第三章空间向量与立体几何小结-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

即则设求则得四得sAPninPB棱平(与12锥面(6,0平||-的,PPP81zB0A面A,体2,||E0z积)P).的5A. 为E1一6z的个1z6夹法z2.角z向2 为,量为,解得
zxB
A
85 5
.
C
E
Dy
则
sinv
1 3
|S|PPABBBC|D|nn|z|
1 3
16(38z52 )45.
1 2
②-①得 6-3y-2a0. ③
将③代入①得 3y2-9y80. △81-96<0, 方程无解.
例2. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面ABCD,
AB⊥AD, ABAD4, ABAP, CD 2, ∠CDA45. (1) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30, 求线段
AB 的长;
如果能解出所设坐标, 即得点 G. 若坐标无解, 则不存在.
A
Ey
D
B
x
C
例2. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面ABCD, AB⊥AD, ABAD4, ABAP, CD 2, ∠CDA45.
(1) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30, 求线段
AB 的长;
(2) 在线段 AD 上是否存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,
x
Ey
D C
得求得PB平面(a,PC0,D-的a)一, P个C法向(1,量3为-an,
- a), (1,
PD
1,
4 a
(0, -1).
4 - a,
- a).
于是得 sin30 ||PPBB||nn||
|2a -4| ,
2a2
2
(
4 a
-
1)2
解得a
4 5
|AB|.
例2. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面ABCD,
2. 向量的共线与共面
(1) alb (b≠0), a 与 b共线.
(2) AB t AC (tR),
或 OA lOB OC (l 1),
A, B, C 三点共线.
2. 向量的共线与共面 (3) pxayb (a, b不共线), 向量 p, a, b 共面.
(4) AB xAC yAD, 或 OA xOB yOC zOD (x y z 1), A、B、C、D 四点共面.
ab(a1b1, a2b2, a3b3).
la(la1, la2, la3).
A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), AB (b1-a1, b2-a2, b3-a3). | AB| (b1 - a1)2 (b2 - a2)2 (b3 - a3)2 .
4. 空间向量坐标运算
a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), a·ba1b1a2b2a3b3.
E 是 CD 的中点. (1) 证明: CD⊥平面 PAE;
(2) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平
面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.
(2) 解: 设 P(0, 0, z).
z
P
则 PB (4, 0, - z), AE (2, 4, 0),
AP (0, 0, z).
(1) 证明: CD⊥平面 PAE;
(2) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平
面∵APBAC⊥D平所面成A的B角CD相, 等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积. ∴∠(2P)B解A:就设是PP(0B, 与0,平z)面. ABCD所成的P角z.
则即∠PBPB(A4, 0., - z), AE (2, 4, 0),
P
nC
Q B
10. 空间的角
(1) 两异面直线所成的角
已知异面直线AB、CD, 夹角为,
cos | ABCD| .
| AB||CD|
P n
(2) 直线与平面所成的角 a A
sin |n PA| ( 为非钝角).
|n|| PA|
10. 空间的角
(3) 二面角
cos
|m n| , |m||n|
B, C, D 的距离都相等? 说明理由.
P
(1) 分析: AP, AB, AD 两两垂直,
易建空间坐标系. 题设要求 |AB| 的长即为点 B 的
横坐标.
A
D
B
C
由一个已知线面角即可建立方程.
解方程即可得所求坐标.
例2. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面ABCD,
AB⊥AD, ABAD4, ABAP, CD 2, ∠CDA45. (1) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30, 求线段
85 5
128 15
5
.
例2. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面ABCD, AB⊥AD, ABAD4, ABAP, CD 2, ∠CDA45.
(1) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30, 求线段
AB 的长; (2) 在线段 AD 上是否存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,
(3) 消去 一个未知数, 得一个二元一次方程;
(4) 取其中一组较简单的解即是一个法向量.
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例1. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB4, BC3, AD5, ∠DAB∠ABC90, E 是 CD 的中点.
(1) 证明: CD⊥平面 PAE; (2) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平 面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.
(2) 在线段 AD 上是否存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,
B, C, D 的距离都相等? 说明理由.
z
P
此题特点:
(1) 已知角求坐标, 逆常规.
AG
(2) 设出一点的坐标, 还需计算其他点. B
(3) 设置了存在性问题.
x
C
y
D
(4) 有较大的计算量.
列出线面角的方程后, 要解一个根式、分式、二 次方程.
3. 空间向量的数量积 a·b|a| |b| cosa, b.
0≤a, b≤p.
a·a |a| |a| cos0 |a|2.
(la)·bl(a·b);
a·bb·a (交换律); a·(bc)a·ba·c (分配律). a⊥b a·b0 (a, b 非零).
4. 空间向量坐标运算 a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3),
面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.
(2) 分析: 题设要求: 四棱锥体积.
z
P
底面梯形面积可求, 而锥高=?
锥高 |AP|, 即点 P 的竖坐标=?
A
由两个线面角相等求点 P 的竖
坐标 z.
xB
Dy
E C
例1. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB4, BC3, AD5, ∠DAB∠ABC90,
(2) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平
面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.
(1) 证明: 以 A 为原点, 建立 如图的空间直角坐标系.
z
P
则 A(0, 0,, 5, 0), E(2, 4, 0).
