高中数学课时素养评价.3.3_.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离含解析选择性第一册

十五点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
（25分钟·50分)
一、选择题（每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分,有选错的得0分）
1.（多选题)直线l过点B(3，3)，若A（1，2）到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为()
A.3x+4y-21=0
B.4x+3y-21=0
C。

x=3 D.y=3
【解析】选AC。

直线l:x=3满足条件.直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y-3=k(x-3),即kx—y+3-3k=0。

由题意可得:=2,解得k=—，所以直线l的方程为:3x+4y-21=0.
综上可得:直线l的方程为：x=3或3x+4y-21=0.
2。

已知点A（1，3)，B(3,1),C(—1，0)，则△ABC的面积等于（）
A。

3 B.4 C.5D。

6
【解析】选 C.设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.｜AB｜==
2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y—4=0.点C到直线x+y—4=0的距离为
=,因此，S△ABC=×2×=5。

3。

若直线l平行于直线3x+y—2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是()
A。

3x+y±10=0 B.3x+y±=0
C。

x-3y±10=0 D。

x-3y±=0
【解析】选A.设与直线3x+y-2=0平行的直线方程为3x+y+m=0，由原点到直线l的距离为，得=,则m=±10,所以直线l的方程是3x+y±10=0.
4。

已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2:6x+by+c=0间的距离为3，则b+c等于
（) A.—12B。

48
C。

36D。

-12或48
【解析】选D.将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行,所以b=8.由=3解得c=—20或c=40,所以b+c=—12或48.
二、填空题（每小题5分,共10分）
5。

已知直线l1:ax—y—1=0，直线l2:x+y—3=0.若直线l1的倾斜角为,则a=；若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为. 【解析】根据题意,直线l1：ax—y-1=0，即y=ax-1,其斜率k=a,
若直线l1的倾斜角为，则其斜率k=tan=1,
则有a=1，
若l1∥l2，则有a×1=（—1)×1,解得a=-1，
此时l1的方程为-x—y—1=0，即x+y+1=0，
则l1，l2之间的距离d==2.
答案：12
6。

已知点A(—1，2),B(1，4）,若直线l过点M(-2,-3），且A,B到直线l的距离相等,则直线l的一般式方程为.
【解析】①当直线l与直线AB平行时，直线AB的斜率k==1，此时直线l的方程为y+3=x+2，即x—y—1=0;
②当直线l过线段AB的中点时,AB的中点的坐标为（0,3）,
此时直线l的方程为=，即3x-y+3=0.
综上知,直线l的方程为x-y—1=0或3x-y+3=0.
答案：x—y—1=0或3x-y+3=0
三、解答题(每小题10分，共20分）
7。

已知直线l:mx+y-3m-1=0恒过定点A。

(1)若直线l经过点A且与直线2x+y—5=0垂直，求直线l的方程。

（2）若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.
【解析】（1)因为直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.所以(x—3)m+y
—1=0,由，得A（3，1）,设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x—2y+a=0,把
A（3，1)代入,得：3-2+a=0,解得a=—1,所以直线l的方程为x—2y-1=0。

(2）直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，成立;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k（x—3）,即kx—y-3k+1=0，原点O 到直线l的距离d==3，解得k=—，直线l的方程为：y—
1=-(x—3),即4x+3y-15=0。

综上,直线l的方程为x=3或4x+3y-15=0。

【加练·固】
已知直线l经过点P(-2,1)，且与直线x+y=0垂直。

（1）求直线l的方程.
（2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为,求直线m 的方程。

【解析】（1)由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为y—1=x+2，即x-y+3=0.
(2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为x—y+c=0,由点到直线的距离公式得=,即|c—3｜=2，
解得c=1或c=5.
所以所求直线m的方程为x—y+1=0或x—y+5=0.
8。

已知正方形的中心为直线x—y+1=0和2x+y+2=0的交点，正方形一边所在直线方程为x+3y—2=0，求其他三边所在直线的方程.
【解析】因为由解得所以中心坐标为(—1，0）。

