第3章 数字特征(概率论与数理统计(东南大学课件)ppt)

寿 命N的 数 学 期 望.
(ii)若 将 这5个 电 子 装 置 并 联 工 作 组成 整 机, 求 整 机 寿 命M的 数 学 期 望.
解: Xk(k=1,2,3,4,5)的分布函数为:
8
F( x)
1
e
x
,
x
0,
0, x 0,
(i)由 前 面 介 绍 的N min(X, Y)的 分 布 函 数 可 知
, P{Xi
1}
10 1( )
,
9 20
9 20
故在 第i站有 人下 车的概 率为1 ( 10) , 9 20
例5. 二项分布的均值的计算: 设X~B(n,p), 引入随机变量 Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相互独立的且都 服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q。X表示n次独立 重复试验中A发生的次数，Xi表示第 i 次试验的结果: Xi=1 表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以
解 设学生甲和乙在测验中选对题的个数分别为X 与Y，则所得的成绩分别为2.5X与2.5Y。由于X~B(40, 0.8), Y~B(40, 0.25)。所以，有
E(X)=40×0.8=32, E(Y)=40 ×0.25=10, 于是学生甲和乙的期望成绩分别为
E(2.5X)=2.5×E(X)=2.5×32=80,
第3章 数字特征
在一些问题中，有时需要知道随机
变量的平均取值情况、取值 的分散程度以及其它的一 些数字特征。
1. 数学期望
1. 定 义 : 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 律 为:
P X x p , k 1, 2,
k
k
若 级 数 x p 绝 对 收 敛, 则 称 级 数 x p
E(X)
-
xf (x)dx.
数 学 期 望 简 称 期 望, 又 称 为 均 值 。
2
例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分
别记为X1, X2, 它们的分布律分别为:
X1 0 1 2
X2 0 1 2
pk 0 0.2 0.8
pk 0.6 0.3 0.1
试评定他们的成绩好坏.
解: 计算X1的均值, 由定义有 E(X1)=00+1 0.2+2 0.8=1.8
( x 2 x), 0 x
x 1
1
7
例4. 有5个 相 互 独 立 工 作 的 电 子装 置, 它 们 的 寿 命Xk (k 1, 2 ,3, 4, 5)服 从 同 一 指 数 分 布, 其 概 率 密 度 为:
f(x)
1
θ
x
e
,x
0,
0,
0, x 0,
(i)若 将 这5个 电 子 装 置 串 联 工 作 组成 整 机, 求 整 机
kk
kk
k 1
k 1
的 和 为 随 机 变 量 的 数 学期 望,记 作E(X),即
E(X) x p .
kk
k 1
1
2. 定 义 :设 连 续 型 随 机 变 量X的 概
率 密 度 为f (x)， 若 积 分
-
xf
(x)dx
绝 对 收 敛,
则称积分
-
xf (x)dx
的值为随机变量
X的 数 学 期 望, 记 为E(X)。 即
解: 设 X 代表每件产品上的疵点数，由题意知： E(X)=0.8，即 λ=0.8。
(1) 因 为 P( X 4) 1 P( X 4)
1 4 0.8k e 0.8 0.001412,
k0 k!
所 以产 品 的 废品 率 为0.001412。
4
(2) 设Y代表产品的价值，那么Y的概率 分布为：
解 引入随机变量
Xi 10，, 在在第第 i站i站没有有人人下下车车， ，i 1,2,...,10.
易 见 X X1 X2 X10 .
按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为9 ， 10
因此，2 0位旅客都不在第i站下车的概率为( 9 )20 , 10
20
21
10 10[1 ( )
(X)]
s
s1
[bx
-
(s
-
x)L]
s2
1
s1
dx
s2 s
sb
s2
1
s1
dx
b
2
L
s2
(Ls1
bs 2
)s
b
2
L
s
2 1
(s2 s1 )
为 求 得 E[as (X)] 的 极 值 点 ， 求 导 数 ，得 ：
d
ds
{E[a s
(X)]}
[(b
L)s
Ls1
bs 2
] /(s2
s1 ).
(x
)2
1
dx
2
.
2
0
2
12
14
例2. 设二维随机变量(X,Y)的概率 密度为
x y, 0 x 1, 0 y 1,
f(x,y)
0, 其它,
试 求XY的 数 学 期 望 。
解 :由(1.5)式 可 得
E(XY)
-
-
xyf
(x,
y)dxdy
1
0
01xy
(
x
y)dxdy
1。 3
15
例3. 按季节出售的某种应时商品， 每售出一公斤获利润b元。如到季末 尚有剩余商品，则每公斤净亏损 L元。 设某商店在季度内这种商品的销售量X是一个随机变 量，X在区间(s1, s2)上服从均匀分布。为使商店所获 利润的数学期望最大，问商店应进多少货？
解 : 以s表示进货数，易知应取s1 s s2，进货
s所得利润记为as (X)，则有：
as
(X)
bX (s
sb,
X)L, s1 s
X X
s, s 2.
X的概率密度为
16
f (x)
s2
1 s1
, s1
x
s 2，
0, 其它 。
于是 由(1.4)式，得
E[as
E(2.5Y)=2.5×E(Y)=2.5×10=25.
23
2. 方 差
方差描述了随机变量对其数学期望 的离散程度, 这在概率论和数理统计中 十分重要。
一、定义:
设X为 一 随 机 变 量, 若E X - E(X)2 存 在, 则 称
它 为X的 方 差, 记 作D(X)或Var(X) ,即
D(X) Var(X) E X - E(X)2 .
xf ( x)dx
1 x(ax b)dx a b
7
.
0
3 2 12
解 方 程 组 ， 得 a 1, b 1 / 2.
