9.5.1棱锥

四棱锥
六棱锥
1、正棱锥的定义
底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱
锥叫做正棱锥。
如图表示正三棱锥、正四棱锥。
D S
C a A a
B A
D a B
C a
2、正棱锥的性质
(1) 各侧棱的长相等； (2) 各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形的边上的高都叫 做正棱锥的斜高； (3) 顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高；
底面是正多边形，顶点在底面内的射影
S
是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
（1）正棱锥各侧棱的大小关系怎样？ （2）各侧面的形状是什么？ （3）各侧面底边上的高的大小关系怎样？
A
D O C
B
性质： （1）正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各 等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）． （2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成 一个直角三角形．
D 侧面 E A 底面 O B C 侧棱
S
顶点
高
S
棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用 顶点和底面一条对角线端点的字母来表示． 棱锥可表示为S－ABCDE，或 S－AC．
D E C
A
B
棱锥按底面多边形的边数分类，可以分别称底面是三角 形，四边形，五边形……的棱锥分别叫作三棱锥，四棱锥， 五棱锥．
依次称为三棱锥
例2
如图，正三棱锥P-ABC中，点O是底面中心，高
PO=12cm，斜高PD=12cm .求它的侧面积、体积。
S
定理
如果棱锥被平行于底面的平面所
E A E D H C B C B
截，则所得的截面与底面相似，截面面积 与底面面积的比等于顶点到截面距离的平 方和棱锥高平方的比．
A
D
H
若一个棱锥被平行于底面的平面所截，其截面面 积与底面积的比为 1∶4 ，则棱锥被截面截得的一个小 棱锥的高与原棱锥的高之比为_____. 1∶2
立 体 几 何
立体几何 立体几何
立体几何
9.4.2
棱锥
怎样的图形是棱锥？
观察下列多面体，它们有什么共同特征？
D S S
C A
B A
D B
C A
D E B
C
共同特征：一个面是多边形，其余各面都是三角形； 并且这些三角形有一个公共顶点。
如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，那么这个多面体就叫做棱锥． 多边形叫做棱锥的底面（简称底）； 其余各面叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
(4) 正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直角三角形
(5) 正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形
3、正棱锥的面积
c 表示正棱锥底面的周长，h´表示正棱锥的斜高
1 S正棱锥侧 ch 2 1 S正棱锥全 ch S底 2
展开
S
问题1 已知一个正四棱锥的底面边长为 4cm ，高PO为 2cm ， 求这个正四棱锥的侧面积。
定理
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的
截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截
面距离的平方和棱锥高平方的比．
（1）正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各 等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）． （2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成 一个直角三角形．
P
D A
C O B
准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形状的容器， 将正三棱锥容器中装满沙子，然后倒入正三棱柱形状的容 器中，发现，连续倒三次正好将正三棱柱容器装满。
实验表明，对于同底等高的棱锥和棱柱， 棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。
3、正棱锥的体积
V正棱锥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 S底 h 3
S表示正棱锥底面的面积，h表示正棱锥的高
必做题： 教材 P 157，习题第 2 题． 选做题： 教材 P 143，练习 B 组．