高考数学一轮复习单元双优测评卷__第二单元一元二次函数方程和不等式A卷含解析

第二单元 一元二次函数、方程和不等式
A 卷 基础过关必刷卷
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．设33,,2
x y
x y
M N P ++==
=其中0<x <y ),则M ,N ,P 的大小顺序是（ ） A ．P <N <M B ．N <P <M C ．P <M <N
D ．M <N <P
2．已知某几何体的一条棱的长为m ,,在侧视图与俯视图中的投影长为a 与b ,且4a b +=,则m 的最小值为（ ）
A B ．
2
C
D ．2
3．若正数a ,b ,c 满足24288c bc ac ab +++=,则2a b c ++的最小值为（ ）
A B ．C ．2
D ．4．在R 上的定义运算*:*2a b ab a b =++,则满足*(2)0x x -<的解集为（ ） A ．(0,2)
B ．(2,1)-
C ．(,2)
(1,)-∞-+∞ D ．(1,2)-
5．已知函数()
2
2
lg 12(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ,则实数a 的取值范围是
（ ） A ．[]2,1- B ．[]2,1-- C ．()2,1-
D ．()
[),21,-∞-+∞
6．对任意[]1,1a ∈-,函数()()2
442f x x a x a =+-+-的值恒大于零,则x 的取值范围是（ ） A ．13x <<
B ．1x <或3x >
C ．12x <<
D ．1x <或2x >
7．设0a >,0b >,给出下列不等式不恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．296a a +> C ．11()4a b a b ⎛⎫
++≥
⎪⎝⎭ D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫
+
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
8．某商店有方形、圆形两种巧克力,小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力,他带的钱会差8元,如果购买5块方形和3块圆形巧克力,他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力,则他会剩下多少钱（ ） A ．8元
B ．16元
C ．24元
D ．32元
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．若0a >,0b >,2a b +=,则对一切满足条件的,a b 恒成立的有（ ）
A ．1ab ≤
B ≤
C ．222a b +≥
D ．
11
1a b
+≤ 10．某辆汽车以km/h x 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全,要求
60120x ≤≤）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500L 5
x k x ⎛
⎫
-+
⎪⎝
⎭
,其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L ,欲使每小时的油耗不超过．．．9L ,则速度x 的值可为（ ） A ．60
B ．80
C ．100
D ．120
11．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12,x x ,且12x x <,则下列结论中正确的说法是（ ）
A ．当0m =时,12x =,23x =
B ．1
4
m >-
C ．当0m >时,1223x x <<<
D ．当0m >时,1223x x <<<
12．下列函数中最大值为
1
2
的是（ ）
A ．2
2
116y x x
=+
B ．[]
0,1y x x =∈
C ．2
41
x y x =+
D ．4
,22
y x x x =+
>-+
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．
13．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2
． 14．若1x m <-或1x m >+是2230x x -->的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是________.
15．“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()1,2,解关于x 的不等式20cx bx a -+>”有如下解法:由20cx bx a -+>,得2
110a b c x x ⎛⎫
-+> ⎪⎝⎭
,令1y x =,则
()1,2y ∈,即:112x
<
<,所以不等式20cx bx a -+>的解集为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭.参考上述解法,已知
关于x 的不等式
0k x b
x a x c
++<++的解集为()()2,12,3--,则关于x 的不等式
1
011
kx bx ax cx -+<--的解集为________. 16．设函数()2
f x x ax b =++(),a b R ∈,若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-的解集为
[]{}2,36⋃,则a b +=______
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=,当a 为何值时,该方程： （1）有两个不同的正根；
（2）有不同的两根且两根在(1,3)内.
