2020届广东省珠海二中高三下学期线上检测数学（理）试题

2020届广东省珠海二中高三下学期线上检测数学（理）试题
一、单选题
1．如图，已知全集U =Z ，集合A ＝{－2，－1， 0， 1， 2}，集合B={1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．{3，4}
B ．{－2，－1，0}
C ．{1，2}
D ．{2，3，4}
【答案】A
【解析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案. 【详解】
根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是{}3,4U C A B ⋂=. 故选：A 【点睛】
本题考查了韦恩图表示的集合，属于基础题.
2．已知z =
()2
11i i
-+(i 为虚数单位)，在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【详解】
()()2
12121112
i i i i z i i
i ----=
=
==--++，
所以1z i =-+
在复平面内共轭复数z 对应的点()1,1-在第二象限. 故选：B 【点睛】
本题考查了复数的运算法则以及复数的几何意义，属于基础题.
3．已知1
3
12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，2log 3b =，4log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a c b >>
B ．a b c <=
C ．a b c >>
D ．a c b <<
【答案】D
【解析】首先令a ，b ，c 与1比，求出a ，b ，c 与1大小关系，然后再利用函数单调性确定大小关系. 【详解】
因为1
3
11122a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
22log 321log b =>=， 44log 6log 41c =>=，
又因为244log 3log 9log 6b c ==>=， 所以a c b <<， 故选：D. 【点睛】
本题考查了指数对数函数的大小比较，属于基础题.
4．已知实数,x y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则3z x y =-的最小值为（ ）
A ．－7
B ．－6
C ．1
D ．6
【答案】A
【解析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】
画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：
由图可知向上平移直线30x y -=，
到边界()2,3B 的位置时，z 取得最小值，此时2337z =-⨯=- 故选：A 【点睛】
本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题
5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m ，
1
3，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34
，且m ＞n ．则m n +=（ ） A ．
1
2
B ．
23
C ．
34
D ．
512
【答案】C
【解析】根据题中条件求出m n ⨯的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出
m n +.
【详解】
由题知三个社团都能进入的概率为
124
， 即1113248
m n m n ⨯⨯=
⇒⨯=， 又因为至少进入一个社团的概率为
3
4， 即一个社团都没能进入的概率为31144
-=， 即()()213111348
m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=， 整理得34
m n +=. 故选：C. 【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.
6．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2225x y +=内的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】3,6x y =-= 时，打印点()3,6-不在圆内，2,5x y =-= ，
50i => 是； 打印点()2,5- 不在圆内，1,4x y =-= ，40i => 是；打印点()1,4-在圆内，
0,3x y == ，30i => 是；打印点()0,3 在圆内，1,2x y == ，20i =>是；
打印点1,2在圆内，2,1x y == ，10i =>是；打印点()2,1在圆内，
3,0x y == ，00i => 否，结束，所以()()()()1,40,31,22,1-共4个点在圆内，
故选C.
7．已知F 为双曲线22
221x y a b
-=的右焦点，过F 做C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，
且满足1
2
FD OF =
（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A ．
23
B ．2
C ．3
D ．
103
【答案】A
【解析】根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系，然后即可求出离心率的值. 【详解】
由题知1
2FD OF =
，又因为焦点到双曲线渐近线的距离为b FD =， 所以()
22222
1124422
FD OF b c b c b c c a c =⇒=⇒=⇒=⇒-=，
整理得22
2
22423
343c c a e e a =⇒==⇒=
. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题.
8．函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数极值点的个数，求出
()f π的值，推出结果即可.
【详解】
函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）是偶函数，排除B ； 当0x >时，()ln sin f x x x =+， 可得：()1cos f x x x '=+，令1
cos 0x x
+=， 作出1
y x
=
与cos y x =-图像如图：
可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，()ln 1f
ππ=>，排除C ；
当0x x =时，()00f x '=，故()00,x x ∈时，函数()f x 单调递增，
()0,x x π∈时，函数()f x 单调递减，排除A
故选：D 【点睛】
本题考查了与三角函数有关的图像的识别，利用导数判断函数的单调性、考查了数形结合的思想、转化的思想，属于中档题.
