2016年春高二数学北师大版必修5同步练习：第3章 不等式 §4 第2课时 Word版含解析

第三章 §4 第2课时
一、选择题
1．(2015·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，x －2y ≤0，
x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的
最大值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．14
[答案] C
[解析] z ＝3x ＋y ＝52(x －2)＋1
2(x ＋2y －8)＋9≤9，当x ＝2，y ＝3时取得最大值9，故选
C.此题也可画出可行域如图，借助图像求解．
2．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，
x ≥0，y ≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋
8y 取得最大值的点的坐标是( )
A ．(0,5)
B ．(1,4)
C ．(2,4)
D ．(1,5)
[答案] A
[解析] 目标函数可化为y ＝－34x ＋z 8，因为－3
4>－1，
∴当过点(0,5)时，目标函数z ＝6x ＋8y 取最大值．
3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤0
3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
[答案] B
[解析] 本题考查在约束条件下的简单目标函数的最值问题．
画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z ＝2x －y 在两条直线x －3y ＋1＝0与x ＋y －7＝0的交点(5,2)处，
取得最大值z ＝8.故选B.
4．(2014·北京理，6)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值
为( )
A ．2
B ．－2 C.1
2 D ．－12
[答案] D
[解析] 本题考查了线性规划的应用． 若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意． 若k <0，则不等式组所表示的平面区域如图所示． 由图可知，z ＝y －x 在点(－2
k
，0)处取最小值．
故0－(－2k )＝－4，解得k ＝－1
2
，即选项D 正确．
5．(2016·荆州高二检测)点P (2，t )在不等式组⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －y －4≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域内，则点
P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
[答案] B
[解析] 画出不等式组表示的平面区域(如下图中阴影部分所示)．
结合图形可知，点P 在直线x ＋y －3＝0上时，P 点到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离最大．由
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
x ＋y －3＝0得P 点坐标为(2,1)，故所求最大距离为 d max ＝|3×2＋4×1＋10|32＋4
2＝4.
6．设x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
[答案] B
[解析] 当a ＝0时显然不满足题意．
当a >0时，画出可行域(如图(1)所示的阴影部分)
又z ＝x ＋ay ，所以y ＝－1a x ＋1
a
z ，
因此当直线y ＝－1a x ＋1
a z 经过可行域中的A (a －12，a ＋12)时，z 取最小值，于是a －12＋a ·
a ＋12＝7，解得a ＝3(a ＝－5舍去)；
当a <0时，画出可行域(如图(2)所示的阴影部分) 又z ＝x ＋ay ，所以y ＝－1a x ＋1
a
z ，
显然直线y ＝－1a x ＋1
a z 的截距没有最大值，即z 没有最小值，不合题意．
综上，a 的值为3，故选B. 二、填空题
7．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋2y ≤3，
x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 本题考查了线性规划知识．作出目标函数的可行域，从中可以看出当直线x ＋4y ＝z 经过点A (1,1)时目标函数有最大值是5.
注意，若y 的系数是负数时，目标函数在y 轴上的截距的最大值是目标函数的最小值． 8．(2015·北京高考)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．
[答案] 7
[解析] 由题意可知，目标函数y ＝－23x ＋z
3，因此当x ＝2，y ＝1，即在点A 处时z 取得最
大值7.
三、解答题
9．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ≤－33x ＋5y ≤25
x ≥1
，分别求：
(1)z ＝6x ＋10y 的最大值、最小值； (2)z ＝2x －y 的最大值、最小值；
(3)z ＝2x －y (x ，y 均为整数)的最大值、最小值．
[解析] (1)先作出可行域，如图所示中△ABC 表示的区域，且求得A (5,2)、B (1,1)、C (1，22
5)．作
出直线l 0：6x ＋10y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1过B 点时，可使z ＝6x ＋10y 达到最小值，当l 0的平行线l 2过A 点时，可使z ＝6x ＋10y 达到最大值．
∴z min ＝6×1＋10×1＝16；z max ＝6×5＋10×2＝50.