A
CD(-4, 2, 0), AE (2, 4, 0), CD AE -880. CD AE. xB
B, C, D 的距离都相等? 说明理由.
z
P
(2) 解: 由(1)得各点坐标
P(0, 0, a), B(a, 0, 0), C(1, 3-a, 0), D(0, 4-a, 0). 设点 G(0, y, 0).
AG
y
D
B
C
则有 y2a2a2y21(y-3a)2(y-4a)2.x
即 y2a210a2y2-6y-6a2ya, ① ∴不存在点G. y2a216a2y2-8y-8a2ya. ②
AB 的长;
(2) 在线段 AD 上是否存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,
B, C, D 的距离都相等? 说明理由.
z
P
(1) 解: 建立如图的空间直角坐标系.
设 B(a, 0, 0). 得 P(0, 0, a), D(0, 4-a, 0). A
CD 2, 作 CE⊥AD 于 E.
B
则点 C 的坐标为 C(1, 3-a, 0).
列出与点G等距离的方程后, 要解二元二次方程组.
例3. 如图, △BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三 角形, 平面MCD⊥平面BCD, AB⊥平面BCD, AB 2 3.
(1) 求直线 AM 与平面BCD 所成角的大小; (2) 求点 A 到平面MBC 的距离; (3) 求平面ACM 与平面BCM 所成二面角的正弦值.
|a|2 a2 a12a22a32.
cosa,
b
ab |a||b|
a1b1 a2b2 a3b3
.
a12 a22 a32 b12 b22 b32
a//b alb, a1lb1, a2lb2, a3lb3.
a⊥b a·b0 a1b1a2b2a3b30.
5. 向量确定点、线、面关系
求得n 平(2面, -P1A, E0).的一个法向量为
设 PB 与平面 PAE 的夹角为,
A
xB
Dy
E C
则 sin ||PPBB||nn||
8 16 z2
. 5
例1. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面
ABCD, AB4, BC3, AD5, ∠DAB∠ABC90,
E 是 CD 的中点.
Dy
E C
又 PA⊥平面ABCD, PA⊥CD.
∴ CD⊥平面 PAE.
例1. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB4, BC3, AD5, ∠DAB∠ABC90,
E 是 CD 的中点. (1) 证明: CD⊥平面 PAE;
(2) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平
(1) 分析: AP, AB, AD 两两
P
互相垂直, 可建空间直角坐标系.
目标: CD AE 0, CD AP 0.
A
B
D E C
例1. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面
ABCD, AB4, BC3, AD5, ∠DAB∠ABC90,
E 是 CD 的中点.
(1) 证明: CD⊥平面 PAE;
①
MN//平面ABC 或 MN n 0,
(n
MN l1 AB l2 AC.
为平面ABC的法向量).
(3) 面面平行:
两平面的法向量平行.
8. 垂直问题 (1) 线线垂直 AB⊥CD ABCD 0.
(2) 线面垂直
PQ⊥平面ABC,
①
PQ
AB
0;
②
PQ ln,
PQ AC 0 ( n 为平面ABC的法向量).
(
为非钝角)
cos -||mm ||nn||, ( 为钝角)
m
n a
b
11. 平面法向量的求法
已知 AB (x1, y1, z1), AC (x2, y2, z2). (1) 设法向量为 n (x, y, z);
(2) 由 AB·n 0, AC·n 0 得
x1x x2x
yy12yyzz12zz00;
AB⊥AD, ABAD4, ABAP, CD 2, ∠CDA45.
(1) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30, 求线段
AB 的长;
(2) 在线段 AD 上是否存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,
B, C, D 的距离都相等? 说明理由.
z
P
(2) 分析: 如果存在点 G, 可设出坐标.
l //m a//b akb, (kR);
l ⊥m a⊥b a·b0;
l //a a⊥u a·u0; l ⊥a a//u aku, (kR); a //b u//v ukv, (kR); a ⊥b u⊥v u·v0.
7. 平行问题
(1) 线线平行:
AB//CD AB、 CD共线 AB l CD. (2) 线面平行:
本章小结
知识要点 例题选讲 复习参考题 自我检测题
1. 空间向量及其加减运算 在空间具有大小和方向的量叫空间向量. 模、零向量、相等向量、相反向量、单
位向量等的意义与平面向量相同. 空间任意两个向量都可以平移到同一个
平面内, 成为同一平面内的两个向量. 空间向量的加减运算与平面向量相同.
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(1) 点 Pl, a 是 l 的方向向量, 若有
PA
ta
(t
为实数)
则点 A 在直线 l 上.
(2)
点O平面a,
OP xa
a, b不共线, a//a,
yb (x, y为实数)
b//a,
若有
则点 P 在平面 a 内, 直线 OP 在平面 a 内.
6. 向量确定平行与垂直
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b, 平面 a, b 的法向量分别为 u, v, 则
(3) 面面垂直
两平面的法向量垂直.
9. 空间的距离 (1) 两点间距离
A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2),
| AB| (x1 - x2)2 ( y1 - y2)2 (z1 - z2)2 .
(2) 点到平面的距离
|PQ| |P|An|n|, ( A平面ABC,
n为法向量
A
).