圆的中心对称性 演示文稿

D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O

你又能发现哪些等量关系?说一说你的理由.
议一议
4
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等,所对的弦的弦心距相等. A A
D D
B
●
O
B●OFra bibliotek●O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
8、AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且 BC=CD=DA，则∠BCD=（ 120° ）
9、在⊙O中，一条弦将圆周分为1∶3的两部分，则这 条弦所对的圆心角的度数为（ 90° ）
巩固练习
1、⊙O中， 求证： = ， = ，
△ACE≌△FDB 2、AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且 = 求证：BE=CE
C 圆心角相等，所对的弧也相等 D 相等的弦所对的圆心角 也相等 2、同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则 与 的 关系是（ A ）
A C =2 ＜2 B ＞2 D 不能确定
3、AB是⊙O的直径， = = ∠BOC=40°，则∠AOE=（ 60°）
，
4、AB、CD是⊙O的两条直径，E为⊙O 上一点，若BE=BC，∠BOE=40°，则 ∠AOC=（ 140° ）
证明：
∵AD=BC∴
∴ +
=
= +
即
=
∴AB=CD
圆心角、弧、弦之间的关系
例：AB为⊙O的弦，C、D为弦AB上的两点， 且OC=OD，延长OC、OD分别交⊙O于点E， F，试证明 = 证明： ∵OC=OD∴∠OCD=∠ODC ∵OA=OB∴∠A=∠B ∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B ∴∠AOC=∠BOD ∠AOE=∠BOF
B
●
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
⌒ ⌒
随堂练习 7
驶向胜利 的彼岸
AB • 已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 ⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
2
圆心角
驶向胜 利的彼 岸
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
A
●
D′ O
A′
B
D A
D′ D B B′
圆心角、弧的度数之间的关系
整个圆的1/360叫做1°的弧.1度的圆心角所对的 弧是1°的弧，反之， 1°的弧所对的圆心角是 1°的角。 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心， AC为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则 弧AD的 度数为（ 50° ）
5、已知⊙O的半径是4， 则弦AB的长为（ ）
为圆周的1／3，
7、下列命题：（1）半圆是中心对称图形 （2）相等的 圆心角所对的弦相等（3）若两弧不相等，则它们所对的 弦也不相等 （4）、在一个圆中，一条弦所对的弧一定 有一段是优弧，另一段是劣弧。其中正确的是（ D ）
A 3个 B 2个 C 1个 D 0个
3、在⊙O中， = ，D、E分别是半径OA、 OB上的点，且AD=ＢＥ，请问ＣＤ与ＣＥ的大小有 什么关系？为什么？
4、已知AB是⊙O的直径，弦AD∥OC，求证：
=
5、AB是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB=120°， C为 的中点，试求四边形AOBC的周长，并判断
它的形状。
6、已知AB是⊙O的直径，M、N分别为AO、BO的中点， CM⊥AB，DN⊥AB,垂足分别为M、N。求证：AC=BD
┏ A′ D′ B′
如由条件: ②AB=A′B′
⌒
⌒
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
6
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两 条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都分别相等. A A
D D
5、AB、CD为⊙O的两条直径，CE为弦，且AB⊥CE于 F，若 的度数为60°，则 的度数为（ 60°）
6、已知AB是⊙O的直径，点C、D是 上的三等分 点，∠AOE=60°则∠COE等于（ 80° ）。 7、OC为⊙O的半径，点D为OC的中点，弦AB过点D 且AB⊥OC，那么∠ACB的度数为（ 120° ）
1、下列结论正确的是（ D ）A 长度相等的两条弧是等弧 B 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C 相等的 圆心角所对的弧相等 D 等弧所对的圆心角相等 2、已知圆的一条弦等于圆的半径，则这条弦所对的圆 60° ） 心角为（ 3、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦 AB所对的劣弧的度数是（120° ）。 4、如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=40°，则 ∠BOC=（ 50°）
解：菱形。 ∵∠AOB=120º ，C 是 的中点
∴∠AOC=1／2∠AOB=1／2×120°=60° ∵OA=OC ∴OA=AC 同理：BC=OB ∴OA=OB=BC=AC∴四边形OACB是菱形。 ∴△AOC是等边三角形
随堂练习 8
驶向胜利 的彼岸
• 已知在⊙O中，AD=BC，试说明AB与CD相等。
∴
=
例2：D、E分别是⊙O的半径OA，OB上的点， CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，求证： = 证明：∵CD⊥OA,CE⊥OB ∴⊿CDO与⊿CEO都是直角三 角形
∵CD=CE,CO=CO
∴Rt⊿CDO≌Rt⊿CEO ∴∠COD=∠COE ∴ =
巩固练习
1、下列说法正确的是（ A 等弦所对的弧相等 ） B 等弧所对的弦相等
想一想
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驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

用旋转的方法可以得到:
●
O
一个圆绕着它的圆心旋转任意一 个角度,都能与原来的图形重合.

这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性

想一想
A A′
●
B
B′
●
O
O

你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
想一想
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圆心角
• 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和 ∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合. A′ B′ O B A A′ A
可推出
┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
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拓展与深化
驶向胜利 的彼岸
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. A A
D D
B
●
O
B
●
O
●
O′