9．如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）
A 3
B ．3
C ．3-
D ．-3
【答案】A
【解析】首先对AC AD ⋅中的向量进行分解，转化为已知向量的数量积，然后利用向量数量积的公式求解即可. 【详解】
由题知()()
2
AC AD AD DC AD AD
DC AD ⋅=+⋅=+⋅，
因为)
3331BC BD BD DC BD DC BD =⇒+=⇒=，
所以()(
)
131131AC AD BD AD DB DA ⋅=+
-⋅=+
-⋅，
又因为cos 1DB DA DB DA ADB ⋅=⋅∠=， 所以(
)
1313AC AD ⋅=+=故选：A. 【点睛】
本题考查了向量的分解，向量数量积的运算，属于基础题.
10．1772年德国的天文学家波得发现了求太阳的行星距离的法则，记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表： 星名
水星
金星
地球
火星
木星
土星
与太阳4 7 10 16 52 100
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐经过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带，请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是（ ） A ．388 B ．772 C ．1540 D ．3076
【答案】B
【解析】根据题中表格中距离的规律，求出距离的通式，然后即可求出第10个行星与太阳的平均距离. 【详解】
设金星到太阳的距离为1a ，地球到到太阳的距离为2a ，以此类推， 可知第10个行星到太阳的距离为9a ，
由表格可以得到02132a a -=⨯，1
3232a a -=⨯，
故可得到规律11
32n n n a a -+=⨯-， 设1
132n n n n c a a -+=-=⨯，
有()017128913222765c c c a a ++
=-=++=，
故917657657772a a =+=+=，
所以第10个行星与太阳的平均距离大约是772. 故选：B. 【点睛】
本题考查了累加法，求等比数列的和，属于基础题.
11．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（ ）
A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，
C ．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，
D ．102，⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【答案】C
【解析】设M 的坐标为（x ，y ），然后根据条件得到圆心M 的轨迹方程为x 2＝﹣y ，把|MA |﹣|MP |转化后再由抛物线的定义求解点P 的坐标． 【详解】
解：∵线段AB 为⊙M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为（x ，y ），则|OM |2+|OA |2＝|MA |2， ∵⊙M 与直线2y ﹣1＝0相切，∴|MA |＝|y 1
2
-|， ∴|y 12-
|2＝|OM |2+|OA |2＝x 2+y 214
+， 整理得x 2＝﹣y ， ∴M 的轨迹是以F （0，14-）为焦点，y 1
4
=为准线的抛物线， ∴|MA |﹣|MP |＝|y 1
2
-|﹣|MP | ＝|y 14-
|﹣|MP |14+=|MF |﹣|MP |14
+， ∴当|MA |﹣|MP |为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为（0，1
4
-）， ∴存在定点P （0，1
4
-）使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值． 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了点轨迹方程的求解，抛物线的定义，属于一般题.
12．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]
0,4x ∈时，()2
x f x xe
-
=，
若关于x 的不等式2
()()0f x af x +>在[200,200]-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3223,4e e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦
B ．312
23,e e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦
C ．3
12
2,3e e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦
D ．122,4e e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】首先根据题中条件求出函数的周期和对称轴，再根据函数()f x 的单调性求出函数在[0,4]上整数解的分布，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
由题知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-， 所以()()()444f x f x f x +=-=-，
所以函数()f x 的周期为8，且关于直线4x =对称， 当[]
0,4x ∈时，()2
221122x x x
f x e
e x e x -
--⎛⎫
-=-' ⎝=⎪⎭
， 因为当[
)0,2x ∈时()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(]2,4x ∈时()0f x '<，函数()f x 单调递减，
所以当2x =时()0f x '=，函数()f x 取极大值，也是最大值，
且(0)0f =，()1
21f e -=，1
(2)2f e -=，()3
233f e -=，()244f e -=，
所以(0)(4)(1)(3)(2)f f f f f <<<<，
由于[200,200]-上含有50个周期，且()f x 在每个周期内都是轴对称图形，
所以不等式2
()()0f x af x +>在[200,200]-上有且只有300个整数解，
等价于不等式2
()()0f x af x +>在[0,4]上有且只有3个整数解， 所以只需在[0,4]上()f x a >-有且只有3个整数解即可， 易知这三个整数解分别为11x =,22x =,33x =，
有1
12222(1)00
4(4)040
f a e a e a e f a e a ----⎧+>⎧⎪+>⇒⇒-<≤-⎨
⎨+≤⎩⎪+≤⎩， 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的周期性，利用导数求解函数的单调性，属于一般题.
二、填空题 13．已知
0，
，4tan 43πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin cos θθ+=__________.
