2020-2021学年浙江省衢州市教学联盟体八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年浙江省衢州市教学联盟体八年级（上）期
中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.如图所示，下列图形中不是轴对称图形的是()
A. B.
C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是()
A. 3，4，8
B. 5，6，11
C. 1，2，3
D. 5，6，10
3.木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条
斜拉的木板条(即图中的AB和CD)，这样做的根据是()
A. 矩形的对称性
B. 矩形的四个角都是直角
C. 三角形的稳定性
D. 两点之间线段最短
4.如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图
形是()
A. 甲乙
B. 甲丙
C. 乙丙
D. 乙
5.如果a>b，那么下列各式中正确的是()
A. a−3<b−3
B. a
3<b
3
C. −a>−b
D. −2a<−2b
6.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD是BC边上的中线，AD=4，点E、F、
M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是()
A. 6
B. 8
C. 4
D. 12
7.如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两
边上分别取点M、N，使OM=ON，再分别过点M、N作OA、
OB的垂线，交点为P，画射线OP.可证得△POM≌△PON，OP
平分∠AOB.以上依画法证明△POM≌△PON根据的是()
A. SSS
B. HL
C. AAS
D. SAS
8.如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AE平分∠BAC交
BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周
长是()
A. 7+√5
B. 10
C. 4+2√5
D. 11
9.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已
知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得
△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将
边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边
BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为
()
A. 4
5B. 3
5
C. 2
3
D. √3
2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为______．
12.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：______．
13.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABD
的面积是12cm2，AB=8cm，则DF=______．
14.如图，△ABC中，BC=16，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则△AFN的
周长=______．
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度
数为______．
16.如图，在锐角△ABC中，AB=AC=8，S△ABC=24，
且AD⊥BC，点P，Q分别是AB，AD上动点，则BQ+PQ
的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
17.尺规作图，已知∠α，∠β和线段c，用直尺和圆规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，
AB=c，(只要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法)
18.已知：如图，AC与DB相交于点O，OB=OC，∠ABC=∠DCB，求证：AB=DC．
19.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，
BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD
的面积．
20.已知：如图，AB//CD，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
(1)求证：△MCD≌△MBN；
(2)试判断线段AB、AD、CD之间的数量关系，并说
明理由．
21.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥
BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
22.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部
的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
23.如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，
这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
(1)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC
于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
(2)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方
法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
(3)在△ABC中，BD为△ABC的等腰分割线，且AD=BD，∠C=30°，请你画出所
有可能的图形并求出∠A的度数．
24.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等
腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD=4，DM=3．
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
(2)当摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，
连接D1D2如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=√17，求BD2的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D都能找到这样的一条直线，使这些图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使五星红旗沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查轴对称图形的知识，要求掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+4=7<8，不能组成三角形；
B中，5+6=11，不能组成三角形；
C中，1+2=3，不能够组成三角形；
D中，5+6=11>10，能组成三角形．
故选：D．
根据三角形的三边关系进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：门框为防止变形钉上两条斜拉的木板条的根据是三角形具有稳定性．
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙丙正确．
故选：C．
甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】D
【解析】解：A、两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确；
故选：D．
根据不等式的性质，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=1
2
BC=3，AD⊥BC，
∵同底等高的三角形面积相等，
∴S△EFC=S△EFB，S△MNC=S△MNB，
∴S
阴影=S△ABD=1
2
BD⋅AD=1
2
×3×4=6．
故选：A．
先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再根据同底等高的三角形面积相等可知
S△EFC=S△EFB，S△MNC=S△MNB，故可得出S阴影=S△ABD，由此即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质，同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由作法可得OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
则∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中
{OP=OP
OM=ON，
所以△POM≌△PON(HL)．
故选B．
利用作法可得到OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，再加上公共边OP，则可利用“HL”判断△POM≌△PON．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了全等三角形的判定方法．
8.【答案】D
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC=6，AE平分∠BAC，
∴BE=CE=1
2
BC=3，
又∵D是AB中点，
∴BD=1
2
AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
AC=4，
2
∴△BDE的周长为BD+DE+BE=3+4+4=11．
故选：D．
根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BE，再利用直角三角形斜边中线定理求出DE 即可．
本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，中位线定理及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图所示，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6
