空间向量和立体几何练习题及答案

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段P B上，P D∥平面M A C，P A=P D=，A B=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
，的坐标，由与平面
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），
，
则由，取z=，得．
．
）解：，平面
＞
||||．
2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在
），求出的坐标，结合直线BE 所成角的余弦值为
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），
E（0，2，2），
则，，
设平面MEN的一个法向量为，
由，得，取z=2，得．
由图可得平面CME的一个法向量为．
的余弦值为，则正弦值为；
），，．
所成角的余弦值为，
||=．
t=t=．
所成角的余弦值为
为或
考
直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；
（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．
法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个
取
AE=GE=AC=GC=．
又AM=1，∴EM=CM=．
在△BEC中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，
∴，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°．
解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．
设为平面AEG的一个法向量，
设
由，得．
，
【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．
∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，
∵DF∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
∵AF?平面ABEF，
∴AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴四边形EFDC为等腰梯形．
以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，
则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），
∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）
设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，
则，取=（，0，﹣1）．
设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，
则，
cosθ=
=，
的余弦值为﹣．
建
分AE=CF=
=．
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的
坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B ﹣D′A﹣C的正弦值可求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，又AE=CF=，
OH=
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），
，，
设平面ABD′的一个法向量为，
由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．
∴．
同理可求得平面AD′C的一个法向量，
设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，
则|cosθ|=．
．
E，
AE=，F=，
AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．
【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．
∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．
∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．
∴A1E=，EF==，DE==，
DF==，
∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，
又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，
∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，
∴CD⊥EF，
．
，，，
∴=（﹣，），，=，
，
∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．
∴=10，||=6，||=．
∴sin＜＞==．
∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．
7．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．
（1）求证：AB⊥PC；
；
，则即为所求角的正弦值．
AD=CD=2，BC=4，
AB===4
∴PA⊥AB，
∴AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴AB⊥PC．
（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA，
∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．
过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥平面MNG，
∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．
若∠MGN=45°，则NG=MN，又AN=NG=MN，
∴MN=1，即M是线段PD的中点．
∴存在点M使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°．
=
MN===2，
∴，解得h=2
BN==
BM==3，
所成角的正弦值为=．
（2）已知点D满足=+，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）推导出A1O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值．
（2）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），则．利用向量法能求出存在点P，使DP∥平面AB
C，其坐标为（0，
0，），即恰好为A1点．
【解答】解：（1）∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，
∴A1O⊥平面ABC．
，
，，），
∴），（），=
的法向量为，
则，取，得=
＜，＞
所成角的正弦值为
）∵=，而
∴=（﹣2，0，0），又∵B（），∴点D（﹣，0，0）．
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），∴．
∵DP∥平面AB1C，=（﹣1，0，1）为平面AB1C的法向量，
∴由=λ，得，∴y=0．…（10分）
又DP?平面AB 1C，故存在点P，使DP∥平面AB1C，其坐标为（0，0，），
即恰好为A1点．…（12分）
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．
，，，
从而，
∠ABD=∠AB1B，…（2分）
∴，∴，从而AB1⊥BD…（4分）∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1?平面AB1C，
∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）
（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，
分别以OD，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，
从而
，，，
，
，∵∴
，…
，
，
由可得，
，，所以．
则
=
，
所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为…（12分）
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至
A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．
（1）当θ=90°时，求A′C的长；
（2）当cosθ=时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．
【分析】（1）过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE，利用勾股定理及余弦定理计算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；
坐标系，求出
＞
AB=4，∴BD==10
∴，BE==8CBE=
CE==2
==2．
DE==2
FDE=，∴=
当即cos∠A′EF=时，．
∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°
又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F
∴A'F⊥平面ABCD．
以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空
间直角坐标系如图所示：
∴A′（0，0，），D（﹣，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）．
∴=（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）．
设平面A′BD的法向量为=（x，y，z），则，
∴，令z=1得=（﹣，2，1）．
=
所成角的正弦值为
D=CD=
在，求的值，若不存在，说明理由．
依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，
利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．
（Ⅲ）利用向量求解
【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC
⊥CC1，
由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，
所以AC⊥平面CC1D，
又C1D?平面CC1D，所以AC⊥DC1．
（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
，，，），
所以，，
的法向量为，
由即
，则，，于是，
中点，所以，所以，
由，可得
1
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．
设，λ∈[0，1]，
则，．
若直线DP与平面DBB1成角为，则
，
解得，
故不存在这样的点．
【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角．属于中档题
，AB=EA=
的法向量，令＜＞=，根据方程的解得出结论．
（II）解：取AD的中点O，过O作ON∥AB交BC于N，连接EO，
∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面AED，
∴OE⊥平面ABCD，
以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
设正方形ACD的边长为2，，
则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），E（0，0，1），M（﹣λ，0，1﹣λ）
∴=（﹣λ﹣1，0，1﹣λ），=（1，0，1），=（2，2，0），
设平面BDEF的法向量为=（x，y，z），
，
|
所成角的正弦值为．
为？若存在，试确定点
位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB；
（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为，可得结论．
【解答】（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．
而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
），
（
=），则，取=（，﹣
设=λ（=），=
＞==，∴，
，
（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）作PO⊥AB于O，连接OC，可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC，∠ABC=45°，得OC⊥AB，即得AB⊥面POC，可证得AB⊥PC．
（Ⅱ）以O 为原点建立空间坐标系，
，利用向量求解．
【解答】解：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，连接OC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，∴PO⊥面ABCD．…（2分）∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，
又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②
的等边三角形，∴．
如图建立空间坐标系，
得
，．
，
E，
11111
F分别在线段AA l，A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF，M为AB中点
（I）证明：EF⊥平面CME；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）推导出Rt△EAM∽Rt△FA1E，从而EF⊥ME，又EF⊥CE，由此能证明EF⊥平面CEM．
（Ⅱ）设线段A1B1中点为N，连结MN，推导出MC，MA，MN两两垂直，建空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABB1A1中，A1E=，AM=1，
在Rt△EAM和Rt△FA1E中，，
又∠EAM=∠FA1E=，∴Rt△EAM∽Rt△FA1E，
，且
，），0，=，），=），
则，取
设直线AC1与平面CEF所成角为θ，
则sinθ==，
∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值求法，是中档题，解题
时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。