单调性即可得解.
恰有3个零点，则恰有3个根，
令，即与恰有3个交点，
，
当时，，所以在上是减函数；
当时，，
当时，，
当时，，
所以在时增函数，在时减函数，且，
所以
故选A．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知函数为奇函数，若，则的值为________.
【答案】3
【解析】由函数为奇函数，可得，进而可得解.
因为函数为奇函数，且，，
所以，所以．
所以．
【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，属于基础题.
14.已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为
________．
【答案】
【解析】由不等式恒成立，可得恒成立，故，由线性规划求最值即可.
由不等式恒成立，可得恒成立，故．
作出不等式组满足约束条件所对应的可行域，可得经过点时有最小值
，所以实数的取值范围为．
15.记为不超过的最大整数，如，则函数的所有零点
之和为________.
【答案】
【解析】由，令，求导利用函数单调性可证得在上无零点，只需考虑：，，，求解即可.
由题意可知：.
令.
有：.
所以在上单调递减，有，
所以在上无零点，
只需考虑：，，，
可得三个零点分别为，故答案为．
16.已知数列满足，，，则使得成立的最大值为
____________.
【答案】999
【解析】由，得数列是首项为，公差为的等差数列，，进而可得，从而列不等式求解即可.
因为，所以，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，所以．
所以．
解得．
故答案为：999.
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数的部分图像如图所示，其中、分别为函数的一个最高点和最低点，、两点的横坐标分别为，且．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求的值．
解：（Ⅰ）由图可知，所以，
又因为，所以，
又因为，因为，所以.
所以函数，令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（Ⅱ）因为，由余弦定理得
所以
所以，当且仅当等号成立，即
所以，有.
18.某大学为了更好提升学校文化品位，发挥校园文化的教育功能特举办了校园文化建设方
案征集大赛，经评委会初评，有两个优秀方案入选.为了更好充分体现师生的主人翁意识，组委会邀请了100名师生代表对这两个方案进行登记评价（登记从高到低依次为），评价结果对应的人数统计如下表：
10
（Ⅰ）若按分层抽样从对1号方案进行评价的100名师生中抽取样本进行调查，其中等级层抽取3人，等级层抽取1人，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从对2个方案的评价为的评价表中各抽取进行数据分析，再从中选取2份进行详细研究，求选出的2份评价表中至少有1份评价为的概率. 解：（Ⅰ）由分层抽样可知，.又，
所以，所以.
（Ⅱ）由题意，对1号方案、2号方案抽取的样本容量都是4.其中，1号方案的评价表中，评价为的有3份，评价为的有1份，令其分别记为；2号方案的评价表中，评价为的有2份，评价为的有2份，令其分别记为.从中抽取2份评价表，不同的结果为：，
，
，
，，
，，共28个.
其中至少有1份评价为的所包含的不同结果为
，
，，
共18个.
故所求事件的概率为.
19.如图，在斜三棱柱中，已知，，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.
（Ⅰ）证明：连接，在平行四边形中，
由得平行四边形为菱形，所以，
又，所以，所以，
又，所以，所以平面平面
（Ⅱ）取的中点O,连接AO，易知平面，平面,
所以点到平面的距离为，由平面，所以点到平面的距离为，点到平面的距离为.
.
故四棱锥的体积为.
20.已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到
直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆在第一象限内一点，直线分别交轴、轴于两点，求四边形的面积．
解：（Ⅰ）因为椭圆经过点，有，
由等面积法，可得原点到直线的距离为，
联立两方程解得，所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点，则，即．
直线，令，得．
从而有，同理，可得．
所以四边形的面积为
．所以四边形的面积为．
21.已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求证：.
解：（Ⅰ）定义域为，因为，
当时，；或，
此时函数的增区间为，减区间为，
当时，，函数无单调区间
当时，；或，
此时函数的减区间为，增区间为，
（Ⅱ）欲证，即证，
只需证，设，，即证
因为，令，得
当时，；当或时，，
又因为，当时，，当时，
所以，而
所以，即成立.
22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线过点的参数方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．
解：（Ⅰ）将，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程．
所以直线过点的参数方程为（为参数）．
（Ⅱ）由，得，
由代入，得．
将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）
．
设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．
由题设得，即．
由（*）得，，则有，
得或．因为，所以．
23.已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.
解：（Ⅰ）当时，，不等式，即，当时，由，解得；
当时，由，解得，故不等式无解；
当时，由，解得．
综上的解集为．
（Ⅱ）等价于．
当时，等价于，即，
若的解集包含，则[，，即．
故满足条件的的取值范围为.。