《现代控制理论基础》第八章(1)

T
5
3. 状态空间
x1 (t ) x2 (t )
xn (t )
n 个坐标轴 n 维线性空间
x (t0 )
x (t )
状态轨线或状态轨迹
6
4. 状态方程
一阶线性常微分方程组
n 个状态变量
7
状态方程的列写举例
R
+
u (t )
-
i
L
图1 典型的
C
uC (t )
RLC
电路
R
+
u (t )
-
i
L
duc C i dt
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
y 1 0 0 x
[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
1 0 x u R 1 L LC
21
同一个系统的两个不同状态方程！
0 x 1 L
1 0 C x 1 u R L L
uc x i uc x uc
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
dh1 (t ) 1 f1 (t ) f12 (t ) dt A dh2 (t ) 1 f12 (t ) f 2 (t ) dt A
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
0 b 1 L
12
5. 输出方程 输出变量与状态变量间的函数关系式。
y uc
y x1
13
x1 y 1 0 x2
yc x
T
c 1 0
T
14
6. 状态空间表达式
状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系
统完整的动态描述
系统的状态空间表达式。
a1n xn b1u a2 n xn b2u ann xn bnu
y c1x1 c2 x2 cn xn
24
矩阵形式
x Ax bu y cx
x1 x 2 x xn
25
a11 a12 a1n a a a 21 22 2n A an1 an 2 ann
《自动控制原理》 （下册）
现代控制理论基础
1
哈尔滨工业大学
控制科学与工程系
史小平 2011年3月
2
第八章 线性系统的状态空间分析法
目 录
8.1 线性系统的状态空间描述 8.2 线性系统的运动分析——状态转移矩阵 8.3 线性系统的能控性、能观性及对偶原理 8.4 线性系统的能控规范型和能观规范型 8.5 线性系统的实现
0 x1 状态方程： x2 1 L 1 0 C x1 1 u R x2 L L
Ax bu x
x1 x x2
0 A 1 L 1 C R L
dh1 (t ) 1 f1 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t ) dt A dh2 (t ) 1 2 g h1 (t ) h2 (t ) f 2 (t ) dt A
51
dh1 (t ) 1 1 2 g h1 (t ) h2 (t ) f1 (t ) dt A A dh2 (t ) 1 1 2 g h1 (t ) h2 (t ) f 2 (t ) dt A A
48
[例4]
研究双容水箱水位调节系统的数学模型。 泵1
f1 h1 f12 h2
泵2
f2
泵1
f1 h1
dh1 (t ) 1 f1 (t ) f12 (t ) dt A dh2 (t ) 1 f12 (t ) f 2 (t ) dt A
水箱横截面积
h2 f12
泵2
f2
近似为自由落体速度
b1r b2 r bnr
d1r d2r d mr
c11 c12 c c 21 22 C cm1 cm 2
7．状态空间表达式的系统方块图
u
b
+ +
x

A
x
c
y
图2 单输入单输出线性系统模拟结构图
22
0 x 1 LC
1 0 x u R 1 L LC
状态变量的选取有什么原则？
实际上 物理可量测
理论上
物理意义明确
任意选择
23
单输入单输出状态空间表达式的一般形式
x1 a11 x1 a12 x2 x2 a21 x1 a22 x2 xn an1 x1 an 2 x2
x3
+
K

x2
-

a
x1 y
第二步：根据模拟结构图写出状态方程
1 0 a 0 x K 0 K x K u ( z p ) 0 p z p
y 1 0 0 x
43
二．根据系统的机理建立状态空间表达式 控制系统按照能量属性分类： 电气 机械 机电 牛顿定律 状态空间 能量守恒定律 基尔霍夫定律
44
气动液压
热力
物理定理定律
表达式
[例3]
试列写如图所示机械旋转运动模型的状态空间
表达式。
J K T
转动惯量
B
粘性阻尼系数
45
扭转轴的刚性系数 施加于扭转轴上的力矩
[解 ]
定义
x1 x2
x1 x2
x2
u T
K B 1 T J J J
30
D
u
B
+ +
x