【解析】首先根据题中条件求出tan θ，确定角θ的范围，然后根据同角三角函数公式
求出角θ的正余弦值，即可得答案. 【详解】 由题知41tan 1tan tan 431tan 7
πθθθθ+⎛⎫
+
==⇒= ⎪
-⎝
⎭， 又因为
0，
，且tan 0θ>，所以0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
有22sin 1sin 10cos 7cos sin 1cos 10θθθθθθ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=⎩=⎪⎩
，
所以sin cos θθ+=
=
.
故答案为：5
. 【点睛】
本题主要考查了正切的和角公式，三角函数同角公式，属于基础题.
14
．若3n
x ⎛
⎝
展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是
__________. 【答案】135
【解析】首先利用展开式的二项式系数和是64求出n ，然后即可求出二项式的常数项. 【详解】
由题知展开式的二项式系数之和是64， 故有2646n n =⇒=， 可得(
)
616
3r
r
r r T C
x -+=， 知当4r =时有(
)4
2
4
456639135T C x C ==⨯=.
故展开式中的常数项为135. 故答案为：135. 【点睛】
本题考查了利用二项式的系数和求参数，求二项式的常数项，属于基础题.
15．已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为1256
π
，三视图如图所示，则其侧视图的面积为__________.
【答案】6
【解析】首先根据题中条件求出球半径，然后根据半径就出三棱锥的高，再根据三角形面积公式即可计算出侧视图的面积. 【详解】
根据题中三视图还原几何体如下图所示，
设正三棱锥的外接球半径为R ，球心为O ，
过正三棱锥顶点做底面的垂线，垂足为M ，设PM h =， 由题知外接球体积为
312545
632
R R ππ=⇒=， 因为三棱锥底面边长为23 所以可知底面三角形的外接圆半径为2，
在PAM △中，由勾股定理有22
2
552422h h ⎛⎫⎛⎫+-=⇒= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
侧视图面积即为NBP △面积，1
3462
NBP
S ⨯=⨯=. 故答案为：6. 【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球，几何体的三视图，属于基础题.
16．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且
222
42a b c =+，则
2S
a
的最大值为__________.
【答案】
6
【解析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可. 【详解】
由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+， 整理得()222
232cos 33cos 2a c ac B a c B ac
-=-+⇒=
，
因为()2
2222222
1sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
， 代入()223cos 2a c B ac
-=
整理得2
422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
令22c t a =，有()
2
2
222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
所以2
221036
S S a a ⎛⎫≤⇒≤
⎪⎝⎭ 所以
2
S a
的最大值为6
.
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.
三、解答题
17．已知{}n a 为单调递增的等差数列，2518a a +=，3480a a ⋅=，设数列{}n b 满足
23123222224n a n n b b b b ++++=-，n *∈N .
（1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）22n a n =+；（2）1
326n n S +=⨯-.
【解析】（1）首先根据等差数列的性质求出3a ，4a ，然后再求出数列的公差d ，最后根据等差数列的通项公式即可求出数列{}n a 的通项；
（2）首先设数列2n n n c b =⋅，利用题中条件求出数列{}n c 的通项，根据2n
n n c b =⋅即
可求出数列{}n b 的通项，最后根据数列{}n b 的通项公式求和即可. 【详解】
（1）设数列公差为d 且0d >，
由题知253418a a a a +==+，3480a a ⋅=，
有34334
4188
28010a a a d a a a +==⎧⎧⇒⇒=⎨
⎨⋅==⎩⎩， 所以()3322n a a n d n =+-=+；
（2）设数列2n
n n c b =⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，
由题有(
)
(
)
221242444n n n a n T ++-===--，
当1n =时，21
1111144122126c T c b b ==-=⇒=⋅=⇒=，
当1n >时，(
)
114434n n n n n n c T T +--===⨯-，
整理得33422n n
n n n n c b b ⨯=⋅=⇒=⨯()1n >，且1n =时也满足，
故()32
n
n b n *
=⨯∈N ，
可知数列{}n b 是以首项16b =，公比2q 的等比数列，
故(
)()
1116
2
13261n
n
n n b q q
S +-=
=-=⨯--.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求解，等比数列通项公式的求解，属于一般题.
18．如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60°，平面AEFC ⊥平面ABCD ，EF ∥AC ，AE =AB ，AC =2EF .