18．（1）已知0c a b >>>,求证：
a c a ->
b
c b
-． （2）已知0,0,1a b a b >>+=,求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫
++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
．
19．已知不等式2
1
0mx nx m +-
<的解为{1|2
x x <-或}2x >. （1）求m ,n 的值；
（2）解关于x 的不等式：(21)()0a x x m --+>,其中a 是实数．
20．设命题p ：关于a 的不等式∀x ∈R ,x 2
﹣4x +a 2
＞0；命题q ：关于x 的一元二次方程x 2
+（a +1）x +a ﹣1＝0的一根大于零,另一根小于零；命题r ：a 2﹣2a +1﹣m 2≥0（m ＞0）的解集． （1）若p ∨q 为假命题,求实数a 的取值范围；
（2）若￢r 是￢p 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．
21．某厂家拟定在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－
1
k
m + (k 为常数)．如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
22．某天数学课上,你突然惊醒,发现黑板上有如下内容： 例：求3
3,[0,)x x x -∈+∞的最小值.
解：利用基本不等式a b c ++≥,得到3113x x ++≥, 于是
33311323322x x x x x x -=++--≥--=-,当且仅当1x =时,取到最小值2-.
（1）老师请你模仿例题,研究4
4,[0,)x x x -∈+∞上的最小值；
（提示：a b c b +++≥）
（2）研究
3
13,[0,)9
x x x -∈+∞上的最小值； （3）求出当0a >时,3,[0,)x ax x -∈+∞的最小值.
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．设33,,2
x y
x y
M N P ++==
=其中0<x <y ),则M ,N ,P 的大小顺序是（ ） A ．P <N <M B ．N <P <M C ．P <M <N D ．M <N <P
【答案】A
【解析】332
x y
x y
M N ++>=
===
又2
3
x y x y
N P ++=
=>=,
∴M N P >>. 故选：A
2．已知某几何体的一条棱的长为m ,,在侧视图与俯视图中的投影长为a 与b ,且4a b +=,则m 的最小值为（ ）
A B ．
2
C
D ．2
【答案】C
【解析】如图：构造长方体
设AE m =,在长方体中,DE 为正视图中投影,BE 为侧视图中投影,AC 为俯视图的投影,
则DE =
,BE a AC b ==,
设,,AB x BC y CE z ===,
则2
2
2
2
x y z m ++=,2
2
2
2
2
2
2
2
6,,x z x y b y z a +=+=+=, 所以2
2
2
2
2
2()6x y z a b ++=++,即22226m a b =++, 由于2
2
2
()()2a b a b +≥+,
所以2
222
63722a b a b m +++⎛⎫=≥+= ⎪⎝⎭
,解得m ≥当且仅当a b =时等号成立, 故选：C.
3．若正数a ,b ,c 满足24288c bc ac ab +++=,则2a b c ++的最小值为（ ）
A B ．C ．2
D ．【答案】D
【解析】因为24288c bc ac ab +++=,
所以()2
22224424a b c a b c ab ac bc ++=+++++
2424c ab ac bc ≥+++
24424ab c ab ac bc =++++ 24288c bc ac ab =+++=,
所以2a b c ++≥当且仅当224a b =,即2a b =时,等号成立,2a b c ++取得最小值.
所以2a b c ++的最小值为故选：D
4．在R 上的定义运算*:*2a b ab a b =++,则满足*(2)0x x -<的解集为（ ） A ．(0,2) B ．(2,1)-
C ．(,2)
(1,)-∞-+∞ D ．(1,2)-
【答案】B
【解析】*(2)0x x -<即为()2220x x x x -++-<,整理得到220x x +-<, 故21x -<<, 故选：B ．
5．已知函数()
2
2
lg 12(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ,则实数a 的取值范围是
（ ） A ．[]2,1- B ．[]2,1-- C ．()2,1- D ．()
[),21,-∞-+∞
【答案】B
【解析】解：∵函数()
2
2
lg 12(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ,
令(
)
2
2
12(1)3u a x a x =---+, 当1a =时,3u =,不合题意；
当1a =-时,43u x =+,此时lg(43)y x =+,满足题意；
当1a ≠±时,要使函数()
2
2
lg 12(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ,
则函数()
2
2
12(1)3u a x a x =---+的值域 包含()0,+∞,
()()
2
22
10
=411210
a a a ⎧->⎪⎨∆---≥⎪⎩,解得21a -≤<-, 综上,实数a 的取值范围是[]2,1--. 故选：B
6．对任意[]1,1a ∈-,函数()()2
442f x x a x a =+-+-的值恒大于零,则x 的取值范围是
（ ） A ．13x << B ．1x <或3x > C ．12x << D ．1x <或2x >
【答案】B
【解析】对任意[]1,1a ∈-,函数()()2
442f x x a x a =+-+-的值恒大于零
设()()2
244g a x a x x =-+-+,即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.
