福州第三中学2022-2023学年高一上数学期末综合测试模拟试题含解析
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【解析】应用集合的补运算求 即可.
【详解】∵ ， ，
∴ .
故选：C
2、B
【解析】本题考查幂函数与指数函数的单调性
考查幂函数 ，此为定义在 上的增函数，所以 ，则 ；
考查指数函数 ，此为定义在在 上的减函数，所以 ，所以
所以有
故正确答案为
3、C
【解析】 ，该值接近 ，选C.
4、A
【解析】由两直线平行，得到 ，求出 ，再验证，即可得出结果.
详解】∵两条直线 和 互相平行，
∴ ，解得 或 ，
若 ，则 与 平行，满足题意；
若 ，则 与 平行，满足题意；
故选：A
5、C
【解析】根据所给图象求出函数的解析式，即可求出 .
【详解】设函数的周期为 ，由图像可知 ，则 ,故ω=3，
将 代入解析式得 ，
则 ，所以 ，
令 ，代入解析式得 ，
又因为 ，解得 ，
11．设函数 则 的值为________
12．已知函数 ，若方程 有四个不同的实根 ，满足 ，则 值为__________.
13．设函数 的图象为 ，则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.
①图象 关于直线 对称；
②图象 关于点 对称；
③函数 在区间 内是增函数；
④把函数 的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象 .
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
非选择题
8、B
【解析】由题意，令 ，则 ，即 ，所以直线在 轴上的截距为 ，故选B.
9、A
【解析】依题意可得 ，再根据 ，即可得到 ，从而求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 且 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ；
故选：A
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查根据三角函数的部分图象求函数的解析式，属于基础题.
6、D
【解析】由题可知， ，求出 ，在由题中的函数关系式即可求解.
【详解】由题意可知， ，解得 ，
所以函数的解析式为 ，
所以室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为
.
故选：D.
7、D
【解析】由题意得函数 图象的对称轴为
设方程 的解为 ，则必有 ，
综上，不等式的解集为 ，
故选：A
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】直接利用分段函数解析式，先求出 的值，从而可得 的值.
【详解】因为函数 ，
所以 ，
则 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
，所以任意 ，均有 ，解出函数的单调性增区间， ， 所以在 递增， 成立， 递减，由对称性可知 ，所以 ，所以
17、（Ⅰ） （Ⅱ）2，
【解析】（Ⅰ）因为
，
故 最小正周期为
（Ⅱ）因为 ，所以 .
于是，当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值
点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.
14．已知 ， 是相互独立事件，且 ， ，则 ______
15．若 ，则 =_________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数
（1）求 的值
（2）求函数 的最小正周期及其图像的对称轴方程
（3）对于任意 ，均有 成立，求实数 的取值范围
17．已知函数 .
12、11
【解析】画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.
【详解】函数 的图像如图：
若方程 有四个不同的实根 ，满足 ，
则必有 ，得 ，
.
故答案为：11.
13、①③
【解析】 图象 关于直线 对称；所以①对；
图象 关于点 对称；所以②错；
，所以函数 在区间 内是增函数；所以③对；
因为把函数 的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到 ，所以④错；填①③.
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象及图象变换，利用数形结合解不等式.
由图象可得 是平行于x轴的直线，它们与函数 的图象必有交点，
由函数图象的对称性得 的两个解 要关于直线 对称，故可得 ；
同理方程 的两个解 也要关于直线 对称，同理
从而可得若关于 的方程 有一个正根，则方程 有两个不同的实数根；
若关于 的方程 有两个正根，则方程 有四个不同的实数根
综合以上情况可得，关于 的方程的解集不可能是 ．选D
因为 ， ，所以 ，则 ，所以 ，
解得 或 ．故 的取值范围是
21、（1）见解析；（2）{a|0＜a＜ }.
【解析】（1）由函数整体加绝对值，结合a 范围即可得解.
【详解】（1）如图：
（2）令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，解得a= 或a=2.从图像可知，当0＜a＜ 时，满足f(a)＞f(2)，所以a的取值范围是{a|0＜a＜ }.