所以中心到已知边的距离为=。

设正方形与相邻已知边的两边方程分别为x+3y+m=0和3x—y+n=0。

因为正方形中心到各边距离相等,所以=和=。

所以m=4或m=-2(舍去），n=6或n=0.所以其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x—y+6=0。

（15分钟·30分）
1。

(5分）两平行直线l1,l2分别过点P(1,3)，Q(2,1），它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是（)
A.（0,+∞)B。

［0，］
C。

(0，] D.[0，]
【解析】选C.当平行线趋近一条直线时,两条直线的距离最小，当平行线与PQ垂直时距离最大，且最大距离为PQ==，故选C。

2。

(5分)已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x—1的距离为,则点P
的坐标为
(）A。

（0,—2) B。

（2,4）
C.（0,—2)或(2，4) D。

（1,1）
【解析】选 C.直线l：y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=, 整理得|t|=1，所以t=1或-1.当t=1时,点P的坐标为（2,4）;当t=—1时，点P的坐标为(0,—2)。

3。

（5分)在直线x+3y=0上求一点,使它到原点的距离和到直线x+3y+2=0的距离相等，则此点坐标是。

【解析】由于点在直线x+3y=0上，设点的坐标为(—3a，a），又因为直线x+3y=0与直线x+3y+2=0平行，则两平行线间的距离
为=，根据题意有=，
解得a=±.
答案:或
4.（5分）已知直线l：y=2ax+(a-2）过第一、三、四象限,其中a ∈Z,则点A(1,—3)到直线l的距离为。

【解析】因为直线l:y=2ax+(a-2)过第一、三、四象限，所以
所以0〈a<2，
又a∈Z,所以a=1,
所以直线l的方程为:y=2x-1，
即2x-y—1=0，
所以点A(1，-3)到直线l的距离为：==。

答案：
5。

(10分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(-1,3）、B（3，-4），边AC上的高线所在的直线方程为2x+3y+6=0，边BC上的中线所在的直线方程为2x+3y—7=0.
（1）求点B到直线AC的距离。

(2）求△ABC的面积.
【解析】（1)由题意,k AC=，直线AC的方程为y—3=(x+1），即3x —2y+9=0.
点B到直线AC的距离d=
=2.
（2)设C（m，n),则BC的中点坐标为，
则
解得即C（1，6）,
所以|AC|==.
所以△ABC的面积S=|AC｜·d=13。

1。

在平面直角坐标系中，坐标原点O到过点A(cos 130°,sin 130°)，B（cos 70°，sin 70°)的直线距离为（）
A. B.C。

D。

1
【解析】选C。

k AB===
==,
根据诱导公式可知:B(sin 20°，cos 20°)，
所以经过A，B两点的直线方程为:
y-cos 20°=（x—sin 20°)
即sin 10°x-cos 10°y+cos 10°cos 20°-sin 10°sin 20°=0,
即sin 10°x-cos 10°y+=0，
所以原点O到直线的距离d==。

2.已知直线l1：x+a2y+1=0和直线l2：(a2+1)x—by+3=0(a,b∈R）.（1）若l1∥l2,求b的取值范围.
（2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.
【解析】（1）因为l1∥l2，
所以—b—(a2+1)a2=0,
即b=-a2（a2+1）=—a4—a2=—+，
因为a2≥0,所以b≤0。

又因为a2+1≠3,
所以b≠-6.
故b的取值范围是(-∞，—6)∪（-6,0］.
(2）因为l1⊥l2，所以（a2+1）—a2b=0,显然a≠0,
所以ab=a+，|ab｜=≥2，
当且仅当a=±1时等号成立，
因此|ab|的最小值为2。

【加练·固】
已知在△ABC中，A（1,1），B(m，),C(4，2）(1〈m〈4）。

当m为何值时，△ABC的面积S最大?
【解析】因为A(1,1),C(4，2),
所以AC==。

又直线AC的方程为x-3y+2=0,
所以点B到直线AC的距离d=.
所以S=S△ABC=|AC｜·d=|m—3+2｜=，
因为1<m<4,
所以1<〈2，0≤<,
所以S=-，
当且仅当=，
即m=时，S最大。