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例 4 作 z z 1 ( z 1 为 常 数 ) 的 图 形 . 解 观 察 发 现 在 方 程 zz1 中 无 变 量 x 和 y,这 表 明 zz1 表 示 的 图 形 上 点 的 坐 标 , 无 论 x 和 y 取 何 值 ,总 有 zz1 .因 此 ,该 图 形 是 一 个 与 x O y 平 面 平 行 的 平 面 ( 见 图 6 - 6 ) .
z
M(x,y,z)
O
y
x 图6-4 曲面示意
一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次 曲面，也和为平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二 次曲面.下面简单介绍平面和一些常见的二次曲面方程.
2.平面方程 一 动 点 M ( x ,y ,z ) 到 两 定 点 M 1 ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,M 2 ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) 距 离 相 等 , 该 动 点 M 的 运 动 轨 迹 是 一 个 平 面 . 下 建 立 该 平 面 方 程 . 由两点距离公式知
第 四 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ;
O
第 五 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ;
第 六 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ; V
第六章 多元函数微分学基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
空间解析几何简介 多元函数的概念 偏导数与全微分 复合函数与隐函数微分法 多元函数的极值
第六章 多元函数微分学基础
在上学期我们讨论了一元函数的微积分.但在自然科学和 工程技术中，很多问题都与多种因素有关，反映到数学上就 是多元函数的问题.本篇将在一元函数的基础上讨论多元函数 的微积及其应用，而本章主要介绍空间解析几何的基本知识 和多元函数的微分及一些简单的应用.
A x B y C z D 0 ( 6 - 2 )
称 上 式 为 平 面 的 一 般 方 程 , 式 中 , A ,B ,C ,D 分 别 为 变 量 x ,y ,z 的
系 数 ; D 为 常 数 项 .
z
p3 c
例2 求过点P1(a,0,0),P2(0,b,0),
P3(0,0,c)的平面方程(其中a,b,c0)三 条 坐 标 崭 中 任 两 条 可 确 定 一 个 平 面 , 称 为 坐 标 面 , 其 三 个 . 由 x轴 和 y轴 ,y轴 和 z轴 ,z轴 和 x轴 所 确 定 的 坐 标 面 分 别 叫 作 xO y面 ,yO z面 和 zO x面 .
建立了空间直角坐标系后，就可以讨论间的与三个有 序数之间的对应关系.
(见图65)
p1 a
x
p2
b
y
图6-5 例2示意图
解 由 (62)设 所 求 平 面 方 程 为 AxByCzD0,(D0)
因 为 点 P 1 ,P 2 ,P 3 在 所 求 平 面 上 ,所 以 它 们 的 坐 标 都 满 足 所 设 方 程 . 于 是 有
Aa D 0

显 然 ,原 点 坐 标 为 ( 0 ,0 ,0 ) ,x O y 面 上 的 坐 标 为 ( x ,y ,0 ) ,y O z 面 上 上 的 坐 标 为 ( 0 ,y ,z ) ,z O x 面 上 点 的 坐 标 为 ( x ,0 ,z ) .
C
O
A
p
三个坐标面把空间分成了八部
分，每部分叫做一个卦限（见图6B y 3）.这八个卦限次序规定如下:
解 设 球 心 M 0 坐 标 为 ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) 在 球 面 上 任 取 一 点 M ( x ,y ,z ) . 由 两 点 距 离 公 式 知 M 0 M ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 故 得 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2
第一节 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系
过 空 间 一 定 点 O,作 三 条 两 两 互 相 垂 直 的 数 轴 (一 般 取 它 们 的 单 位 长 度 相 同 ),就 构 成 了 一 个 空 间 直 角 坐 标 系 .点 O 叫 坐 标 原 点 , 这 三 条 数 轴 统 称 为 坐 标 轴 ,分 别 叫 作 x轴 , y轴 和 z 轴 .通 常 x轴 , y 轴 在 水 平 平 面 上 , z 轴 是 铅 垂 直 线 .它 们 的 正 身 般 符 合 右 手 法 则 , 即 以 右 手 握 z轴 ,当 四 指 从 x轴 的 正 向 以 不 大 于 90 的 角 度 转 到 y轴 的 正 向 时 ,伸 直 的 大 拇 指 的 指 向 就 是 z 轴 的 正 向 (见 图 6 1)
设 M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) 和 M 2 ( x 2 ,y 2 ,z 2 ) 为 空 间 两 点 , 则 点 M 1 与 M 2 间 的 距 离 为
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 ( 6 - 1 )
解 得 x 1 2 ,x2 4 因 此 , 所 求 点 为 ( 2 , 0 , 0 ) 或 ( 4 , 0 , 0 ) .
二、曲面及其方程
1.曲面方程的概念
建立曲面方程的方法与平面解析几何中建立平面曲线方程 的方法相似.在空间直角坐标系中,把曲面看成空间一动点M (x, y, z)的运动轨迹.根据运动规律可以得到一个含x, y, z的三元 方程F(x, y, z) 0.这样,在曲面上的点,其坐标满足这个方程, 并且坐标满足这个方程的点都有在曲面上.因此,称此方程F (x, y, z) 0为曲面方程,称该曲面为方程F(x, y, z) 0的图形( 或轨迹)(见图6-4 ).这样,就把曲面图形与三元方程一一对应 起来.
两 边 平 方 整 理 得 2 ( a 1 a 2 ) x 2 ( b 1 b 2 ) y 2 ( c 1 c 2 ) z a 2 2 b 2 2 c 2 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 0
令 A 2 ( a 1 a 2 ) ,B 2 ( b 1 b 2 ) ,C 2 ( c 1 c 2 ) , D a 2 2 b 2 2 c 2 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 则 上 式 变 成
下 面 建 立 以 x O y 平 面 上 的 曲 线 为 准 线 , 以 平 行 于 z 轴 的 直 线 为 母 线 的 柱 面 方 程 ( 见 图 6 - 8 )
z
M
l O
y
x
M'
图6-8 柱面示意图
在柱面上任取一点M (x, y, z),过M 点作平行于z轴的直线l, 该直线l与xOy平面交于一点M '(x, y, 0),由柱面定义可知, M '(x, y, 0)一定在准线c上,准线c的方程已知,设为f (x, y) 0,则M '一 定满足准线c的方程.因为f (x, y) 0不含变量z, 所以柱面上的点 M (x, y, z)的坐标也满足方程f (x, y) 0;而不在柱面上的点, 过该 点平行于z轴的直线时,该直线与xOy平面的交点一定不在准线c 上,所以该点坐标不满足方程f (x, y) 0,即不在柱面上的点坐标 一定不满足方程f (x, y) 0.由柱面上点M 的任意性可知,柱面上 任意点都满足方程f (x, y) 0.因此, 方程f ( x, y) 0在空间表示以 xOy平面上曲线c为准线.以平行于z轴的直线为母线的柱面.
例 1 在 x 轴 上 求 一 点 P , 使 它 到 点 A ( 3 , 2 , 2 ) 的 距 离 为 3 .
解 因 为 所 求 的 点 在 x 轴 上 ,故 可 设 它 为 P (x ,0 ,0 ) 由 题 意 得 P A 3 ,由 式 ( 6 1 ) 得
(x 3 )2 (0 2 )2 (0 2 )2 3
z
z
z1
O
y
图6-6 例4示意图 x
3.球面方程
M 0
y O
x
图6-7 球面示意图
空 间 一 动 点 M 到 定 点 M 0 的 距 离 为 一 定 值 R ,该 动 点 的 运 动 轨 迹 叫 作 球 面 , 定 点 M 0 叫 球 心 , 定 值 R 叫 作 球 面 半 径 .
下 面 建 立 该 球 面 方 程 ( 见 图 6 - 7 )
B
b

