2024版新教材高中数学第一章向量的加法第1课时向量的加法导学案湘教版必修第二册(含答案)

新教材高中数学湘教版必修第二册：
第1课时向量的加法
教材要点
要点一向量的加法
________．
O⃗⃗⃗⃗⃗ a⃗⃗⃗⃗⃗ b
则对角线OC就是向量a与b的和，即OC＝a＋b.
状元随笔在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
要点二加法运算律
1．加法交换律：a＋b＝________．
2．加法结合律：(a＋b)＋c＝________．
状元随笔(1)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量a⃗，再走过的位移为向量b⃗ ，方案②先走过的位移为向量b⃗ ，再走过的位移为向量a⃗，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a⃗+b⃗ )＋(c+d⃗ )＝(b⃗ +d⃗ )＋(a⃗+c)；a⃗+b⃗ +c+d⃗ +e⃗＝[d⃗ ＋(a⃗+c)]＋(b⃗ +e⃗)．
要点三零向量的加法性质
a＋0＝0＋a＝a
状元随笔如果a⃗+b⃗ ＝0→，则a⃗与b⃗ 大小相等，方向相反，即b⃗ 是a⃗的相反向量，记作b⃗ ＝－a⃗.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的和可能是数量．( )
(2)两个向量相加就是它们的模相加．( ) (3)MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .( ) (4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．( )
2．(多选)在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )
A ．A
B ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D
C ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．A
D ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0 3．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a
C ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2BA ⃗⃗⃗⃗⃗
D ．AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4．若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b
的方向是________．
题型 1 已知两个向量，求它们的和向量 例1 如图所示，求作向量和a ＋b ＋c .
方法归纳
(1)利用向量的三角形法则求a ＋b ，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求a ＋b ，务必使它们的起点重合．
(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和． (3)注意方向相同或相反的向量的加法．
跟踪训练1 如图(1)、(2)、(3)，已知向量a ，b ，分别求作向量a ＋b .
题型2 向量的加法运算
例2 如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式： (1)DG ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)EG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ .
方法归纳
解决向量加法运算时应关注两点：
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活运用向量加法运算律，注意每个向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
跟踪训练2 向量(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于( ) A ．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
题型3 向量加法的应用 角度1 平面几何问题
例3 如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF
⃗⃗⃗⃗ ＝0.
方法归纳
灵活运用相等向量和相反向量．如本题中EF ⃗⃗⃗⃗ ＝CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0.
角度2 实际应用问题
例4 一架直升机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升机与A 地的相对位置．
方法归纳
向量加法的实际应用中，要注意如下：
(1)准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；
(2)将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解； (3)将向量问题还原为实际问题． 课堂十分钟
1．如图，在矩形ABCD 中，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD
⃗⃗⃗⃗⃗ D ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．在四边形ABCD 中，AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形
C ．ABC
D 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形
3．小船以10√3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
4．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算： (1)OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ ；(3)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ .
第1课时 向量的加法
新知初探·课前预习
要点一
非零 a ＋b AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 要点二
1．b ＋a 2.a ＋(b ＋c ) [基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：A 、B 、D 正确；C 错误，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD
⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案：ABD
3．解析：0＋a ＝a ，故A 成立；根据向量加法满足交换律，可知a ＋b ＝b ＋a ，故B 成立；AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，故C 不成立；利用向量的加法法则，可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 成立． 答案：C
4．解析：由题意知a 与b 垂直，故|a ＋b |＝√|a|2+|b |2＝√82+82＝8√2，a ＋b 的方向是北偏东45°，即东北方向．
答案：8√2 km 东北方向 题型探究·课堂解透
例1 解析：方法一(三角形法则) 如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，再作向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则得向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋b ，然后作向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝c ，则向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．
方法二(平行四边形法则) 如图②所示，首先在平面内任取一点O 作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，OB
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋b ，再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OD ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋b ＋c 即为所求． 跟踪训练1 解析：(1)作OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋b ，如图(1)． (2)作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋b ，如图(2)． (3)作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则OB
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ＋b ，如图(3)．
例2 解析：(1)DG ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝GE
⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)EG
⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝EG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 跟踪训练 2 解析：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP
⃗⃗⃗⃗⃗ )＝AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案：D
例3 证明：由题意知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗ ＝CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ ，
由题意可知EF ⃗⃗⃗⃗ ＝CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗ ＝FA
⃗⃗⃗⃗ . ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ ＝(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ ) ＝(AC
⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )＋0 ＝AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ ＝AE
⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗ ＝0.
例4 解析：如图，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是直升机的两次位移，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，表示两次位移的和．
在Rt△ABD 中，|DB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝20 km ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝20√3 km ，在Rt△ACD 中，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝ √|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
+|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
＝40√3(km).
又|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12
|AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以∠ACD ＝30°.
即此时直升机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40√3 km 处． [课堂十分钟]
1．解析：在矩形ABCD 中，AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选B.
答案：B
2．解析：根据向量加法的平行四边形法则可得， 以AB ，AC 为邻边做平行四边形ABCD ，如图，
可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以四边形ABCD 为平行四边形．
答案：D 3.
解析：如图所示，设船在静水中的速度为|v 1|＝10√3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，
小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(10√3)2＋102＝|v 0|2
，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船航行速度的大小为20 km/h.
答案：20
4．解析：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FE ⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FE ⃗⃗⃗⃗ 是相等向量， 故BC
⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，长度为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 长度的2倍， 因此BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ 可用AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示．所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FE ⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ ＝0.。