2020年安阳市高二数学上期中第一次模拟试卷(及答案)

2020年安阳市高二数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<
B ．270,75x s =>
C ．270,75x s ><
D ．270,75x s <>
2．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )
A ．113472
50
C C C B ．20
3472
50
C C C C ．12332
50
C C C +
D ．11203473472
50
C C C C C + 3．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．
115
B ．
112
C ．
111
D ．
14
4．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1
2
x y +≥
”的概率，2p 为事件“12x y -≤
”的概率，3p 为事件“1
2
xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<
D ．321p p p <<
5．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥
D ．任何两个事件均不互斥
6．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，
和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
A ．2018S >？，输出1n -
B ．2018S >？，输出n
C ．2018S ≤？，输出1n -
D ．2018S ≤？，输出n
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为
A ．6
B ．10
C ．8
D ．4
8．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
A．
1
7?,,+1
i s s i i
i
≤=-=B．
1
128?,,2
i s s i i
i
≤=-=
C．
1
7?,,+1
2
i s s i i
i
≤=-=D．
1
128?,,2
2
i s s i i
i
≤=-=
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()
A．7B．4C．5D．11
10．下列说法正确的是（）
A．若残差平方和越小，则相关指数2R越小
B．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变
C．若2
K的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小
D．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1
r=
11．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数
据表可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中ˆ 2.4b
=，$a y bx =-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）
3
4
6
10
12
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
12．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．
1
6
B ．
112
C ．
536
D ．
518
二、填空题
13．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 14．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为
2
3
，则m =_______.
15．有一批产品，其中有2件次品和4件正品，从中任取2件，至少有1件次品的概率为______．
16．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.
17．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．
18．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．
19．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随
机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．
20．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．
三、解答题
21．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.
22．为检验,A B 两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取6件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于90分为优品.前5件的评分记录如下，第6件暂不公布.
（1）求所抽取的A 生产线上的6个产品的总分小于B 生产线上的第6个产品的总分的概率；
（2）已知,A B 生产线的第6件产品的评分分别为90,97.
①从A 生产线的6件产品里面随机抽取2件，设非优品的件数为η，求η的分布列和数学期望；
②以所抽取的样本优品率来估计B 生产线的优品率，从B 生产线上随机抽取3件产品，记优品的件数为X ，求X 的数学期望.
23．袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个, 其中标号为0的小球1个, 标号为1的小球1个, 标号为2的小球2个, 从袋子中不放回地随机抽取2个小球, 记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b . (1) 记事件A 表示“2a b +=”, 求事件A 的概率；
(2) 在区间[]0,2内任取2个实数,x y , 记()2
a b -的最大值为M ,求事件
“22x y M +<”的概率.
24． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国
2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气
质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的 2.5PM 监测数据中，随机抽
取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）
（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率；
PM日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中（2）以这15天的 2.5
大致有多少天的空气质量达到一级.
25．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分
1000,1500）.
布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)
3000,3500的频率；
（1）求居民收入在[)
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按
2500,3000的这段应抽取多少人？分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)
26．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如统计结果分成5组：[)[)[)[)[)
图所示的频率分布直方图.
200,300的车辆数；
（1）求直方图中x的值及续驶里程在[)
200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程（2）若从续驶里程在[)
200,250内的概率.
在[)
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】
由题意，根据平均数的计算公式，可得705080607090
7050
x ⨯+-+-=
=，
设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()22222
12481757070706070907050x x x ⎡⎤=
-+-++-+-+-⎣
⎦L ()()()222
1248170707050050x x x L ⎡⎤=
-+-++-+⎣
⎦， ()()()()()22222
2124817070708070707050s x x x ⎡⎤=
-+-++-+-+-⎣
⎦L ()()()222
124817070701007550x x x ⎡⎤=
-+-++-+<⎣
⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意，恰好两件都是次品，共有2
3C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有1
1
347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】
由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有2
50C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20
347C C 种不同的取法，
恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有1
1
347C C 种不同的取法，
所以至少取到1件次品的概率为1120347347
2
50
C C C C C +，故选
D ． 【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】
总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111
p =. 故选：C. 【点睛】
本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为,[0,1]x y ∈，对事件“1
2
x y +≥”，如图（1）阴影部分，
对事件“1
2
x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“1
2
xy ≤
”，如图（3）阴影部分，
由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，
根据几何概型公式可得231p p p <<．
（1） （2） （3） 考点：几何概型．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项． 【详解】
A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，
B 为三件产品全是次品，
C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件
由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ． 【点睛】
本题主要考查互斥事件定义的应用． 6．A
解析：A 【解析】 【分析】
通过要求122222018n +++>L 时输出且框图中在“是”时输出确定“”内
应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】
因为要求122222018n +++>L 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“
”内输入“2018S >？”，
又要求n 为最小整数， 所以“
”中可以填入输出1n -，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】
由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】
本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】
由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：1
1,42
S i =-=； 第2次循环：11
1,824
S i =--=； 第3次循环：111
1,16248
S i =-
-==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288
S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，
其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i
=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．C
解析：C 【解析】
模拟程序框图的运行过程，如下：
输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；
2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；
输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断
D .