个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C
点有4个．
综上所述，点C的个数是10，
故选：D．
当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．10.【答案】A
【解析】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4−3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC =∠B′FC =135°，
∴∠B′FD =90°，
∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CE ，
∴AC ⋅BC =AB ⋅CE ，
∵根据勾股定理求得AB =5，
∴CE =
125， ∴EF =125
，ED =AE =√AC 2−CE 2=95， ∴DF =EF −ED =35
， ∴B′F =√B′D 2−DF 2=45
． 故选：A ．
首先根据折叠可得CD =AC =3，
B′C =BC =4，∠ACE =∠DCE ，∠BCF =∠B′CF ，CE ⊥AB ，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD =90°，CE =EF =
125，ED =AE =95，从而求得B′D =1，DF =35，在Rt △B′DF 中，由勾股定理即可求得B′F 的长． 此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．
11.【答案】x +2y >0
【解析】解：依题意得：x +2y >0．
故答案为：x +2y >0．
根据“x 与y 的2倍的和是正数”，即可得出关于x ，y 的不等式，此题得解．
本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
12.【答案】如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形
【解析】
【分析】
本题考查了原命题的逆命题，属于基础题．
根据题意，即可得解．
【解答】
解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．
13.【答案】3cm
【解析】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABD=1
2×AB×DE=1
2
×8DE=12cm2，
∴DE=3(cm)．
∴DF=DE=3cm，
故答案为3cm．
先根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式关于DE的方程，解方程即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴FA=FB，NA=NC，
∴△AFN的周长=FA+FN+NA=FB+FN+NC=BC=16，
故答案为：16．
根据线段垂直平分线的性质得到FA=FB，NA=NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】45°或135°
【解析】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°．
故答案为45°或135°．
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
16.【答案】3
【解析】解：如图，过点B作CM⊥AC于点M，交AD于点Q，过点Q作PQ⊥AB于点P，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=MQ，这时BQ+PQ有最小值，即BM的长度，
∵AB=AC=8，S△ABC=24，
AC⋅BM=24，
∵S△ABC=1
2
∴BM=24
=3，
8
即BQ+PQ的最小值为3．
故答案为3．
过点B作CM⊥AC于点M，交AD于点Q，过点Q作PQ⊥AB于点P，由AD是∠BAC的
平分线．得出PQ=MQ，这时BQ+PQ有最小值，即BM的长度，运用S△ABC=1
2
AC⋅BM= 24，得出BM的值，即BQ+PQ的最小值．
本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足BQ+PQ有最小值时点P和Q的位置．
17.【答案】解：如图，△ABC就是所求三角形．
【解析】先作∠MAN=α，再在AM上取AB=c，再以B为顶点作∠ABC=β，两角的一边交于点C，△ABC就是所求三角形．
本题主要考查了复杂作图，解题的关键是结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18.【答案】证明：∵OB=OC，
∴∠ACB=∠DBC，
在△ABC与△DCB中，
{∠ABC=∠DCB BC=CB
∠ACB=∠DBC
，
∴△ABC≌△DCB(ASA)，
∴AB=DC．
【解析】先根据OB=OC得到∠ACB=∠DBC，再根据ASA证明△ABC≌△DCB，进而利用全等三角形的性质解答即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△ABC≌△DCB解答．
19.【答案】解：连接BD，
∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°，BC=13cm，CD=12cm，
∴BD=√AB2+AD2=5cm．
∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴S
四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=1
2
×3×4+1
2
×5×12=6+30=36cm2．
【解析】连接BD，根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】证明：(1)∵AB//CD，
∴∠NDC=∠DNB，
∵∠DMC=∠NMB，
∵M是BC的中点，
∴CM=BM，
在△MCD与△MBN中，
{∠MDC=∠MNB ∠CMD=∠BMN CM=BM
，
∴△MCD≌△MBN(AAS)；(2)由(1)得CD=BN，
∵DN平分∠ADC，
∴∠CDN=∠ADN，
由(1)得∠CDN=∠AND，
∴∠ADN=∠AND，
∴△AND为等腰三角形，
∴AD=AN，
∵AN=AB+BN=AB+CD，即BN=CD，
∴AD=AB+CD．
【解析】(1)根据AAS证明△MCD与△MBN全等即可；
(2)根据全等三角形的性质和角平分线的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明三角形全等．
21.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
{AD=DC
DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°
∴∠AOE=∠OBF
在△AOE和△OBF中，
{∠OEA=∠BFO ∠AOE=∠OBF OA=OB
，
∴△AOE≌△OBF(AAS)，
∴OE=BF，AE=OF
即OE+OF=AE+BF=CD=17(m)
∵EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7(m)，
∴2EO+EF=17，
则2×EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
又因为由勾股定理得ON=OA=13，
所以MN=15−13=2(m)．
答：旗杆的高度OM为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【解析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可．
此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出△AOE≌△OBF是解题关键．
23.【答案】(1)证明：如图2中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条等腰分割线；
(2)解：如图，线段AD即为所求分割线；
(3)解：如图，当DA=DA时，∠DCA−∠DAC=30°，
∵DA=DB，∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
当CA=CD时，可得∠CAD=75°.∠DAB=37.5°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=112.5°．
当AC=AD时，可得∠CAD=120°，∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=135°，
综上所述，满足条件的∠CAB的度数为90°或112.5°或135°．
【解析】(1)证明△ABE、△AEC是等腰三角形即可；
(2)根据等腰分割线的定义，画出图形即可；
(3)分三种情形：当DA=DA时，当CA=CD时，当AC=AD时，利用等腰三角形的性质，
分别求解．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)①AM=AD+DM=7，或AM=AD−DM=1．
②显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2=AD2−DM2=42−32=7，
∴AM=√7或(−√7舍弃)．
当∠ADM=90°时，AM2=AD2+DM2=42+32=25，
∴AM=5或(−5舍弃)．
综上所述，满足条件的AM的值为√7或5．
(2)如图2中，连接CD1．
由题意：∠D1AD2=90°，AD1=AD2=30，
∴∠AD2D1=45°，D1D2=4√2，
∵∠AD2C=135°，
∴∠CD2D1=90°，
∴CD1=√CD22+D2D12=√32+17=7，
∵∠BAC=∠A1AD2=90°，
∴∠BAC−∠CAD2=∠D2AD1−∠CAD2，
∴∠BAD2=∠CAD1，
∵AB=AC，AD2=AD1，
∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，
∴BD2=CD1=7．
【解析】(1)①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2−DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．
(2)连接CD.首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．本题几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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