A
x+Βιβλιοθήκη yC+
图3 多输入多输出线性系统模拟结构图
状态空间表达式的本质
系统的一种完全描述 外部输入与输出的关系
内部状态变量与外部信号的关系
32
8.1.2 线性系统的状态空间表达式的建立
1．根据系统的方块图建立状态空间表达式
[例1] 给定单输入单输出系统的方块图如下
u
-
K1 T1s 1
牛顿第二定律！
46
x1 x2
K B 1 x2 x1 x2 u J J J
y x1
47
矩阵形式
1 0 0 x 1 x1 u K B 1 x x 2 2 J J J x1 y 1 0 x 2
b1 b 2 b bn
c c1 c2
cn
26
r
输入
m 输出情形
a1n xn b11u1 b12u2 a2 n xn b21u1 b22u2 ann xn bn1u1 bn 2u2 b1ru r b2 ru r bnr ur
C
uC (t )
di L Ri uc u dt
duc C i dt
di L Ri uc u dt
1 uc i C i 1 u R i 1 u c L L L
定义
x1 uc
x2 i
1 uc i C i 1 u R i 1 u c L L L
x1 a11 x1 a12 x2 x2 a21 x1 a22 x2 xn an1 x1 an 2 x2
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u2 d mr ur
1 T1
x3
K2 T2
-

1 T2
x2
K3 T3
x1 y
K4
36
第二步：根据模拟结构图写出状态方程
K3 x1 x2 T3 K2 1 x2 x2 x3 T2 T2 K1K 4 K1 1 x3 x3 x1 u T1 T1 T1
y x1
37
矩阵形式
0 x 0 K1 K 4 T1
y
试写出其状态空间表达式。
39
[解] 第一步：将方块图改画成模拟结构图 首先考虑含有零点的模块
sz s p
sz z p 1 s p s p
z p s p
+
40
u
-
+ x z p 3
s p
K s
x2
1 sa
x1 y
画出原系统的模拟结构图如下：
41
u
-
z p
-

p
K2 T2 s 1
K3 T3 s
y
K4
试写出其状态空间表达式。
33
[解 ] 第一步：将方块图改画成模拟结构图
首先考虑一个子模块
K1 T1s 1
K1 T1 1 s T1
34
该子模块的模拟结构图为
K1 T1
K1 T1 1 s T1
-

1 T1
35
整个系统的模拟结构图为
u
-
K1 T1
-

8.6 线性离散系统的分析
3
8.1 线性系统的状态空间描述
8.1.1 线性系统的状态空间描述 1. 状态变量
n 个独立变量 n 阶线性常微分方程
t0 时刻
n 个独立的初始条件
4
2. 状态向量
x1 (t )
x2 (t )
xn (t )
x (t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) xn (t )
28
a11 a 21 A an1
a12 a22 an 2
a1n b11 b12 a2 n b b 21 22 B ann bn1 bn 2
d11 d12 c1n d d c2 n 21 22 D cmn d m1 d m 2
多输入多输出系统状态空间表达式的矩阵形式
x Ax Bu y Cx Du
y1 y 2 y ym
u1 u 2 u ur
x1 x 2 x xn
18
状态空间表达式
传递函数描述
状态变量选择的非唯一性！
19
对上例选择不同状态变量
x1 uc
x1 uc x2
x2 uc
1 R 1 x2 uc uc uc u LC L LC
1 R 1 x1 x2 u LC L LC
20
新的状态方程
0 x 1 LC
15
状态空间表达式
传递函数描述
16
1 uc i C i 1 u R i 1 u c L L L
消去变量
i
R 1 1 uc uc uc u L LC LC
R 1 1 uc uc uc u L LC LC
1 U c (s) LC U (s) s 2 R s 1 L LC
注意：大多数系统属于非线性系统。
课后思考题1：如何将上述非线性模型线性化？
52
本次课内容总结
状态变量的概念；
状态空间表达式的概念；
如何从方块图入手求得状态空间表达式； 如何用机理建模的方法求取状态空间表达式。
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