高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》分类汇编及答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习知识点
一、选择题
1．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，2cos2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）
A ．7
8
-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()())2cos sin cos sin cos sin 2
αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭
Q ，
所以cos sin 4
αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+= 所以7sin 28
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
2．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A
与C 的距离为52千米的速度开车直线到达C 处接小
王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）
)
2.6≈
A ．10分钟
B ．15分钟
C ．20分钟
D ．25分钟
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】
根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=， 则5713BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为13
0.2552
=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】
该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】
根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：
sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，
即有sin sin a A c C =，
又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．
4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则
a
b
=( )
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又
A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解
【详解】
由正弦定理：
2sin sin b c
R B C
==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=
在ABC ∆中，A B C π++=
故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =
故
sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
5．已知函数()()03f x x πωω⎛
⎫=
-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，若
()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．π
D ．
4
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小
值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122
x x k k π
π-=-+，12
,k k Z ∈；从
而可知120k k -=时取最小值. 【详解】
由()f x 最小正周期为π可得：
2π
πω
= 2ω∴= ()2sin 23f x x π⎛
⎫∴=
- ⎪⎝
⎭
()max 2f x ∴=，()min 2f x =-
()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点
设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点
()111222
2232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧
-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩
()12122x x k k ππ∴-=-+，
当120k k -=时，12min
2
x x π
-=
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.
6．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A 27
B ．
52
C 7
D 7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若
2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．
则：2221
222
b c a bc cosA bc bc +-===，
由于：0＜A ＜π， 故：A 3
π
=
．
由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，
故：b ＝c ，
所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8．在ABC ∆
中，060,A BC D ∠==是边AB
上的一点，CD CBD =
∆的面积为
1，
则BD 的长为（ ）
A ．32
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】
1sin 1sin 2BCD BCD ∠=∴∠=
2242BD BD ∴=-=∴=,选C
9．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，
11
tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B C A B A B A B π+
+=--=-=-
=---⋅， 所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，
0)，其相邻一条对称轴方程为712
x π
=
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 可得1A =，
1274123
πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 故把()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向左平移
12
π
个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π⎛⎫
=++
= ⎪⎝
⎭
的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin sin(sin cos)0
B A
C C
+-=，a=2，c
，则C=
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
4
D．
π
3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵π
2
＜A＜π，
∴A= 3π
4
，
由正弦定理可得
c
sin sin
a
C A
=，
∵a=2，
，
∴sinC=
sin
c A
a
=1
2=
22
，
∵a＞c，
∴C=π
6
，
故选B．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
12．
已知sinα
，sin()
αβ
-=，,αβ均为锐角，则β=（）
A ．
512
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22
π
π
αβ-
<-<
，利用三角函数的基本关系式，分别求得
cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2
π.
又sin(α－β)，∴cos(α－β).
又sin αcos α ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝5×10
－5×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
＝2.∴β＝4π. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．已知函数()3cos(
2)2
f x x π
=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟
成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1
C ．
1
2
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】
对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟
成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12
min
22
T
x x -=
=，故选D ．
【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
14．在OAB ∆中，已知2OB =u u u v ，1AB u u u v
=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμ
λμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v
的最小值为（ ）
A ．
35
5
B ．
25
C ．
6 D ．
62
【答案】A 【解析】 【分析】
根据2OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得
点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r
.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r
的最小值.
【详解】
在OAB ∆中,已知2OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB
AOB OAB
=
∠∠u u u r u u u r 代入2sin 22
OAB =
∠,解得sin 1OAB ∠=
即2
OAB π∠=
所以OAB ∆为等腰直角三角形
以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22⎝⎭
所以OA =⎝⎭u u u r
,)
OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
则)22OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭u u u
r ,22λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=
则OP =u u u r
=
因为23λμ+=,则32μλ=-
代入上式可得
==所以当95λ=
时
, min OP ==u u u r 故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
15．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）
A ．(0,]4π
B ．(0,]2π
C ．3(0,]4π
D ．3(0,]2
π 【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12
ω=，则()1tan 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解.
因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22
k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-
⎪⎝⎭， 解得02
m π<≤
. 故选：B
【点睛】 本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
16．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡
⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
在一个周期内的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项.
【详解】
根据两角和差公式展开得到：
y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡
⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
=⎝⎭⎭ =-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B.
故答案选B .
这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.
17．化简21sin 352sin 20︒︒-
=（ ）
A ．12
B ．12-
C ．1-
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】 依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
18．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：
①()f x 是奇函数；
②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增； ③π是()f x 的周期；
④()f x 的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】
【分析】
计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.
【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-，
()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，
所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；
假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k π
π=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于
2，所以④错误.
故选：C .
【点睛】
本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A
【解析】
逐一考查所给的函数： cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22
T ππ== ；
函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T π
π
== ；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.
本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=
对称 B ．直线6πθ=对称 C ．点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．极点对称 【答案】A
【解析】
【分析】
由4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又
因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案. 【详解】 由曲线4sin 6πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .
又因为直线3πθ=
,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3π
θ=对称
故选：A.
【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。