D

0
C c D 0
解此方程组得 ADa ,BDb ,CDc
将其代入所设方程中,有 消去D并整理得
Da xDb yDc zD0
b a

y b

z c

1
称 上 式 为 平 面 的 截 距 式 方 程 , 式 中 , a ,b ,c 分 别 为 平 面 在 x 轴 , y 轴 ,z 轴 上 的 截 距 ( 见 图 6 - 5 )
第 七 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ; x
第 八 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ;


y V V
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设P空间一点, 过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面,它们 分别交x轴于A点,交y轴于B点,交z轴于C点(见图6-2 ),这三点在 x轴, y轴, z轴上人坐标依次为x, y, z.这样,空间的点P就惟一地确 定了一个有序组x, y, z.反之,给定有序数组x, y, z,在x轴上取坐标 为x的点A, 在y轴上取坐标为y的点B, 在z轴上取坐标为z的点C, 再 过这三点分别作垂直于三条坐标轴的平面,则这三个平面必然 交于点P.这样建立空间的点P和有序数组x, y, z之间的一一对应 关系.有序数组x, y, z称为点P的坐标.记作P(x, y, z),它们分别称为 横坐标,纵坐标和竖坐标.
x 图6-2 点P位置
第 一 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ;
z

第 二 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ; V
第 三 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ;
M 1 M ( x a 1 ) 2 ( y b 1 ) 2 ( z c 1 ) 2 M 2 M ( x a 2 ) 2 ( y b 2 ) 2 ( z c 2 ) 2 又 因 为 M 1 M M 2 M ,故 知 ( x a 1 ) 2 (y b 1 ) 2 ( z c 1 ) 2( x a 2 ) 2 (y b 2 ) 2 ( z c 2 ) 2
上 式 就 是 以 M 0 为 球 心 以 R 为 半 径 的 球 面 方 程 .它 是 关 于 变 量 x ,y ,z 的 三 元 二 次 方 程 .
显 然 , 球 心 在 原 点 半 径 为 R 的 球 面 方 程 为 x 2 y 2 z 2 R 2
4.柱面方程
动 直 线 l沿 给 定 曲 线 c 平 行 移 动 形 成 的 曲 面 叫 做 柱 面 . 其 中 动 直 线 l叫 柱 面 的 母 线 , 动 曲 线 c 叫 柱 面 的 准 线 . 在 这 里 只 讨 论 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 .
例 3 求 三 个 坐 标 平 面 的 方 程 .
解 显 然 在 x O y 平 面 上 所 有 点 的 坐 标 无 论 x 和 y 取 何 值 ,总 是 z 0 而 满 足 z 0 的 点 必 然 在 x O y 平 面 上 . 所 以 ,x O y 平 面 方 程 为 z 0 .
同 理 , y O z 平 面 方 程 为 x 0 , z O x 平 面 方 程 为 y 0 .