2019-2020学年河南省信阳市段集中学高三数学理期末试题含解析

2019-2020学年河南省信阳市段集中学高三数学理期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系xOy中，以（﹣2，0）为圆心且与直线（3m+1）x+（1﹣2m）y﹣5=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（）
A．（x+2）2+y2=16 B．（x+2）2+y2=20 C．（x+2）2+y2=25 D．（x+2）2+y2=36
参考答案：
B
【考点】J1：圆的标准方程．
【分析】根据题意，将直线的方程变形可得m（3x﹣2y）m+（x+y﹣5）=0，分析可得其定点M（2，3），进而分析可得满足题意的圆是以P为圆心，半径为MP的圆，求出MP的长，将其代入圆的标准方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆心为P，则点P的坐标为（﹣2，0）
对于直线（3m+1）x+（1﹣2m）y﹣5=0，变形可得m（3x﹣2y）m+（x+y﹣5）=0
即直线过定点M（2，3），
在以点（﹣2，0）为圆心且与直线（3m+1）x+（1﹣2m）y﹣5=0，
面积最大的圆的半径r长为MP，
则r2=MP2=25，
则其标准方程为（x+2）2+y2=25；
故选B．
2. 等比数列中，，函数，则
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
3. 已知复数和复数，则为
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
4. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）
A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5
满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．
故选：B．
5. 设U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩?U B=（）
A．{1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣3，﹣2，﹣1，0} D．{2}
参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与交集的定义，写出?U B与A∩?U B即可．
【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，
所以?U B={x|x＜1}=（﹣∞，1），
且集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以A∩?U B={﹣3，﹣2，﹣1，0}
故选：C
【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．
6. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
7. 若a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
略
8. 设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. 若函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，则g（）的值为
（）
A．B．1 C．D．﹣1
参考答案：
D
【考点】反函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知得g（x）=log2x，由此能求出g（）．
【解答】解：∵函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，
∴g（x）=log2x，
∴g（）=log2=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．
10. 已知在平面内，是平面的一条斜线，若
，那么斜线与平面所成的角的余弦值
为
（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，若同时满足条件：
1对任意实数都有或；2总存在使成立。

则的取值范围是．
参考答案：
12. 已知等比数列的前项和为，若，则的值是▲ .
参考答案：
略
13. 设满足约束条件：；则的取值范围为
参考答案：
约束条件对应四边形边际及内的区域：
则
14. 平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为
__________．
参考答案：
1.
【分析】
由题意可得关于首项的方程，解方程可得．
【详解】设该等差数列的首项为a，
由题意和等差数列的性质可得2019+a＝1010×2
解得a＝1
故答案为：1
【点睛】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属于基础题．
15.
运行右边算法流程，当输入x的值为_____时，输出的值为4。

参考答案：
答案：3
16. 若与互为共轭复数，则______________．
参考答案：
7.
【分析】
先由复数的乘法，化简，再根据共轭复数的概念，即可求出结果.
【详解】因为，又与互为共轭复数，
所以，因此.
故答案为7
【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记复数的运算法则以及共轭复数的概念即可，属于常考题型.
17. 已知函数，是偶函数，则a+b=
．
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中，过点（0，1），倾斜角为45°的直线L，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．
（1）将曲线E化为直角坐标方程，并写出直线L的一个参数方程；
（2）直线L与圆x2+（y﹣1）2=1从左到右交于C，D，直线L与E从左到右交于A，B，求|AC|+|BD|的值．
参考答案：
【分析】（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线E的直角坐标方程；由直线L过点（0，1），倾斜角为45°，能求出直线L的一个参数方程．
（2）将L的参数方程代入x2=4y中得t2﹣4t﹣8=0，由直线L过圆心，能求出|AC|+|BD|的值．
【解答】解：（1）∵曲线E的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，
∴曲线E的直角坐标方程为：x2=4y，
∵直线L过点（0，1），倾斜角为45°，
∴直线L的一个参数方程为，（t为参数）.5（分）
（2）将L的参数方程代入x2=4y中得t2﹣4t﹣8=0，
，直线L过圆心，故|AC|+|BD|=|AB|﹣2=|t1﹣t2|﹣2=﹣2=6．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程、直线的参数方程的求法，考查两线段和的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．
19. （本题满分12分）
已知函数的图像过点，且在处的切线的斜率为
，
（为正整数）
（Ⅰ）求函数的解析式；高考资源网w。

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（Ⅱ）若数列满足：，，令，求数列的通项公式；
(III)对于（Ⅱ）中的数列，令，求数列的前项的和.参考答案：
解：（I）由已知高考资源网w。

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解得所以………………3分
（Ⅱ）由可得……………………………4分
即
所以数列是首项为，公比的等比数列………6分
∴
…………………8分
(Ⅲ) 由（Ⅱ）知 C n=n·2n+1-
n …………9分
∵ S n=1·22+2·23+……+n·2n+1-(1+2+3+……+n)
2S n= 1·23+……（n-1）·2n+1+n·2n+2-2(1+2+3+……+n) …10分
∴-S n=（22+23+……+2n+1）-n·2n+2+（1+2+3+……+n）
=-n·2n+2+高考资源网w。

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∴S n=（n-1）·2n+2+4-
(12)
分
略
20. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
参考答案：
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．
【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为
（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，
又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，
故所求的概率为P=．
【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．
21. （满分12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
参考答案：
（Ⅰ）因为，
所以. ……………………….. 3分
所以其最小正周期为…………….. 5分
又因为，所以.
所以函数的最小正周期是；最大值是. (7)
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以.
所以当，即时，函数有最大值是；
当，即时，函数有最小值是.
所以函数在区间上的最大值是，最小值是. ….. 12分
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线
y2=2px（p＞0）上．
（1）求p，t的值；
（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）运用代入法，即可求得p，t；
（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦
的斜率公式，可得k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立
直线AM的方程，即可得到C的坐标．
【解答】解：（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，得p=1，
将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，
因为t＜0，所以t=﹣2．
（2）依题意，M的坐标为（2，0），
直线AM的方程为y=﹣x+，
联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），
所以k1=﹣，k2=﹣2，
代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，
从而直线PC的方程为y=﹣x+，
联立直线AM：y=﹣x+，
并解得C（﹣2，）．。