【全程复习方略】2014年人教A版数学理（福建用）课时作业：第三章第八节应用举例

【全程复习⽅略】2014年⼈教A版数学理（福建⽤）课时作业：第三章第⼋节应⽤举例
课时提升作业(⼆⼗四)
⼀、选择题
1.线段AB外有⼀点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B⾏驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C⾏驶,则运动开始⼏⼩时后,两车的距离最⼩( )
(A)69
43
(B)1 (C)
70
43
(D)2
2.某⽔库⼤坝的外斜坡的坡度为
5
12
,则坡⾓α的正弦值为( )
(A)12
13
(B)
5
13
(C)
5
12
(D)
13
12
3.如图,⼀货轮航⾏到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与货轮相距20海⾥,随后
货轮按北偏西30°的⽅向航⾏,30分钟后⼜测得灯塔在货轮的东北⽅向,则货轮航⾏的
速度为( )
海⾥/⼩时
海⾥/⼩时
海⾥/⼩时
海⾥/⼩时
4.(2013·漳州模拟)据新华社报道,强台风“珍珠”在⼴东饶平登陆.台风中⼼最⼤风⼒达到12级以上,⼤风、降⾬给灾区带来严重的灾害,不少⼤树被⼤风折断.某路边⼀树⼲被台风吹断后,折成与地⾯成45°的⾓,树⼲也倾斜为与地⾯成75°的⾓,树⼲底部与树尖着地处相距20⽶,则折断点与树⼲底部的距离是
( )
⽶
(C)
3
⽶
5.(2013·安阳模拟)已知△ABC的⼀个内⾓是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三⾓形的⾯积是( )
6.某兴趣⼩组要测量电视塔AE的⾼度H(单位:m).如⽰意图,垂直放置的标杆BC
的⾼度h=4m,仰⾓∠ABE=α,∠ADE=β.该⼩组已测得⼀组α,β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,则H=( ) (A)100m (B)110m (C)124m (D)144m
⼆、填空题
7.若△ABC 的⾯积为3,BC=2,C=60°,则边长AB 的长度等于 .
8.某⼈站在60⽶⾼的楼顶A 处测量不可到达的电视塔的⾼度,测得塔顶C 的仰⾓为30°,塔底
B 的俯⾓为15°,已知楼底部D 和电视塔的底部B 在同⼀⽔平⾯上,则电视塔的⾼为⽶.
9.如图,在坡度⼀定的⼭坡A 处测得⼭顶上⼀建筑物CD 的顶端C 对于⼭坡
的斜度为15°,向⼭顶前进100⽶到达B 后,⼜测得C 对于⼭坡的斜度为
45°,若CD=50⽶,⼭坡对于地平⾯的坡⾓为θ,则cos θ= .
三、解答题
10.(2012·浙江⾼考)在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A=23，sin C.
(1)求tan C 的值.
(2)若ABC 的⾯积.
11.(2013·厦门模拟)如图所⽰，南⼭上原有⼀条笔直的⼭路BC ，现在⼜新
架设了⼀条索道AC ，⼩李在⼭脚B 处看索道AC ，发现张⾓∠ABC=120°；从
B 处攀登400⽶到达D 处，回头看索道A
C ，发现张⾓∠ADC=150°；从
D 处
再攀登800⽶到达C 处，问索道AC 长多少?
12.(2013·福州模拟)如图，甲船以每⼩时⾏，⼄船按固定⽅向匀速直线航⾏.当甲船位于A 1处时，⼄船位于甲船的北
偏西105°⽅向的B 1处，此时两船相距20海⾥.当甲船航⾏20分钟到达A 2
处时，⼄船航⾏到甲船的北偏西120°⽅向的B 2处，此时两船相距⾥，问⼄船每⼩时航⾏多少海⾥?
答案解析
1.【解析】选C.如图所⽰,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x, ∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos 60°,
整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),
∴当x=70
时y2最⼩,即y最⼩.
2.【思路点拨】坡⾓的正切值是坡度,故利⽤此关系可解.
【解析】选B.由tanα=
5
12
,得
12
5
sinα=cosα,代⼊sin2α+cos2α=1,得sinα=
5
13
.