6
当 0 x 1 时，有:
F( x)
x
f (t)dt
x1
x2 x
(t )dt ,
0
2
22
所以，有
0, x 0
F
(
x)
1 12,
注: 1. 性质(3)和(4)可以推广到有限个随机变量X1,
X2, …, Xn 的情况；
2. 对于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互独立; 对
于“积”要求X1,X2,…,Xn相互独立。
19
例4. 一民航送客车载有20位旅客自机 场开出，旅客有10个车站可以下车。如 到达一个车站没有旅客下车就不停车。 以X表示停车的次数，求E(X) . (设每位旅客在各个车 站下车是等可能的.)
N min(X1 , X2 , X3 , X4 , X5 )的 分 布 函 数 为
Fmin ( x)
1 1 F( x)5
1
e
5x
,x
0,
0, x 0,
因 而N的 概 率 密 度 为
f min
( x)
5
e
5x
,
x
0,
0, x 0,
9
于 是N的 数 学 期 望 为:
E(N)
xf
定 理 : 设Y是 随 机 变 量X的 函 数, Y g(X)
(g是 连 续 函 数)，(i) X是 离 散 型 随 机 变 量, 它 的 分 布
律 为 PX xk pk , k 1,2, ,
若 g(xk )pk绝 对 收 敛 ， 则 有
11
k 1
E(Y) E g(X) g(xk )pk .
mi
n
(
x)dx
0
5x
e
5x
dx
5
.
(ii)由M max(X1 , X2 , X3 , X4 , X5 )的 分 布 函 数
可知:
Fmax(x)
F(x) 5
1eBiblioteka / 0,5 ,x 0, x 0,
因 而M的 概 率 密 度 为
fmax(x)
5
1 ex/
4 e x / , x 0,
又 若(X, Y)为 离 散 型 随 机 变 量 ， 其分 布 律 为
P X xi , Y y j pij, i, j 1,2,3,
则有
E(Z) E g(X, Y) g(xi , y j )pij, (1.6)
j1 i1
(假 设 级 数 绝 对 收 敛)
13
例1. 设随机变量X在[0， ]上服从均匀
k 1
(1.3)
(ii)X是 连 续 型 随 机 变 量 ， 它的 概 率 密
度 为f (x)， 若
-
g
(x)f
(x)dx
绝 对 收 敛 ， 则有
E(Y) E g(X)
-
g
(x)f
(x)dx.
(1.4)
注: 1. 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求E(Y)时
不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可以了。
分布，求E(sin X ), E( X 2 )及E[X E( X )]2 .
解:
E(sin X ) sin xf ( x)dx -
|
11
2
sin x dx ( cos x)
0
0
E(X 2 ) x 2 f ( x)dx x 2 1 dx 2
-
0
3
E[ X E( X )]2 E[ X ]2
0,
x 0,
10
因 而M的 数 学 期 望 为
E(M )
xf
max
(
x
)dx
137 . 60
说明:由 E(M) 137 / 60 11.4可知，5个电子装置并 E(N) / 5
联 工 作 的 平 均 寿 命 是 串联 工 作 的 平 均 寿 命 的1 1.4倍 。
3. 随机变量函数的数学期望
Y
10
8
0
P
P(X≤1) P(1< X≤4) P(X>4)
所以产品价值的平均值为：
E(Y ) 10 P( X 1) 8 P(1 X 4) 0 P( X 4)
10 1 0.8k e 0.8 8 4 0.8k e 0.8 0
k0 k!
k2 k!
9.61(元)。
5
例3 设 随 机 变 量:
X ~ f ( x), E( X ) 7 , 且 12
f
(x)
ax b, 0 x 0, 其 它
1
求a与b的 值 ， 并 求 分 布 函 数F ( x).
解 由题意知：
f ( x)dx
1
a
(ax b)dx b 1,
0
2
E( X )
] 8.784(次)。
9 20
E(X1 ) E(X2 ) E(X10 )
E(X) E(X1 X2 X10 )
进而
由此，得
10 E(Xi ) 1 ( )
, i 1,2,...,10.
9 20
i 1,2,...,10.
也 即 P{Xi
0}
10 ()
注: 将X分解成数个随机变量之和, 然后利用随机变量 和的数学期望等于随机变量的数学期望之和来求解， 这个方法具有一定的普遍意义。
22
n
n
X Xi ,故 E(X) E(Xi ) np.
i 1
i 1
例6. 一次数学测验由40个单项选择题 构成，每个选择题有4个选项，每题选择 正确答案得2.5分，否则得0分，满分为 100分。学生甲选对任一题的概率为0.8，学生乙则每次 都从4个选项中任选一个。分别求学生甲和乙在这次数 学测验中的期望成绩。
17
令
d ds
{E[as
(X)]}
0，
解
得
s Ls1 bs 2 ， bL
即当 s Ls1 bs2 时获得利润的数学期望最大。 bL
18
4.均值的性质:
(1) E(c)=c; (c为常数) (2) E(cX)=cE(X);( c为常数) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y); (4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y); (5) [E(XY)]2≤E(X2)E(Y2).(许瓦兹不等式)
(如甲进行很多次射击, 其得分的平均分为1.8) 而乙的得分为
E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5
显然,乙的成绩比甲的差.
3
例2. 某种产品的每件表面上的疵点数 服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。 若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大 于1个不多于4个为二等品，价值8元；疵点数超过4个为 废品。求 (1) 产品的废品率； (2)产品价值的平均值。
2. 上述定理可以推广到多维随机变量函数的情况。
如Z g(X, Y)(g是连续函数)是随机变量X, Y的函
数,若二维随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y),则随机
变 量Z的 期 望 为
12
E(Z) Eg(X, Y)
g(
x,
y
)f
(
x,
y
)dxdy
,
(1.5)
(假 设 积 分 绝 对 收 敛)