江苏省无锡市哈尔佛女子中学2020-2021学年高一数学文期末试卷含解析

江苏省无锡市哈尔佛女子中学2020-2021学年高一数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，，，点M为△ABC内切圆的圆心，若
，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
求三棱锥的外接球的表面积即求球的半径，则球心到底面的距离为，根据正
切和MA的长求PA，再和MA的长即可通过勾股定理求出球半径R，则表面积.
【详解】取BC的中点E，连接AE（图略）.因为，所以点M在AE上，因为
，，所以，则的面积为
，解得，所以.因为
，所以.设的外接圆的半径为r，则，解得.因为平面ABC，所以三棱锥的外接球的半径为
，故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.
【点睛】此题关键点通过题干信息画出图像，平面ABC和底面的内切圆圆心确定球心的位置，根据几何关系求解即可，属于三棱锥求外接球半径基础题目。

2. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( ).
A．至少有1名男生与全是女生 B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生 D．恰有1名男生与恰有2名女生
参考答案：
D
3. 函数的单调减区间为（）
A B C D
参考答案：
D
略
4. 三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
求得底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的体积.
【详解】设底面正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，
即，
所以求的半径为，
所以球的体积为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.
5. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=，且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）
A．f（sinα）＞f（sinβ） B．f（cosα）＞f（cosβ）
C．f（sinα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）
参考答案：
C
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由条件f（x+1）=得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[﹣3，﹣2]上是减函数，得到f（x）在[2，3]上是增函数，在[0，1]上是增函数，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得到α＞90°﹣β，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而得到f （sinα）＞f（cosβ）．
解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数．
∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，
∴在[2，3]上是增函数，∴在[0，1]上是增函数，∵α，β是锐角三角形的两个内角．
∴α+β＞90°，α＞90°﹣β，两边同取正弦得：sinα＞sin（90°﹣β）=cosβ，
且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，∴f（sinα）＞f（cosβ），故选：C．
6. △ABC中，，，，则最短边的边长等于（）
A. B. C. D. 参考答案：
A
7. 给出下列三个函数：①，②，③，其中在区间上递增的函数有：
A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个
参考答案：
C
8. 在正项等比数列{a n}中，，为方程的两根，则（）
A. 9
B. 27
C. 64
D. 81
参考答案：
B
【分析】
由韦达定理得，再利用等比数列的性质求得结果.
【详解】由已知得
是正项等比数列
本题正确选项：B
【点睛】本题考查等比数列的三项之积的求法，关键是对等比数列的性质进行合理运用，属于基础题.
9. 已知角终边上一点，则下列关系式中一定正确的是
( )
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
略
10. 下列四组中的函数f（x）与g（x），是同一函数的是（）
A．f（x）=ln（1﹣x）+ln（1+x），g（x）=ln（1﹣x2）B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx
C．f（x）=?，g（x）=D．f（x）=，g（x）=x+1
参考答案：
A
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是否为同一函数即可．
【解答】解：对于A，f（x）=ln（1﹣x）+ln（1+x）=ln（1﹣x2）（﹣1＜x＜1），
与g（x）=ln（1﹣x2）（﹣1＜x＜1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于B，f（x）=lgx2=2lg|x|（x≠0），
与g（x）=2lgx（x＞0）的定义域不同，不是同一函数；
对于C，f（x）=?=（x≥1），
与g（x）=（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；
对于D，f（x）==x+1（x≠1），
与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数．
故选：A．
【点评】本题考查了判断两个是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是递增的数列，且对于任意都有成立，则实数的取值范围是
___________
参考答案：
12. 已知，则函数与函数的图象可能是______。

参考答案：②
13. 已知函数
的单调减区间为。

参考答案：
略
14. 已知，则的值等于___ ______．
参考答案：
18
略
15. 已知集合与集合，若是从到的映射，则的值为．
参考答案：
4
16. 已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则
a＝，b＝
参考答案：
；0
17. 已知函数f（x）=，若关于x的函数g（x）=f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是．
参考答案：
（1，2]
【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）的同学，画出y=m的图象，通过图象的交点个数确定m的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=，
若关于x的函数g（x）=f（x）﹣m有两个零点，
∴函数y=f（x）与y=m的图象有两个交点，如图：
∴实数m的取值范围是：（1，2]．
故答案为：（1，2]．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，参数范围的求法，考查数形结合以及判断能力．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 求证：①
②sin1°sin2°sin3°…sin89°=
参考答案：
证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°
=cos6°cos54°cos66°②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°=
又
即
所以
19. （本小题满分12分）如图所示,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形,且AF=AD=,G是EF的中点.
(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求三棱锥A－GBC的体积.
参考答案：
(1)证明:∵G是矩形ABEF的边EF的中点,∴AG=BG=2,
从而得:AG2+BG2=AB2,∴AG⊥BG.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,且BC⊥AB,
∴BC⊥平面ABEF.∵AG?平面ABEF,∴BC⊥AG.
∵BC∩BG=B,∴AG⊥平面BGC,
∵AG?平面AGC,∴平面AGC⊥平面BGC.
(2)解:由(1)得BC⊥平面ABEF,∴CB是三棱锥A-GBC的高.
∴VA-GBC=VC-ABG=
20. 如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点. （1）求证：平面BDE；（2）若，，求三棱锥的体积.
参考答案：
（1）详见解析；（2）.
【分析】
（1）通过中位线证得，根据线面平行的判定定理证得结论；（2）利用体积桥可知，根据公式求解出即可.
【详解】（1）连接
为正方形，则为中点
在中，分别为中点，∥
又平面，平面
平面
（2）由题意知：，又，
点到面的距离为
【点睛】本题考查线面平行关系、线面垂直关系的证明，三棱锥体积的求解，考查学生对于直线与平面位置关系涉及到的定理的掌握情况.求解三棱锥体积时，常采用体积桥的方式进行转化.
21. 已知函数f(x)=2x-4,g(x)=-x+4.
(1)求f(1),g(1)的值；
（2）求函数y= f(x) g(x)的解析式，并求此函数的零点；
（3）写出函数y= f(x) g(x)的单调区间。

参考答案：
(1) f(1)=-2,g(1)=3
（2）y= f(x) g(x)=-2x2+12x-16,零点为2和4.…8分
（3）y= f(x) g(x)=-2x2+12x-16的增区间为（-∞，3），
减区间为（3，+∞）。

略
22. 已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立．求实数的取值范围．
参考答案：。