【详解】
对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；
对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；
对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；
对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．
11．C
解析：C 【解析】 由题意
4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y b
a y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.
12．C
解析：C 【解析】
由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536
,故选C.
点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．
二、填空题
13．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2 解析：0.1
【解析】
数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15
x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为：
s 2=
15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．
14．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识
解析：2 【解析】
画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，
区间[2,4]-的长度是6，
在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23
， 则有
22
63m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】
该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.
15．【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式
解析：
56. 【解析】 【分析】
利用古典概型概率公式求出事件“至少有1件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
记事件:A 至少有1件次品，则其对立事件为:A 全都是次品，
由古典概型的概率公式可得()
222416C P A C ==，()()
15
1166
P A P A ∴=-=-=.
因此，至少有1件次品的概率为56，故答案为56
. 【点睛】
本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.
16．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题
【解析】 【分析】
根据茎叶图计算平均数. 【详解】 由茎叶图得1617101920
188.5
x x +++++=∴=
【点睛】
本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.
17．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52
解析：52 【解析】
由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．
18．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相
【解析】 【分析】
不妨设2AB =AB =
，大圆与菱形相切，
大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222
AB ⨯=
，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】
依题意，不妨设2AB =，
AB =
， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，
可得大圆半径为
12AB =
由几何概型概率公式可得
该点落在图中阴影区域内的概率为：
22
22
108
P
ππ
⨯⨯+⨯⨯
==
，故答案为
108
.
【点睛】
本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 19．【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有53773048802 7257683458925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填
解析：
2
5
【解析】
这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有
537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82
205
=,故填
2
5
.
20．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传
解析：
1
4
【解析】
用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法
所有传球方法共有：
甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；
甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；
则共有8种传球方法．
记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，可知共有两种情况，，而总的事件数是8，
∴P(A)=
2
8
=
1
4
.
故答案为
1
4
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的
求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
三、解答题
21．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案
见解析；（ii）6
7
．
【解析】
分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P
（X=k）=
3
43
3
7
C C
C
k k-
⋅
（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为
()12
7
E X=．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为6
7
．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=
3
43
3
7
C C
C
k k-
⋅
（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望()0123
353535357
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=6
7
．
所以，事件A发生的概率为6
7
．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机
变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)
n N =
样本容量该层抽取的个体数
总体的个数该层的个体数
；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 22．（1）3
100
；（2）①详见解析；②2. 【解析】 【分析】
（1）根据A 生产线前5件的总分为8889909192450++++=，B 生产线前5件的总分为8284929194443++++=；则要使制取的A 生产线上的6个产品的总分小于B 生产线上的6个产品的总分，则第6件产品的差要超过7.
（2）①η可能取值为0,1,2，根据超几何分布求解概率，列出分布列，再求期望.②由样品
估计总体，优品的概率为23，X 可取0,1,2,3且2~3,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入公式求解.