14、
【解析】由相互独立事件的性质和定义求解即可
【详解】因为 ， 是相互独立事件，所以 ， 也是相互独立事件，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：
15、
【解析】分析 和 的关系可知 ，然后用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】∵ ，
∴
.
故答案为： .
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即yE＝2
∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB
|BC|•yE |OA|•|OB|
（a2 1）×2 （2﹣a）×（ 2）
＝a2﹣a+3
＝（a ）2 ，当a 时取等号
∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
18．如图，在平面直角坐标系中，角 ， 的始边均为 轴正半轴，终边分别与圆 交于 ， 两点，若 ， ，且点 的坐标为
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求 的值
19．有两直线 和 ，当a在区间 内变化时，求直线与两坐标轴围成 四边形面积的最小值
（2）∵ ，
， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴
19、 .
【解析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得yE＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出
【详解】∵0＜a＜2，
可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2 ，0）
l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0， ）
【小问1详解】
解：当 时， ，
原方程等价于 且 ， ，
即 ，且 ， ，所以 ，且
令 ，则原方程化为 ，整理得 ，
解得 或 ，即 或 （舍去），所以 ．故原方程的解为
【小问2详解】
解：因为 ，所以 ，即
令 ，因为 ，所以 ，
则 恒成立，即 上恒成立，
令函数 ，因为函数 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增
【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
20、（1）
（2）
【解析】（1）当 时， ，求出 ，把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果；
（2） ⇔|a+1|≥2x−12x，令 ， ，则 对任意 恒成立，利用函数的单调性求出 的最大值，再求解绝对值不等式可得实数 的取值范围
10、A
【解析】由题意可得 在 单调递减，且 ，从而可得当 或 时， ，当 或 时， ，然后分 和 求出不等式的解集
【详解】因为奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 单调递减，且 ，
所以当 或 时， ，当 或 时， ，
当 时，不等式 等价于 ，
所以 或 ，解得 ，
当 时，不等式 等价于 ，
所以 或 ，解得 或 ，
3．下列选项中，与 最接近的数是
A. B.
C. D.
4．已知直线 和 互相平行，则实数 等于（）
A. 或3B.
C. D.1或
5．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示， ，则f(0)=（）
A. B.
C. D.
6．现在人们的环保意识越来越强，对绿色建筑材料的需求也越来越高．某甲醛检测机构对某种绿色建筑材料进行检测，一定量的该种材料在密闭的检测房间内释放的甲醛浓度 （单位： ）随室温 （单位：℃）变化的函数关系式为 （ 为常数）．若室温为20℃时该房间的甲醛浓度为 ，则室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为（取 ）（）
20．已知函数
（1）当 时，解方程 ；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围
21．已知
（1）画出这个函数的图象
（2）当0<a<2时f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
A. B.
C. D.
7．函数 ，对任意的非零实数 ，关于 的方程 的解集不可能是
A B.
C. D.
8．直线 在 轴上的截距是
A. B.
C. D.
9．已知角 ，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
10．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
16、（1）0；（2） ；
（3） .
【解析】(1)由三角函数的和差公式，倍角公式，辅助角公式化简原式，带入求值即可.
(2)由化简后的表达式代入公式即可求的.
(3)恒成立问题，第一步求出函数的单调区间，结合函数性质即可解得.
【小问1详解】
化简如下：
.
【小问2详解】
由（1）可知 ，周期 ，对称轴 .
【小问3详解】
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知全集 ，集合 ，那么 （）
A. B.
C. D.
2．设y1＝0.4 ，y2＝0.5 ，y3＝0.5 ，则( )
A.y3＜y2＜y1B.y1＜y2＜y3
C.y2＜y3＜y1D.y1＜y3＜y2
18、（1） ；（2）
【解析】（1）根据题中条件，先由二倍角的正切公式，求出 ，再根据任意角的三角函数，即可求出 的值；
（2）由题中条件，根据两角差的正切公式，先得到 ，再由同角三角函数基本关系，求出 和 ，利用二倍角公式，以及两角和的余弦公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题意可得 ，∴ ，或
∵ ，∴ ，即 ，∴
【详解】∵ ， ，
∴ .