（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；
（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA ⊥AC ，求二面角B -FC -D 的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）11
.19
-
【解析】（1）首先根据题中条件证明线面垂直，然后根据线面垂直证明面面垂直. （2）首先建立空间直角坐标系，然后求出点的坐标，求出平面法向量，利用二面角公式求出二面角的余弦值. 【详解】
（1）因为四边形ABCD 是边长为2的菱形， 所以BD AC ⊥，
又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ， 平面AEFC 平面ABCD AC =
，
BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面AEFC ，
又因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AEFC . （2）建立如图所示空间直角坐标系
可知2AE AB AC FO ====，23BD =
点)()(
)()
,0,0,2,0,1,0,B
F C D ，
则()()()
3,0,2,0,1,2,3,0,2BF FC FD =-=-=--, 设n 为平面BFC 的法向量，m 为平面DFC 的法向量，
由00n BF n FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00m FD m FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，
解得()(2,23,3,2,23,n m ==-， 设二面角B -FC -D 为2πθθπ⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
， 所以11
cos 19
n m n m
θ⋅=-=-
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明，利用空间向量求解二面角的余弦值，属于一般题.
19．某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X ，若]0[130X ∈，
，每单提成3元，若()300600X ∈，
，每单提成4元，若()600X ∈+∞，，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若]0[140Y ∈，
，每单提成3元，若()400Y ∈+∞，
，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：美团外卖配送员甲送餐量统计
表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
（1）设美团外卖配送员月工资为()f X ，饿了么外卖配送员月工资为()g Y ，当
3006[00]X Y =∈，时，比较()f X 与()g Y 的大小关系
（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率
（ⅰ）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E （X ）和E （Y ） （ⅱ）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） （ⅰ）见解析（ⅱ）见解析
【解析】（1）由 X Y =∈（300，600]，得()()g X g Y =，由此通过作差能比较当
3006[00]X Y =∈，时，()f X 与()g Y 的大小关系．（2）（ⅰ）求出送餐量x 的分布列
和送餐量y 的分布列，由此能求出外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望()E x 和
()E Y ．（ⅱ）
()(()()()30480300600]30420400E X E x E Y E y ==∈==∈+∞（），，，，美团外卖
配送员，估计月薪平均为()180043720E X +=元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为()210043780E Y +=元＞3720元，由此求出小王应选择做饿了么外卖配送员． 【详解】
（1）因为(300600]X Y ，
=∈，所以()()g X g Y =， 当X ∈（300，400]时，()()()()18004210033000f X g X X X X -=+-+=-＞， 当X ∈（400，600]时，()()()()18004210043000f X g X X X -=+-+=-＜， 故当X ∈（300，400]时，()()f X g Y > 当X ∈（400，600]时，()()f X g Y <． （2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为
送餐量y 的分布列为
则112111
()13141617182016155551515
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 212111
()11131415161814156510630
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ⅱ）()30()480(300,600],()30()420(400,)E X E x E Y E y ==∈==∈+∞， 美团外卖配送员，估计月薪平均为()180043720E X +=元，
饿了么外卖配送员，估计月薪平均为()210043780E Y +=元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．已知椭圆()22
2103
x y C a a +=>：的右焦点F 到左顶点的距离为3.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设O 是坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，延长AO 交椭圆与点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）92. 【解析】（1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F 到左顶点的距离，即可求出椭圆
基本量，即得椭圆方程；
（2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可. 【详解】
（1）由题知23b =，3a c +=，()2
222223a b c a b a =+⇒=+-，
解得2a =，所以椭圆22
143
x y C +=：；
（2）因为过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），
设:1l x ty =+，联立()
2222
13469014
3x ty t y ty x y =+⎧⎪
⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y ，()22,b x y ，有122122634
934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
