高一数学下学期期末质量评估试题含解析 试题

2021-2021学年高一数学下学期期末质量评估试题〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

{}n a 的前4项为：l ，12-
，13，1
4
-，那么数列{}n a 的通项公式可能为〔 〕 A. 1n a n
=
B. 1
n a n
=-
C. (1)n
n a n
-=
D. 1
(1)n n a n
--=
【答案】D 【解析】 【分析】
分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】正负相间用1
(1)n --表示，∴1
(1)n n a n
--=．
应选D ．
【点睛】此题考察数列的通项公式，属于根底题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
()()1210x x -->的解集为〔 〕
A. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. ()--1∞，
C. ()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭
D. 1,22
⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
结合二次函数图象可得不等式的解． 【详解】(1)(21)0x x --=的两根为1和
12，故原不等式的解为1
2
x <或者1x >，即解集为
1
(,)(1,)2
-∞+∞．
应选C ．
【点睛】此题考察解一元二次不等式，解题关键是牢记“三个二次〞之间的关系．
ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c .假设45,30,A B a =︒=︒=，那么b =( )
1 B. 1
C. 2
1
【答案】B 【解析】
【分析】
由正弦定理可得．
【详解】∵sin sin a b A B =，∴sin 1sin a B b A ===． 应选B ．
【点睛】此题考察正弦定理，解题时直接应用正弦定理可解题，此题属于根底题．
a =(3，4)，
b =(2，1)，那么向量a 与b 夹角的余弦值为( )
B. 5
-
C.
25
D.
25
【答案】A 【解析】 【分析】
由向量的夹角公式计算．
【详解】由2345a =+=，5b =，324110a b ⋅=⨯+⨯=．
∴10cos ,55
a b a b a b
⋅<>==
=⨯．
应选A ．
【点睛】此题考察平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题根底．
,x y 满足约束条件1
2
220y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩
，那么x y +的最大值为( ) A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】
【分析】
作出可行域，作直线:0l x y +=，平移直线l 可得最优解．
【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部〔含边界〕，作直线:0l x y +=，平移直线l ，当直线l 过点(2,1)C 时，213x y +=+=为最大值． 应选C ．
【点睛】此题考察简单的线性规划，解题关键是作出可行域．
ABC ∆的重心，假设AB a =，AC b =，那么BG =( )
A.
21
33
a b + B. 21
33
-
+a b C.
21
33
a b - D.
21
33
a b -- 【答案】B 【解析】 【分析】
由重心G 分中线为2:1，可得23BG BD =，又1
()2
BD BA BC =+〔其中D 是AC 中点〕，再由向量的加减法运算可得．
【详解】设D 是AC 中点，那么1
()2
BD BA BC =
+，又G 为ABC ∆的重心，∴
23
BG BD =
21
()32
BA BC =⨯+1121()()3333BA BC AB AC AB AB AC =+=-+-=-+21
33
a b =-+． 应选B ．
【点睛】此题考察向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心G 分中线为2:1两段．
x 的不等式21x a x -++≥解集为R ，那么突数a 的取值范围为( )
A. ](),13,⎡-∞⋃+∞⎣
B. []1,3
C. ](
),31,⎡-∞-⋃-+∞⎣ D. []3,1--
【答案】C 【解析】 【分析】
利用绝对值的几何意义求解，即2x a x -++表示数轴上x 与a 和－2的间隔 之和，其最小值为2a +．
【详解】∵22x a x a -++≥+，∴由21x a x -++≥解集为R ，得21a +≥，解得
31a a ≤-≥-或．
应选C ．