()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数,其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在x 轴上方,即()()
2
2
1560
1320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩ ,解得3x >或1x < 故选：B
7．设0a >,0b >,给出下列不等式不恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．296a a +> C ．11()4a b a b ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭ D ．114a b a b ⎛
⎫⎛⎫
+
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】B
【解析】解：设0a >,0b >,
对于A 选项：2
2
131024a a a ⎛
⎫+-=++> ⎪⎝
⎭,故A 选项的不等式恒成立；
2296(3)0a a a +-=-≥,故B 选项不恒成立；
(
)111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=
⎪⎝⎭
,当且仅当b a a b =即a b =时取等号,故C
选项中的不等式恒成立,
因为1
2a a +≥,12b b +≥,114a b a b ⎛⎫⎛⎫∴++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a a =,1b b
=,即1a b ==时
取等号,故D 选项中的不等式恒成立, 故选：B ．
8．某商店有方形、圆形两种巧克力,小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力,他带的钱会差8元,如果购买5块方形和3块圆形巧克力,他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力,则他会剩下多少钱（ ） A ．8元 B ．16元
C ．24元
D ．32元
【答案】D
【解析】设方形巧克力每块x 元,圆形巧克力每块y 元,小明带了a 元钱, 则358
538
x y a x y a +=+⎧⎨
+=-⎩,
两式相加得8x ＋8y ＝2a ,∴x ＋y ＝
14
a , ∵5x ＋3y ＝a －8,∴2x ＋(3x ＋3y )＝a －8, ∴2x ＋3×
14a ＝a －8,∴2x ＝1
4
a －8,∴8x ＝a －32, 即他只购买8块方形巧克力,则他会剩下32元, 故选：D.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．若0a >,0b >,2a b +=,则对一切满足条件的,a b 恒成立的有（ ）
A ．1ab ≤
B ≤
C ．222a b +≥
D ．
11
1a b
+≤ 【答案】AC
【解析】对于A,由2a b =+≥则1ab ≤,故A 正确；
对于B,令1,
1a b ==时>≤不成立,故B 错误；
对于C,因为2
2
2
()2422a b a b ab ab +=+-=-≥,故C 正确；
对于D,因为112a b a b ab ab ++==,由A 知1ab ≤,故22ab
≥,故D 错误； 故选：AC
10．某辆汽车以km/h x 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全,要求
60120x ≤≤）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500L 5
x k x ⎛
⎫
-+
⎪⎝
⎭
,其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L ,欲使每小时的油耗不超过．．．9L ,则速度x 的值可为（ ） A ．60 B ．80
C ．100
D ．120
【答案】ABC
【解析】由汽车以120km/h 的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L ,
1450012011.55120k ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭,解得：100=k ,故每小时油耗为14500205x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
, 由题意得145002095x x ⎛
⎫
+
-≤ ⎪⎝⎭
,解得：45100x ≤≤, 又60120x ≤≤,故60100x ≤≤,所以速度x 的取值范围为[]60,100. 故选：ABC
11．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12,x x ,且12x x <,则下列结论中正确的说法是（ ）
A ．当0m =时,12x =,23x =
B ．1
4
m >-
C ．当0m >时,1223x x <<<
D ．当0m >时,1223x x <<<
【答案】ABD
【解析】解：A 中,0m =时,方程为(2)(3)0x x --=,解为：12x =,23x =,所以A 正确； B 中,方程整理可得：2560x x m -+-=,由不同两根的条件为：()25460m ∆=-->,
所以1
4m >-,所以B 正确.
当0m >时,在同一坐标系下,分别作出函数(2)(3)y x x =--和y m =的图像,如图,
可得1223x x <<<,所以C 不正确,D 正确,
故选：ABD.