【详解】
（1）A 生产线前5件的总分为8889909192450++++=，
B 生产线前5件的总分为8284929194443++++=；
要使制取的A 生产线上的6个产品的总分小于B 生产线上的6个产品的总分，则第6件产品的评分分别可以是()90,98，()90,99，()91,99，
故所求概率为
331010100
=
⨯. （2）①η可能取值为0,1,2，
()204226205η===C C P C ，()1142268115C C P C η===，()222
61
215
η===C P C ， 随机变量η的分布列为：
1215153
η=
⨯+⨯=E . ②由样品估计总体，优品的概率为23，X 可取0,1,2,3且2~3,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故2
323
EX np ==⨯=. 【点睛】
本题主要考查茎叶图，离散型随机变量的分布列和期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．）（1）1
3；（2）4
π. 【解析】 【分析】
（1）用列举法表示所有基本事件，数出满足“a +b ＝2”为事件A 的个数，然后利用古典概型求解概率；
（2）直接利用几何概型，求解全部结果的区域面积与所求结果的区域面积，求解概率即可． 【详解】
（1）不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件个数有（0，1），（1，0），（0，21），（21，0），（0，22），（22，0），（1，21），（21，1），（1，22），（22，1），（21，22），（22，21）
记事件A 表示“a +b ＝2”，有（0，21），（21，0），（0，22），（22，0）， ∴事件A 的概率P （A ）41
123
=
=， （2）记“x 2+y 2＜M ”为事件B ， （a ﹣b ）2的最大值为M ，则M ＝4，
则x 2+y 2＜M ”的概率等价于“x 2+y 2＜4的概率”， （x ，y ）可以看成平面中的点的坐标，
则全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R}， 而事件B 构成的区域为B ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＜4，（x ，y ）∈Ω}． 所以所求的概率为P （B ）4
π
=．
【点睛】
本题考查古典概型以及几何概型的概率的求法，古典概型的计算关键在于找到所有的基本事件及所求的基本事件个数，几何概型关键在于确定属于“长度型、面积型还是体积型”，基本知识的考查，属于中档题． 24．（1）67
91
；（2）一年中平均有120天的空气质量达到一级． 【解析】 【分析】
（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中， 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，由此能求出从这15天的数据中任取3天的数据，至少有一天空气质量达到一级的概率．
（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51
153
P =
=，一年中空气质量达到一级的天数为η，则1
~(360,)3
B η，由此能求出一年中大致有多少天的空气质量达到一
级． 【详解】
解：（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，
2.5PM 日均值在35微克/立方米以下的天数有5天， ∴从这15天的数据中任取3天的数据， 则至少有一天空气质量达到一级的概率为：
122135105105333
1515156791
C C C C C p C C C =++=． （2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153
P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1
~(360,)3B η，
1
3601203
E η∴=⨯=（天)，
∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．
【点睛】
本题考查等可能事件概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 25．（1）0.15；（2）2400；（3）25 【解析】 【分析】
（1）根据频率=小矩形的高⨯组距来求；
（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可；
（3）求出月收入在[2500，3000)的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案． 【详解】
解：（1）月收入在[)3000,3500的频率为0.00035000.15⨯=； （2）从左数第一组的频率为0.00025000.1⨯=； 第二组的频率为0.00045000.2⨯=； 第三组的频率为0.00055000.25⨯=；
∴中位数位于第三组，设中位数为2000x +，则0.00050.50.10.20.2x ⨯=--=，
400x ∴=．
∴中位数为2400（元)
（3）月收入在[)2500,3000的频数为0.25100002500⨯=（人)，
Q 抽取的样本容量为100．∴抽取比例为
1001
10000100
=， ∴月收入在[)2500,3000的这段应抽取1
250025100
⨯
=（人)． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率． 26．（1）0.003，5；（2）35
. 【解析】 【分析】
（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得x 的值，求得续驶里程在[
)200,300的车辆的概率，再利用频数=频率⨯样本容量求车辆数；（2）由（1）知续驶里程在[
)200,300的车辆数为5辆，其中落在[
)200,250内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在[
)200,250内的情况，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】
（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：
()0.0020.0050.0080.002501x ++++⨯=，解得：0.003x =，
∴续驶里程在[)200,300的车辆数为：()200.0030.002505⨯+⨯=（辆）. （2）设“恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内”为事件M
由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，分别记为A 、B 、C ，落在[)250,300内的车辆数2辆，分别记为a 、b ,
从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：(),A B ，(),A C ，(),A a ，
(),A b ，(),B C ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M 包含的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b 共6
种，
所以由古典概型概率公式有：()63
105
P M =
=，即恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率为
35
. 【点睛】
本题主要考查直方图的应用，以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….
1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能
避免多写、漏写现象的发生.。