【点睛】此题考察绝对值不等式，考察绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式21x a x -++≥解集为R ，可转化为2x a x -++的最小值不小于1，这是解题关键．
{}n a 和{}n b 的通项公式分別内3n a n =+，24
n b n =
，假设,,n n n n n n n
a a
b
c b a b ≥⎧=⎨⎩＜，那么数列{}n c 中最小项的值是〔 〕
A. 3
B. 24
C. 6
D. 7
【答案】D 【解析】 【分析】
根据两个数列的单调性，可确定数列{}n c ，也就确定了其中的最小项．
【详解】由数列{}n a 是递增数列，数列{}n b 是递减数列，且计算后知33446,7a b a b =<=>，又88b =，∴数列{}n c 中最小项的值是7． 应选D ．
【点睛】此题考察数列的单调性，数列的最值．解题时根据题意确定大小即可．此题难度一般．
,x y 满足22228x y x y ++=，那么22x y +的取值范围为〔 〕 A. []48，
B. )8+⎡∞⎣，
C. []28，
D. []24，
【答案】A 【解析】 【分析】
利用根本不等式得2222
2
()4
x y x y +≤，然后解不等式可得，同时注意22
0x y ≥．
【详解】∵2222
2
()4x y x y +≤，∴2222222
22()8()
4
x y x y x y x y +++=≤++〔222x y ==时取等号〕，2222(4)(8)0x y x y +-++≥，∴224x y +≥，又220x y ≥，∴22
8x y +≤， ∴2
2
[4,8]x y +∈． 应选A ．
【点睛】此题考察根本不等式求最值问题，解题关键是掌握根本不等式的变形应用：
2
()4
a b ab +≤
．
10.假设三角形三边的长度为连续的三个自然数，那么称这样的三角形为“连续整边三角形〞。

以下说法正确的选项是〔 〕 A. “连续整边三角形〞只能是锐角三角形 B. “连续整边三角形〞不可能是钝角三角形
C. 假设“连续整边三角形〞中最大角是最小角的2倍，那么这样的三角形有且仅有1个
D. 假设“连续整边三角形〞中最大角是最小角的2倍，那么这样的三角形可能有2个 【答案】C 【解析】 【分析】
举例三边长分别是2,3,4的三角形是钝角三角形，否认A ，B ，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C 、D 中哪个正确哪个错误．
【详解】三边长分别是2,3,4的三角形,最大角为θ，那么2222341
cos 02234
θ+-==-<⨯⨯，
θ是钝角 ，三角形是钝角三角形，A ，B 都错，
如图ABC ∆中，,2,1AC n BC n AB n ==+=+，2BAC ABC ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，那么CAD BAD ABC ∠=∠=∠，∴CAD CBA ∆∆∽，
CA CD CA CA
=，∴22
2CA n CD CB n ==
+， 244
222
n n BD n n n +=+-=
++， 又由AD 是BAC ∠的平分线，得
AB BD AC BC =，∴2
144
n n n n ++=，解得4n =， ∴“连续整边三角形〞中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C 正确，D 错误．
应选D ．
【点睛】此题考察余弦定理，考察命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，那么要进展证明．
二、填空题。

{}n a 满足：10a =，54a =，那么公差d =______；24a a +=_______.
【答案】 (1). 1 (2). 4 【解析】 【分析】
由等差数列的通项公式进展计算．
【详解】∵514a a d =+，∴404d =+，1d =，
∴21a d ==，433a d ==，∴244a a +=． 故答案为1；4．
【点睛】此题考察等差数列的通项公式，属于根底题．
a =(m ，4)，
b =(l ，2).假设向量a 与b 一共线，那么m =_____；假设a ⊥b ，那么m =____. 【答案】 (1). 2 (2). -8 【解析】 【分析】
根据向量一共线的坐标运算和向量垂直的坐标运算直接计算即可． 【详解】假设a 与b 一共线，那么2410m ⨯-⨯=，即2m =； 假设a 与b 一共线，那么1420m ⨯+⨯=，即8m =-． 故答案为2；8-．
【点睛】此题考察向量平行和垂直的坐标运算，属于根底题，解题时要注意两者的区别．
{}n a 满足：12a =，1
()1
n n n a a n N a *+=
∈-.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么2a =____；2019S =_____.