，
因为OE OA OB =+，所以四边形AOBE 是平行四边形， 所以123
32
AGBE AOBE OGB
AOB
S S S S
y
y =+==
-， 有AGBE
S
==
令1m ≥，有
21818
1313AGBE m S m m m
=
=
++，
当m 1≥时
18
13m m
+
单调递减，所以当1m =时面积取最大值， 最大值为max 189312
S ==+. 【点睛】
本题主要考查了椭圆方程基本量的求解，椭圆中三角形的面积计算，属于一般题. 21．已知函数()2
ln .f x x x k x =-+
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()121
()2.4
f x f x k -<- 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先对函数求导，根据韦达定理与判别式确定二次函数根的分布，然后根据函数值的正负确定函数的单调性；
（2）首先求出()12()f x f x -，然后在对求出的表达式进行切线缩放即可证明不等式. 【详解】
（1）由题知函数的定义域为()0,x ∈+∞，
有()2221k x x kx f x x x x
-+'=-+=，
对22x x kx -+有18k ∆=-， 当18
k ≥
时0∆≤，有2
20()0x x kx f x '-+≥⇒≥， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，
当1
8
k <
时>0∆，22x x kx -+有两个根1x ，2x ，设12x x <， 根据韦达定理有121
2x x +=，122
k x x ⋅=，
当1
08
k <<时，
22x x kx -+有两个正根114x =214
x +=，
可知当x ⎛∈ ⎝
⎭
时()0f x '>，函数()f x 单调递增，
当x ∈⎝
⎭
时()0f x '<，函数()f x 单调递减，
当14x ⎛⎫
+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当0k ≤时，
22x x kx -+有两个根1104x =≤，2104
x +=>，
可知当x ⎛∈ ⎝
⎭
时()0f x '<，函数()f x 单调递减，
可知当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭
时()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）由（1）知当1
08
k <<
时，函数有两个极值点1x ，2x ，设12x x <，
根据（1）中单调性可知函数()f x 在1x 处取极大值，2x 处取极小值， 所以()()()()1
121212122
()()1ln
x f x f x f x f x x x x x k x -=-=-+-+，
代入114x =
，214
x +=， 整理得(
)12()f x f x k -=
+
令m =01m <<，
有()22121112()ln ln 1481481m m m m m m f x f x m m ---⎛⎫-=+=+- ⎪++⎝⎭，
因为222
1212ln 14814814m m m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫+-<+-=
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，
代入m =()212181()2444
m k f x f x k --<==-.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数单调性，判断含有参数的二次函数根的分布情况，放缩法证明不等式，属于难题.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（m 为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为
sin cos 0.θρθ--=
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程；
（2）已知()0,1P 直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11
PA PB +的值. 【答案】（1）曲线22144x y C :-=
，直线0x l -=；
（2
. 【解析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数即可求出曲线方程，根据直线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程；
（2）由于点P ，A ，B 均在直线上，所以利用直线参数方程的几何意义，与曲线联立，
求出根，即可求出11PA PB
+的值. 【详解】
（1）由题知2x y m +=，2x y m -=
， 消去m 有22224144
x y x y -=⇒-=， 即曲线22
144
x y C :-=，
因为sin cos 0cos 0sin x x y θρθρθ
ρθ-==⇒--=⎨⎪=⎩
，
即直线:0x l -=；
（2）易知点()0,1P 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为6
π， 则直线l
的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，
所以有2
2211145022t t t ⎫⎛⎫-+=⇒--=⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭，
解得11t =
，2t =，
根据参数的几何意义有11PA t =-
，21PB t ==+
有12t t +=1210t t ⋅=，
1212121111105
PA PB t t t t t t +=⋅+=+==. 【点睛】
本题主要考查了直线的参数方程，直角坐标与极坐标的转化，直线参数方程的几何意义，属于一般题.
23．已知()()()22.f x x a x x x a =--+--
（1）当2a =时，求不等式 ()0f x <的解集；
（2）若(),x a ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.
【答案】（1）(),2-∞；（2）(],2-∞.
【解析】（1）对2x <和2x ≥分类讨论即可求出解集范围；
（2）分别讨论2a >和2a <两种情况，结合第一问中0a =，即可求出结果.
【详解】
（1）当2a =时，()(22)2x f x x -=-，
当2x <时，()2()220f x x -=<-，
当2x ≥时，()22(0)2x f x -=≥，
故不等式()0f x <的解集为(),2-∞；
（2）因为(),x a ∈-∞，所以0x a x a <⇒-<，
当2a >时，可知在区间[)2,x a ∈时，即20x -≥，
有()()()()()220f x a x x x x a =--+--=，
显然不恒成立，不满足题意，舍去，
当2a <时，可知在区间(),x a ∈-∞时，即20x -<，
有()()()220f x a x x =--<恒成立，满足题意，
由第一问有，当2a =时也满足题意，
综上，(],2a ∈-∞时，()0f x <在(),x a ∈-∞上恒成立.
【点睛】
本题主要考查了含有绝对值的不等式，这类题要注意分类讨论，属于一般题.。