(2)同上，作出直线l 0：2x －y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1过C 点时，可使z ＝2x －y 达到最小值，当l 0的平行线l 2过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值.
∴z max ＝8；z min ＝－
125
. (3)同上，作出直线l 0：2x －y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 2过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值，z max ＝8.当l 0的平行线l 1过C 点时，可使z ＝2x －y 达到最小值，但由于
22
5不是整数，而最优解(x ，y )中，x 、y 必须都是整数，所以可行域内的点C (1，22
5)不是最优解．当
l 0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z ＝2x －y 达到最小值．
∴z min ＝－2.
10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0x ≥1
x ＋y －7≤0
，求y
x
的最大值和最小值．
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，A 点坐标为(1,3)，目标函数z ＝y
x 表示坐标是
(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A 与O 连线斜率最大为3；当直线与x 轴重合时，斜率最小为0.故y
x
的最大值为3，最小值为0.
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0x －1≤0
ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的
面积等于2，则a 的值为( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] D
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1
x ＝1，得A (1，a ＋1)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1
x ＋y －1＝0，得B (1,0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1x ＋y －1＝0，得C (0,1)．
∵S △ABC ＝2，且a >－1， ∴S △ABC ＝1
2
|a ＋1|＝2，∴a ＝3.
2．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤
2
y ≤2
x ≤2y
给定，若M (x ，y )为D
上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为( )
A ．42
B ．3 2
C ．4
D ．3
[答案] C
[解析] 本题考查线性规划、数量积的坐标运算．
∵OM →·OA →
＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，做直线l 0：2x ＋y ＝0，将l 0向右上方平移，当l 0
过区域D 中点(2，2)时，OM →·OA →
＝2x ＋y 取最大值2×2＋2＝4.选C.
3．若变量x 、y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤8
2y －x ≤4x ≥0y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )
A ．48
B ．30
C ．24
D ．16
[答案] C
[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．
作直线l 0：y ＝1
5
x ，平移直线l 0.
当l 0过点A (4,4)时可得z max ＝16，∴a ＝16. 当l 0过点B (8,0)时可得z min ＝－8，∴b ＝－8. ∴a －b ＝16－(－8)＝24.
4．(2015·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y ≤2，
y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a
＝( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
[答案] B
[解析]
不等式组⎩⎨⎧
x －y ≥0，
x ＋y ≤2，
y ≥0.
在直角坐标平面内所表示的平面区域如图中的阴影部
分所示．若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或者x ＝2，y ＝0.经检验知，x ＝2，
y ＝0符合题意，此时a ＝2；x ＝y ＝1不合题意．故选B.
二、填空题
5．(2015·新课标Ⅰ)若x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y
x
的最大值为________． [答案] 3
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y
x 是可行域内一点与原点连
线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y
x
的最大值为3.
6．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝
________.
[答案] 2
[解析] 本题考查线性规划知识．
可行域如图，由z ＝kx ＋y 得y ＝z －kx ，当z 取最大值时，y 取最大值，∴4＝12－4k ，故k ＝2.
三、解答题
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g ，咖啡4 g ，糖3 g ；乙种饮料每杯含奶粉4 g ，咖啡5 g ，糖10 g ，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g ，咖啡2 000 g ，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？
[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x 杯，饮料乙y 杯，
线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
9x ＋4y ≤3 600
4x ＋5y ≤2 000
3x ＋10y ≤3 000
x ，y ∈N
，
利润z ＝0.7x ＋1.2 y ，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－94<－810<－
7
12<－3
10
，所以在可行域内的整数点A (200,240)使z max ＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，
即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润． 8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0x －y ≥0
2x －y －2≥0，求ω＝y －1
x ＋1
的取值范围．
[解析] 作出可行域如图所示．
因为y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率．显然可行域内A 点与点(－1,1)
连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以k min ＝1－0
－1－1＝－1
2，k max 不存
在，所以ω＝y －1x ＋1
的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1
2，1.。