12．下列函数中最大值为1
2的是（ ）
A ．221
16y x x =+ B
．[]0,1y x x =∈
C ．2
41x y x =+ D ．4
,22y x x x =+>-+
【答案】BC
【解析】解：对
A,2211
162y x x =+≥=, 当且仅当221
16x x =,即1
2x =±时取等号,故A 错误；
对
B,
2
211
22x x y x +-==≤=,
当且仅当221x x =-,又[]0,1x
∈,即2x =时取等号,故B 正确；
对C,2422
11
112x y x x x ==≤
++,
当且仅当221
x x =,即1x =±时等号成立,故C 正确；
对D,44222222y x x x x =+=++-≥=++, 当且仅当422
x x +=+ ,又2x >- ,0x ∴=时取等号,故D 错误. 故选：BC.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．
13．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2．
【答案】25
【解析】设矩形的一边为xm ,面积为ym 2,则另一边为
12×(20－2x )＝(10－x )m ,其中0<x <10, ∴y ＝x (10－x )≤2(10)2x x +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
＝25,当且仅当x ＝10－x ,即x ＝5时,y max ＝25． 故答案为：25
14．若1x m <-或1x m >+是2230x x -->的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是________.
【答案】[0,2]
【解析】由2230x x -->得3x >或1x <-,
若1x m <-或1x m >+是2230x x -->的必要不充分条件,
则2{|230}{|1x x x x x m ≠
-->⊂<-或1}x m >+, 则1311m m +<⎧⎨--⎩或1311m m +⎧⎨->-⎩
, 02m ∴,
故答案为：[0,2]
15．“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()1,2,解关于x 的不等式
20cx bx a -+>”有如下解法:由20cx bx a -+>,得2
110a b c x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,令1y x =,则()1,2y ∈,即:112x <
<,所以不等式20cx bx a -+>的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.参考上述解法,已知
关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为()()2,12,3--,则关于x 的不等式
1011
kx bx ax cx -+<--的解集为________. 【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为()()2,12,3--,令1y x
=-, 原不等式化为1011b k x a c x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+<⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,又因为1011kx bx ax cx -+<--,所以()()12,12,3x -∈--, 解得1
11,,1232x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭ 故答案为：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 16．设函数()2f x x ax b =++(),a b R ∈,若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-的解集为
[]{}2,36⋃,则a b +=______
【答案】9
【解析】由6x =满足不等式知0(6)0f ≤≤,即3660a b ++=,
所以366b a =--,
所以()22
636(6)(6)0f x x ax b x ax a x x a =++=+--=-++≥, 所以()0f x =的两根为6,6a --,
而()6f x x ≤-可化为2(1)6(7)0x a x a ++-+≤,
即(6)(7)0x x a -++≤,
所以方程(6)(7)0x x a -++=的两根为6,7a --
且76a a --<--,
不等式()06f x x ≤≤-的解集为[]{}2,36⋃,
可知7263
a a --=⎧⎨--=⎩, 解得9a =-,
所以36618b a =--=,
所以1899a b +=-=,
故答案为：9
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=,当a 为何值时,该方程：
（1）有两个不同的正根；
（2）有不同的两根且两根在(1,3)内.