故选：C
2、B
【解析】本题考查幂函数与指数函数的单调性
考查幂函数 ，此为定义在 上的增函数，所以 ，则 ；
考查指数函数 ，此为定义在在 上的减函数，所以 ，所以
所以有
故正确答案为
3、C
【解析】 ，该值接近 ，选C.
4、A
【解析】由两直线平行，得到 ，求出 ，再验证，即可得出结果.
详解】∵两条直线 和 互相平行，
∴ ，解得 或 ，
若 ，则 与 平行，满足题意；
若 ，则 与 平行，满足题意；
故选：A
5、C
【解析】根据所给图象求出函数的解析式，即可求出 .
【详解】设函数的周期为 ，由图像可知 ，则 ,故ω=3，
将 代入解析式得 ，
则 ，所以 ，
令 ，代入解析式得 ，
又因为 ，解得 ，
11．设函数 则 的值为________
12．已知函数 ，若方程 有四个不同的实根 ，满足 ，则 值为__________.
13．设函数 的图象为 ，则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.
①图象 关于直线 对称；
②图象 关于点 对称；
③函数 在区间 内是增函数；
④把函数 的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象 .
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
非选择题
8、B
【解析】由题意，令 ，则 ，即 ，所以直线在 轴上的截距为 ，故选B.
9、A
【解析】依题意可得 ，再根据 ，即可得到 ，从而求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 且 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ；
故选：A
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查根据三角函数的部分图象求函数的解析式，属于基础题.
6、D
【解析】由题可知， ，求出 ，在由题中的函数关系式即可求解.
【详解】由题意可知， ，解得 ，
所以函数的解析式为 ，
所以室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为
.
故选：D.
7、D
【解析】由题意得函数 图象的对称轴为
设方程 的解为 ，则必有 ，
综上，不等式的解集为 ，
故选：A
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】直接利用分段函数解析式，先求出 的值，从而可得 的值.
【详解】因为函数 ，
所以 ，
则 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
，所以任意 ，均有 ，解出函数的单调性增区间， ， 所以在 递增， 成立， 递减，由对称性可知 ，所以 ，所以
17、（Ⅰ） （Ⅱ）2，
【解析】（Ⅰ）因为
，
故 最小正周期为
（Ⅱ）因为 ，所以 .
于是，当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值
点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.
14．已知 ， 是相互独立事件，且 ， ，则 ______
15．若 ，则 =_________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数
（1）求 的值
（2）求函数 的最小正周期及其图像的对称轴方程
（3）对于任意 ，均有 成立，求实数 的取值范围
17．已知函数 .
12、11
【解析】画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.
【详解】函数 的图像如图：
若方程 有四个不同的实根 ，满足 ，
则必有 ，得 ，
.
故答案为：11.
13、①③
【解析】 图象 关于直线 对称；所以①对；
图象 关于点 对称；所以②错；
，所以函数 在区间 内是增函数；所以③对；
因为把函数 的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到 ，所以④错；填①③.
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象及图象变换，利用数形结合解不等式.
由图象可得 是平行于x轴的直线，它们与函数 的图象必有交点，
由函数图象的对称性得 的两个解 要关于直线 对称，故可得 ；
同理方程 的两个解 也要关于直线 对称，同理
从而可得若关于 的方程 有一个正根，则方程 有两个不同的实数根；
若关于 的方程 有两个正根，则方程 有四个不同的实数根
综合以上情况可得，关于 的方程的解集不可能是 ．选D
因为 ， ，所以 ，则 ，所以 ，
解得 或 ．故 的取值范围是
21、（1）见解析；（2）{a|0＜a＜ }.
【解析】（1）由函数整体加绝对值，结合a 范围即可得解.
【详解】（1）如图：
（2）令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，解得a= 或a=2.从图像可知，当0＜a＜ 时，满足f(a)＞f(2)，所以a的取值范围是{a|0＜a＜ }.