【答案】 (1). 3 (2). 5047 【解析】 【分析】
直接代入1a 值计算出2a ．再计算出3a 后，发现数列{}n a 是周期数列，周期为2．由此易求得和2019S ． 【详解】由题意121121
3121a a a ++===--，又331231
a +==-1a =，∴数列{}n a 是周期数列，周期为2．
∴2019(23)100925047S =+⨯+=． 故答案为3；5047．
【点睛】此题考察数列的递推式，考察周期数列．属于根底题．
0,0b a m >><，那么mb _____ma ，
b m a m --_____b
a
(用>，<填空). 【答案】 (1). < (2). < 【解析】 【分析】
用作差法比拟大小．
【详解】∵0,0b a m >><，∴0b a ->，∴()mb ma m b a -=-0<，∴mb ma <．
()()()0()()b m b a b m b a m m b a a m a a a m a a m ------==<---，∴b m b
a m a
-<-． 故答案为＜；＜．
【点睛】此题考察实数的大小比拟，解题方法一般是作差法．对于两个正数也可用作商法比拟大小．
ABC ∆中，角,,A B C 所対的辻分別是,,a b c .假设c =，C =3
π，
()()6c a b c a b -++-= ，那么+a b =______.
【答案】5 【解析】 【分析】
应用余弦定理得出222222cos 7c a b ab C a b ab =+-=+-=，再结合等式配出2()a b +即可．
【详解】∵()()6c a b c a b -++-=，即2
2
2
2
2
()26c a b c a b ab --=--+=，
∴222761a b ab +-=-=，①
又由余弦定理得222222cos 7c a b ab C a b ab =+-=+-=，②，
②－①得6ab =，∴22222
()2373625a b a ab b a b ab ab +=++=+-+=+⨯=， ∴5a b +=． 故答案为5．
【点睛】此题考察余弦定理，掌握余弦定理是解题关键，解题时不需要求出,a b 的值，而是用整体配凑的方法得出配凑出2
()a b +，这样可减少计算．
{}n a 的公比为9，关于x 的不等式22132()0a x a a x a -++＞有以下说法：
①当1q >吋，不等式的解集()1,
,,q q ⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭
②当01q <<吋，不等式的解集为1,q q ⎛⎫
⎪⎝⎭
③当1a >0吋，存在公比q ，使得不等式解集为∅ ④存在公比q ，使得不等式解集为R. 上述说法正确的序号是_______. 【答案】③ 【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式，解不等式2
2132()0a x a a x a -++＞后可得结论．
【详解】由题意2
132,a a a a q q
=
=， 不等式2
2132()0a x a a x a -++＞变为2
21)[(1]0a x q x q -++＞，即2
1()()0a x q x q
-->， 假设20a >，那么1
()()0x q x q
-->，
当1q >或者10q -<<时解为1
x x q q
<
>或，当01q <<或者1q <-时，解为1x q x q
<>
或， 1q =±时，解为x q ≠；
假设20a <，那么
1
()()0x q x q
--<， 当1q >或者10q -<<时解为
1x q q <<，当01q <<或者1q <-时，解为1q x q
<<， 1q =±时，不等式无解．
对照A 、B 、C 、D ，只有C 正确． 应选C ．
【点睛】此题考察等比数列的通项公式，考察解一元二次不等式，难点是解一元二次不等式，注意分类讨论，此题中需对二次项系数分正负，然后以要对两根分大小，另外还有一个是相应的一元二次方程是否有实数解分类〔此题已经有两解，不需要这个分类〕．
a ，
b ，
c 满足：6a b -=，且()()5a c b c --=-，那么()5c a b +=-的最小值为____.