【答案】（1）(2,)+∞；（2）11(2,)5
【解析】解：（1）由题意,关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=有两个不同的正根
时,满足2121244(2)02020a a x x a x x a ⎧∆=-+>⎪+=>⎨⎪⋅=+>⎩
,得2a >,所以a 的范围为(2,)+∞. （2）令2()22f x x ax a =-++,则当21344(2)0(1)30(3)1150
a a a f a f a <<⎧⎪∆=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩时, 即1125
<<a 时,方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内. 18．（1）已知0c a b >>>,求证：
a c a ->
b
c b -． （2）已知0,0,1a b a b >>+=,求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵0c a b >>>,∴0,0c a c b ->->
∵0a b >>,∴11a b <,又∵0c >,∴c c a b
<, ∴c a c b a b --<,又0,0c a c b ->->,∴a c a ->b c b
- （2）因为0,0,1a b a b >>+= 所以1112+a b b a a a ++=+=,同理112+a b b
+= 所以1111225+2+5+4=9b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(当且仅当12
a b ==时等号成立) 19．已知不等式210mx nx m +-
<的解为{1|2x x <-或}2x >. （1）求m ,n 的值；
（2）解关于x 的不等式：(21)()0a x x m --+>,其中a 是实数．
【答案】（1）1m =-,32
n =；（2）答案见解析. 【解析】解：（1）依题意201221122
m n m m ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=-⎪⎩,∴132m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）原不等式为：(21)(1)0a x x --->,即[(21)](1)0x a x ---<
①当211a -<,即1a <时,原不等式的解集为{|211}x a x -<<；
②当211a -=,即1a =时,原不等式的解集为∅；
③当211a ->,即1a >时,原不等式的解集为{|121}x x a <<-
20．设命题p ：关于a 的不等式∀x ∈R ,x 2﹣4x +a 2＞0；命题q ：关于x 的一元二次方程x 2+
（a +1）x +a ﹣1＝0的一根大于零,另一根小于零；命题r ：a 2﹣2a +1﹣m 2
≥0（m ＞0）的解集．
（1）若p ∨q 为假命题,求实数a 的取值范围；
（2）若￢r 是￢p 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．
【答案】（1）[1,2]；（2）（3,+∞）．
【解析】（1）若∀x ∈R ,x 2﹣4x +a 2＞0；则判别式△═16﹣4a 2＜0,即a 2＞4,得a ＞2或a ＜﹣2,即p ：a ＞2或a ＜﹣2,
若一元二次方程x 2+（a +1）x +a ﹣1＝0的一根大于零,另一根小于零,
设f （x ）＝x 2+（a +1）x +a ﹣1,则满足f （0）＝a ﹣1＜0,即a ＜1即可,则q ：a ＜1, 若p ∨q 为假命题,则p ,q 都是假命题,即221a a -≤≤⎧⎨≥⎩
,得1≤a ≤2,即实数a 的取值范围是[1,2]．
（2）若￢r 是￢p 的必要不充分条件,则p 是r 的必要不充分条件,
由a 2﹣2a +1﹣m 2
≥0（m ＞0）得[a ﹣（1﹣m ）][a ﹣（1+m ）]≥0,得a ≥1+m 或a ≤1﹣m , 则满足12120m m m +>⎧⎪-<-⎨⎪>⎩得130m m m >⎧⎪>⎨⎪>⎩
,得m ＞3,即实数m 的取值范围是（3,+∞）．
21．某厂家拟定在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1
k m + (k 为常数)．如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
【答案】（1）y ＝－16(1)1
m m -++＋29(m ≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元．.
【解析】(1)由题意知,当m ＝0时,x ＝1(万件),
所以1＝3－k ⇒k ＝2,所以x ＝3－21
m + (m ≥0),
每件产品的销售价格为1.5×816x
x + (元),
所以2020年的利润y ＝1.5x ×816x
x +－8－16x －m ＝－16
(1)1m m -++＋29(m ≥0)．
(2)因为m ≥0时,16
1m +＋(m 8,
所以y ≤－8＋29＝21,当且仅当16
1m +＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时,y max ＝21(万元)．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元．
22．某天数学课上,你突然惊醒,发现黑板上有如下内容：
例：求33,[0,)x x x -∈+∞的最小值.
解：利用基本不等式a b c ++≥,得到3113x x ++≥, 于是
33311323322x x x x x x -=++--≥--=-,当且仅当1x =时,取到最小值2-.
（1）老师请你模仿例题,研究44,[0,)x x x -∈+∞上的最小值；
（提示：a b c b +++≥）
（2）研究31
3,[0,)9x x x -∈+∞上的最小值；
（3）求出当0a >时,3,[0,)x ax x -∈+∞的最小值.
【答案】（1）3-；（2）6-；（3）29-
【解析】（1）由0x ≥,
知444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-,
当且仅当1x =时,取到最小值3-；
（2）由0x ≥, 知331
1
33336336699x x x x x x -=++--≥--=-
当且仅当3x =时,取到最小值6-；
（3）由0,0a x >≥,
知33x ax x ax -=-
ax ax ≥--=
当且仅当x =
=时,
取到最小值29-。