2020年江苏省常州市溧阳平桥中学高三数学理联考试卷含解析

2020年江苏省常州市溧阳平桥中学高三数学理联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f（x）=ln|x+cosx|的图象为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】3O：函数的图象．
【分析】利用特殊点，结合排除法，可得结论、
【解答】解：由题意，x=0，f（0）=0，排除C，D；
x=，f（）=ln||＞0，排除B，
故选A．
2. 若变量满足约束条件则的最小值为
A．4 B．1 C．0 D．
参考答案：
D
如图约束条件确定的是一个三角区域，由，所以表示一条斜率为2、与轴的截距是的直线，要求的最小值，就是求的最大值，可见只有直线过约束条件对应区域的点时，取得最大值，取得最小值，即。

3. 若如图2所示的程序框图输出的S是30，
则在判断框中M表示的“条件”应该是
A．B．
C．D．
参考答案：
B
4. 设全集U=R，集合，则集合A∩（?U B）=（）
A．{x|x＞0} B．{x|x＜﹣3} C．{x|﹣3＜x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0}
参考答案：
D
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分别求出集合A，?U B，从而求出其交集．
【解答】解：由＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A={x|﹣3＜x＜0}，
∵B={x|x≤﹣1}，
∴?U B={x|x＞﹣1}，
∴A∩（?U B）={x|﹣1＜x＜0}，
故选：D
5. 已知函数，则( )
A. 的图象关于点(2,0)对称
B. 的图象关于直线对称
C. 在(0,4)上单调递减
D. 在上单调递减，在(2,4)上单调递增
参考答案：
A
【分析】
根据已知中的函数的解析式，分析函数的单调性和奇偶性，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数，可得，解得，
令，
故在为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，可排除C、B、D项，
又由，满足，
所以函数的图象关于点对称，
故选A.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域，函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中熟记函数的基本性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
6. 已知为常数，函数的图象关于对称，函
数()在上连续，则常数=( )
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
B
7. 设全集为R，集合，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
8. 设函数则导函数的展开式项的系数为
A．1440 B．-1440 C．-
2880 D．2880
参考答案：
答案：C
9. 某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是
A、120
B、98
C、63
D、56
参考答案：
答案：B
10. 一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）
A．双曲线的一支 B．椭圆C．抛物线 D．圆参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为．
参考答案：
略
12. 在中，若的面积为2，则角B= .
参考答案：
13. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为________.
参考答案：
15
略
14. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[250,400)内的学生共有__________人．
参考答案：
750
因为，得，
所以.
15. 定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f
（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx ﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．
参考答案：
（0，2）
【考点】31：函数的概念及其构成要素．
【分析】函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x2﹣mx﹣
1=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．
即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．
即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．
又1?（﹣1，1）
∴x=m﹣1必为均值点，
即﹣1＜m﹣1＜1?0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是（0，2）．
故答案为：（0，2）
16. 已知顶点、、的对边分别为、、，且，，若
，则．
参考答案：
17. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线
上，其中则的最小值为
参考答案：
2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．
（I）求的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．
参考答案：
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C 于A，B两点（A在x轴下方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意得e2=，．又a2=b2+c2，，解得b2；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可设直线MN
方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得
由（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．得（x M﹣x N）2=4x2=．即可．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而
，由=得
…①，由（2）知…②由①②得
?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2
【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C：+=1经过点（b，2e）所以．
因为e2=，所以，
又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．
所以椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．
联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，
所以x1+x2=，x1x2=．
因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，
联立直线MN与椭圆方程
消去y得（2k2+1）x2=8，
解得x2=
因为MN∥l，所以
因为（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．
（x M﹣x N）2=4x2=．
所以=．
（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），
从而，
∵=，…①
由（2）知…②
由①②得?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．
又因为k＞0，所以k=．…
20. （1）解不等式（4分）
（2）若关于的不等式的解集不是空集，试求实数的取值范围.（6分）
参考答案：
21. （本小题满分14分）已知函数.
(1)确定函数f(x)的单调增区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，求φ的值。

参考答案：
解：
．………4分
(1)，
所以f(x)的单调增区间为,(k∈Z). ............. 8分
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得
的图象，其图象对称轴方程为：，……12分
，由得．……14分
略
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，
所以a2=b2+c2=2
所以椭圆C1的方程为．
（2）直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
因为直线l与椭圆C1相切，
所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0
整理得2k2﹣m2+1=0①
由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0
因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0
整理得km=1②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为或．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。