3.【解析】选B.由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.在△MNS中利⽤正弦定理可得,
MN20
sin 30sin 105
=
，
∴
1
20
10
=(海⾥),
∴货轮航⾏的速度
v=
10
1
=20 (海⾥/⼩时).
4.【解析】选A.如图,设树⼲底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.
由正弦定理知,
AO20
sin 45sin 60
＝，
∴
⽶.
5.【解析】选D.由△ABC三边长构成公差为4的等差数列, 设△ABC的三边长分别为a,a+4,a+8,因为△ABC的⼀个内⾓是120°,
所以(a+8)2=a2+(a+4)2-2a(a+4)cos120°,
化简得a2-2a-24=0,解得a=-4(舍)或
a=6.
因此△ABC 的⾯积S=12
×6×10×sin120°
【变式备选】在△ABC 中三条边a,b,c 成等⽐数列,且3π,则△ABC 的⾯积为 ( )
(((()3A B C D 4
【解析】选C.由已知可得b 2=ac,⼜则ac=3,
⼜B=3
π,
∴S △ABC =
12acsinB=12×3 6.【思路点拨】⽤H,h 表⽰AD,AB,BD 后利⽤AD=AB+BD 即可求解.
【解析】选C.由H h AB ,BD ,tan tan ==αβ
AD=H tan β及AB+BD=AD,得H h H ,tan tan tan +=αββ
解得H=
htan 41.24tan tan 1.241.20α?=α-β-=124(m). 因此,算出的电视塔的⾼度H 是124m.
【⽅法技巧】测量⾼度的常见思路解决⾼度的问题主要是根据条件确定出所利⽤的三⾓形,准确地理解仰⾓和俯⾓的概念并和三⾓形中的⾓度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意⾼度垂直地⾯构成的直⾓三⾓形.
7.【解析】由△ABC ⾯积为3,得
12absin 60°=3,得
⼜BC=a=2,故∴c 2=a 2+b 2-2abcosC
=4+12-2×2×12
∴c=.
答案:
8.【解析】如图,⽤AD 表⽰楼⾼,AE 与⽔平⾯平⾏,E 在线段BC 上,
因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,
则
AE=BE tan15=?
在Rt △AEC 中,
CE=AE ·tan 30°
∴
⽶,
所以塔⾼为
⽶.
答案
9.【解析】在△ABC 中
,
ABsin BAC 100sin 15BC 50.sin ACB sin(4515)
∠?===∠?-? 在△BCD 中,sin ∠BDC=BCsin CBD CD ∠
50sin 4550?
=
⼜∵cos θ=sin ∠BDC,∴cos θ
答案
10.【解析】(1)由cos A=2
3，可得
sin A=3
由
，可得
sin(A+C)=
即3cos C+23
等号两边同除以cos C,
可得3+23
即
(2)由
sin C=
6
,cos C=
6
=解得
⽽
,
∴S△ABC=
1
2
acsin B=
1
2
=
11.【解析】在△ABD中，BD=400,∠ABD=120°,∵∠ADC=150°,∴∠ADB=30°,∴∠DAB=30°.
∵
BD AD
,
sin DAB sin ABD
=
∠∠
∴
400AD
,
sin 30sin 120
=
∴
AD=
在△ADC中，DC=800,∠ADC=150°,
∴AC2=AD2+CD2-2·AD·CD·cos 150°
=(
)2
22
8002800cos 15040013,AC +-=?∴=答:索道AC
长约为.
12. 【解析】如图，连接A1B2，A2B2
=A1A2
=
20
60
=
⼜∠A1A2B2=180°-120°=60°,
∴△A1A2B2是等边三⾓形,
∴A1B2=A1A2
=
在△A1B2B1中，∠B1A1B2=105°-60°=45°,A1B1=20,由余弦定理得
B 1B 22=A 1B 12+A 1B 22-2A 1B 1·A 1B 2cos 45°
=22202202
+-??=200,
∴B 1B 2=因此⼄船的速度⼤⼩为
6020=
答：⼄船每⼩时航⾏.。