14、
【解析】由相互独立事件的性质和定义求解即可
【详解】因为 ， 是相互独立事件，所以 ， 也是相互独立事件，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：
15、
【解析】分析 和 的关系可知 ，然后用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】∵ ，
∴
.
故答案为： .
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即yE＝2
∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB
|BC|•yE |OA|•|OB|
（a2 1）×2 （2﹣a）×（ 2）
＝a2﹣a+3
＝（a ）2 ，当a 时取等号
∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
18．如图，在平面直角坐标系中，角 ， 的始边均为 轴正半轴，终边分别与圆 交于 ， 两点，若 ， ，且点 的坐标为
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求 的值
19．有两直线 和 ，当a在区间 内变化时，求直线与两坐标轴围成 四边形面积的最小值
（2）∵ ，
， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴
19、 .
【解析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得yE＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出
【详解】∵0＜a＜2，
可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2 ，0）
l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0， ）
【小问1详解】
解：当 时， ，
原方程等价于 且 ， ，
即 ，且 ， ，所以 ，且
令 ，则原方程化为 ，整理得 ，
解得 或 ，即 或 （舍去），所以 ．故原方程的解为
【小问2详解】
解：因为 ，所以 ，即
令 ，因为 ，所以 ，
则 恒成立，即 上恒成立，
令函数 ，因为函数 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增
【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
20、（1）
（2）
【解析】（1）当 时， ，求出 ，把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果；
（2） ⇔|a+1|≥2x−12x，令 ， ，则 对任意 恒成立，利用函数的单调性求出 的最大值，再求解绝对值不等式可得实数 的取值范围
10、A
【解析】由题意可得 在 单调递减，且 ，从而可得当 或 时， ，当 或 时， ，然后分 和 求出不等式的解集
【详解】因为奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 单调递减，且 ，
所以当 或 时， ，当 或 时， ，
当 时，不等式 等价于 ，
所以 或 ，解得 ，
当 时，不等式 等价于 ，
所以 或 ，解得 或 ，
3．下列选项中，与 最接近的数是
A. B.
C. D.
4．已知直线 和 互相平行，则实数 等于（）
A. 或3B.
C. D.1或
5．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示， ，则f(0)=（）
A. B.
C. D.
6．现在人们的环保意识越来越强，对绿色建筑材料的需求也越来越高．某甲醛检测机构对某种绿色建筑材料进行检测，一定量的该种材料在密闭的检测房间内释放的甲醛浓度 （单位： ）随室温 （单位：℃）变化的函数关系式为 （ 为常数）．若室温为20℃时该房间的甲醛浓度为 ，则室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为（取 ）（）
20．已知函数
（1）当 时，解方程 ；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围
21．已知
（1）画出这个函数的图象
（2）当0<a<2时f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
A. B.
C. D.
7．函数 ，对任意的非零实数 ，关于 的方程 的解集不可能是
A B.
C. D.
8．直线 在 轴上的截距是
A. B.
C. D.
9．已知角 ，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
10．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
16、（1）0；（2） ；
（3） .
【解析】(1)由三角函数的和差公式，倍角公式，辅助角公式化简原式，带入求值即可.
(2)由化简后的表达式代入公式即可求的.
(3)恒成立问题，第一步求出函数的单调区间，结合函数性质即可解得.
【小问1详解】
化简如下：
.
【小问2详解】
由（1）可知 ，周期 ，对称轴 .
【小问3详解】
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知全集 ，集合 ，那么 （）
A. B.
C. D.
2．设y1＝0.4 ，y2＝0.5 ，y3＝0.5 ，则( )
A.y3＜y2＜y1B.y1＜y2＜y3
C.y2＜y3＜y1D.y1＜y3＜y2
18、（1） ；（2）
【解析】（1）根据题中条件，先由二倍角的正切公式，求出 ，再根据任意角的三角函数，即可求出 的值；
（2）由题中条件，根据两角差的正切公式，先得到 ，再由同角三角函数基本关系，求出 和 ，利用二倍角公式，以及两角和的余弦公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题意可得 ，∴ ，或
∵ ，∴ ，即 ，∴