高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》图文答案

新《平面向量》专题
一、选择题
1．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线
【答案】B 【解析】 【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】
因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r
所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,
因为5MN a b =+u u u u r r
r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r
由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu
r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu
r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.
故选: B 【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
3．若向量a b r r
，的夹角为3
π
，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．12
-
B ．
12
C
D
． 【答案】A 【解析】 【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r
，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r
，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r
两边平方得
2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r . 即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π
=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r
，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以222
1122b
a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
4．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||b =r ||||a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r
与向量b r
的夹角为( )
A ．
4π或
34
π B ．6π或56π
C ．3π或23π
D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】
设向量a r ，b r
的夹角为θ，则2||12a b θ+=+r r ，2||12a b θ-=-r r ，即可
求出2cos θ，从而得到向量的夹角； 【详解】
解：设向量a r ，b r
的夹角为θ，222||||||2||||cos 48a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r
12θ=+，
222||||||2||||cos 4812a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r
，所以
2222
||||144128cos 80
a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，21cos 2
θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4
π
θ=
或
34
π
，故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.
5．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r
，P 为BD 上一点，若14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值
（ ）
A ．
34
B ．
320
C ．
316
D ．38
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，可得出144
λ=+u u u r u u u r u u u r
AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定
理，即可求出λ. 【详解】
解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14
AP AB AC λ=+u u u
r u u u r u u u r ，
所以1
4 4
λ
=+
u u u r u u u r u u u r
AP AB AD，
由于B，P，D三点共线，
所以
1
41
4
λ+=，
∴
3
16
λ=．
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
6．已知A，B，C是抛物线24
y x
=上不同的三点，且//
AB y轴，90
ACB
∠=︒，点C 在AB边上的射影为D，则CD=（）
A．4 B．2C．2 D2
【答案】A
【解析】
【分析】
画出图像，设
222
112
112
,,,,,
444
y y y
A y
B y
C y
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12
y y
>，由90
ACB
∠=︒可求
22
12
16
y y
-=，结合
22
12
44
y y
CD=-即可求解
【详解】
如图：设
222
112
112
,,,,,
444
y y y
A y
B y
C y
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12
y y
>，由90
ACB
∠=︒可得0
CA CB
⋅=
u u u r u u u r
，
2222
1212
1212
,,,
44
y y y y
CA y y CB y y
⎛⎫⎛⎫
--
=-=--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
，
()
2
22
22
12
12
00
4
y y
CA CB y y
⎛⎫
-
⋅=⇔--=
⎪
⎝⎭
u u u r u u u r
，即
()()
2
22
1222
12
16
y y
y y
-
--=
解得22
12
16
y y
-=（0舍去），所以
2222
12124
444
y y y y
CD
-
=-==
故选：A 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题
7．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交
AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r
在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】 由1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r
，然后套用公式
向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又因为EF BC ⊥，
所以()
22111()()()12222
AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=
-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r . 故选：A. 【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
8．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
以,BA BC u u u r u u u r
为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r
,
211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r
22
111362BC BC BA BA =-⋅-u u u
r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
9．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u
r u u u r
B ．12AB AD -u u u
r u u u r
C ．12
AB AD +u u u r u u u r
D ．12
AB AD -u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v
故选A. 【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
11．已知向量m =r
(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r
，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．
12
B ．2
C ．2
D ．﹣2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2
θ222
26sin cos cos sin cos
θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2
θ2222
2626226
141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=
u u u v u u u v
（ ）
A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．89
-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果． 【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==
-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v .
∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u
v u u u v
82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅
229
=. 故选A ． 【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
13．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则AB BC
=u u u v u u u v （ ） A ．1 B
．
2
C
D
．
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v
可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果． 【详解】
由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v
（），设BC 的中点为D ，则
AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠， 又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C
BC A BC A BC
⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv
uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）
所以2AB BC
=uu u v uu u v
． 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算．
14．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v
的值是
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以1()2
AO AC BO AB CO =
+++u u u v
u u u
v u u u v u u u v u u u v ， 而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以
1()2
BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则 1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v
221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)()42
AC AB AC BO AB CO =
-+⋅-⋅u u u v u u u v u u u
v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v 所以22
1(||)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D
15．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）
A B C ．2-
D ．12
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221202
x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.
【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆221202
x y x +-+
=上一动点与点()20，之间距离的最小值，
又圆22
1202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆
221202x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
=. 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
16．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r
，则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r r ，则1tan 2α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2
α= D ．||a b -r r 1 【答案】B
【解析】
【分析】
A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.
B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.
C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.
D 选项利用向量模的运算来判断正确性.
【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k π
αϕπ+=+，22k π
ϕπα=+-，
tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα
⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.
D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 1，此时5a =-r r ，,a b r r 反向.故选项D 正确.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.
17．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．
15，45
B ．43，13-
C ．45，15
D ．13-，43 【答案】C
【解析】
【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2
OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504
OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=，
联立方程组41
x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.
18．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）
A ．10
B ．16
C ．
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．
【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，
则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．
19．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线
2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．
C ．24
D ．【答案】C
【解析】
【分析】
设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】
解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点， ∴24m n a -==，122210F F c ==.
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =，
∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A ．4
B
C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。