【答案】-2 【解析】 【分析】
,OA a OB b ==，OC c =，1()2
OM a b =+， 由()()5a c b c -⋅-=-经过向量运算得2
2()()524
a b a b c +--=-4=，知C 点在以M 为圆心，2为半径的圆上，这样()c a b ⋅+()()OM MC a b +⋅+=21()()2
a b r a b =++⋅+，只要()r a b ⋅+最小，就可化简()c a b ⋅+．
【详解】如图，,OA a OB b ==，那么6AB a b =-=，设M 是AB 中点，那么
1()2
OM a b =+， ∵()()5a c b c -⋅-=-，
∴2
()5c a b c a b -+⋅+⋅=-，即22
2()()()55244a b a b a b c a b ++--=-⋅-=-4=， 22a b c +-=，记OC c =，那么C 点在以M 为圆心，2为半径的圆上，记MC r =， ()c a b ⋅+21(
)()()()22a b r a b a b r a b +=+⋅+=++⋅+，注意到2r =，因此当r 与2a b +反向时，()r a b ⋅+最小，
∴22211()2(2)222
c a b a b a b a b ⋅+≥+-+=+--2≥-． ∴()c a b ⋅+最小值为-2．
故答案为-2．
【点睛】此题考察平面向量的数量积，解题关键是由()()5a c b c -⋅-=-得出C 点轨迹(让表示,,a b c 的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有OM MC ⋅最小时，()c a b ⋅+才可能最小．从而得到解题方法．
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

()210x a x a -++≤的解集为A .
(Ⅰ)假设2a =，求集合A ；
(Ⅱ)假设集合A 是集合{}41x x -≤≤的子集，务实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) {}12A x x =≤≤ (Ⅱ) []4,1a ∈-
【解析】
【分析】
〔I 〕结合二次函数图象直接得出一元二次不等式的解集；
〔II 〕结合集合的包含关系得出1a ≤，从而可写出集合A ，再由包含关系得出a 的最终取值范围．
【详解】(Ⅰ)当2a =时，由2320x x -+≤ ，
得()()120x x --≤
解得12x ≤≤ 所以{}
12A x x =≤≤
(Ⅱ)因为()210x a x a -++≤ 可得()()10x x a --≤，
又因为集合A 是集合{}-41x x ≤≤的子集，
所以可得1a ≤，(当1a > 时不符合题意，舍去) 所以{}
a 1A x x =≤≤
综上所述[]4,1a ∈-.
【点睛】此题考察集合的包含关系，考察一元二次不等式的求解，在解含参数的一元二次不等式时，注意分类讨论．
a ，
b 满足：a =4，b =3，()()+2=0a b a b -
(Ⅰ)求a ·b 的值； (Ⅱ)求2a b -的值.
【答案】(Ⅰ) a b ⋅=2 (Ⅱ) 2211a b -=
【解析】
【分析】
〔I 〕计算()()+2a b a b -⋅，结合两向量的模可得a b ⋅；
〔II 〕利用222(2)a b a b -=-，把求模转化为向量的数量积运算． 【详解】解：(Ⅰ)由题意得()()+2=0a b a b -⋅ 即22+20a a b b ⋅+= 又因为4,3a b ==
所以224230a b +⋅-⨯=
解得a b ⋅=2.
(Ⅱ)因为222(2)44a b a b a b -=+-⋅，
所以2(2)a b -=16+36-4×2=44. 又因为22(2)a b a b -=-
所以2211a b -=. 【点睛】此题考察平面向量的数量积，解题关键是掌握性质：
22
a a =，即模数量积的转化．
{}n a 满足：126a a +=，且212log log 1n n a a +-=，2log n n b a =．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S . 【答案】(Ⅰ) 2n n a = (Ⅱ) 222n n n S +=-
【解析】
【分析】
〔I 〕由212log log 1n n a a +-=得出12n n a a +=，可得公比为2，再求出1a 后可得n a ； 〔II 〕由〔I 〕得n b n =，那么2n n
n a n b =，可用错位相减法求n S ． 【详解】解：(Ⅰ)因为212log log 1n n a a +-=
所以2221log log 1a a -=
即212a a =.
由因为126a a +=
所以12a =，公比2q
所以2n n a =
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2n n a =，所以n b n =. 所以22n n n b a = 因为21121 (2222)
n n n n n S +-=++++
所以
2311112 (222222)
n n n n n S +=+++++ 11111(1)1222111222212
n n n n n n n n +++-+=-=--=-- 所以222n n n S +=- 【点睛】此题考察等比数列的通项公式，考察错位相减法求和．数列求和根据数列的通项公式可采取不同的方法，一般有公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等．
21.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .6AB AC ⋅=
，ABC S ∆=(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)设点M 满足2BM MC =，求线段AM 长度的取值范围.
【答案】(Ⅰ) A =
3π
(Ⅱ) )⎡+∞⎣ 【解析】
【分析】
〔I 〕利用数量积的定义和三角形面积公式可求得tan A ，从而得A 角；
〔II 〕由2BM MC =得1233
AM AB AC =+，平方后可求得AM ，即中线长，结合222(2)440c b c bc b -=-+≥可得最小值，从而得取值范围．
【详解】(Ⅰ)因为6AB AC ⋅=，所以cos 6bc A =
因为ABC S ∆=
sin bc A =
两式相除得tan A =所以A =3
π (Ⅱ)因为A =
3π，所以12bc = 因为2BM MC =， 所以1233
AM AB AC =+
所以2
22211(2)(44)99
AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 所以22211(424)(424)899AM c b bc =++≥+=． 当且仅当2c b =时获得等号
所以线段AM
长度的取值范围时)⎡+∞⎣.
【点睛】此题考察平面向量的数量积，考察平面向量的线性运算、三角形面积公式，解题关键是把中线向量AM 表示为
1()2
AB AC +，这样把线段长度〔向量模〕转化为向量的数量积．
{}n a 满足11a =，21()2n n n a a a n N *+=-∈. (Ⅰ)求2a ，3a 的值，并证明：0<n a ≤1()n *
∈N ； (Ⅱ)证明：12()12
n n n n n a a a n N a a *+≤=∈++； (Ⅲ)证明：12()2
n a n N n n *≤≤∈+. 【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ)见证明； (Ⅲ)见证明
【解析】
【分析】
〔I 〕直接代入计算得23,a a ，利用10n n a a +-<得1n n a a +≤从而可证结论；
〔II 〕证明101n n n a a a +-≥+，1202
n n n a a a +-≤+即可； 〔III 〕由〔II 〕可得12112n n n n n a a a a a +++≤≤，即1111112n n n a a a ++≤≤+，111112n n
a a +≤-≤，应用累加法可得212n
n n a +≤≤，从而证得结论． 【详解】解：(Ⅰ)由得212
a =，338a =.
因为212
n n n a a a +=- 所以2102
n n n a a a +-=-≤. 所以111n n a a a +≤≤= 又因为21(1)2
n n n a a a +=- 所以1n a +与n a 同号.
又因为11a =＞0
所以101n n a a +≤＜＜. (Ⅱ)因为1(1)[(2)(1)2]1212(1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +-=--=-+-+++）()()
21=21n n n a a a -+ 又因为01n a ≤＜，所以11
n n n a a a +≤+. 同理122(1)222n n n n n n a a a a a a +-=--+-()()()()
332242121n n n n n n a a a a a a -=-+-=⎡⎤⎣⎦++ 又因为01n a ≤＜，所以122
n n n a a a +≤+ 综上，1212
n n n n n a a a a a +≤≤++ (Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可得11
n n n a a a +≤+ 所以11111n n n n a a a a ++≤=+，即1111n n
a a +-≤ 所以1111n n a a --≤，12
111n n a a ---≤，，21111a a -≤ 累加可得1
111n n a a -≤-
所以1
111n n n a a ≤-+= 1n a n
≥ 由(Ⅱ)可得122
n n n a a a +≤+ 所以1211122n n n n a a a a ++≥=+，即11112
n n a a +-≥ 所以11112n n a a --≥，121112n n a a ---≥，，211112
a a -≥ 累加可得1111(1)2
n n a a -≥- 所以11111(1)22
n n n a a +≥-+= 即12
n n a +≤
综上所述122n a n n ≤≤+. 【点睛】此题考察数列递推公式，考察数列中的不等式证明．第〔I 〕问题关键是证明数列是递减数列，第〔II 〕问题是用作差法证明，第〔III 〕问题是在第〔II 〕问根底上用累加法求和〔先求1n
a 〕．
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。