辽宁省沈阳市东北育才学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

2021—2022学年度下学期期中考试高一年级数学科试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数()()13i 1i --的虚部为（）
A ．4
-B ．4i
-C ．2
D ．2i
2．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形A B C D ''''，如图所示，则该平面图形的面积是（
）
A ．1
B C ．2
D ．
3．已知ππ,2⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭α，π3cos 25α⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，则sin 2α=（
）
A ．1225-
B ．1225
C ．2425-
D ．
24
25
4．已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）
A ．48π
B ．64π
C ．84π
D ．144π
5．在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）
A ．a =，8b =，60A =︒
B ．5a =，6b =，120A =︒
C ．3a =，4b =，45A =︒
D ．4a =，3b =，60A =︒
6．公元263，魏晋时期的数学家刘徽借助圆内接正多边形计算圆的面积，其“割圆术”思想为：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体．某数学兴趣小组，分别计算单位圆内接正n 边形和外切正n 边形（各边都和圆相切）的面积，将它们的平均数作为圆的面积，则用此法求得圆面积为（）
A ．180180180sin cos tan n n n n ︒︒︒⎛⎫+ ⎪⎝
⎭B ．1180180180sin cos tan 2n n n n ︒︒︒⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
C ．360360360sin cos tan n n n n ︒︒︒⎛
⎫+ ⎪⎝⎭D ．1360360360sin cos tan 2n n n n ︒︒︒⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
7．下列命题中正确的个数是（）
①若a ，b 是两条直线，且a b ∥，那么a 平行于经过b 的任何平面
②若a ，b 是两条异面直线，则过空间一点A 且与a 和b 都平行的平面有且仅有一个③若a ，b 是两条异面直线，则过空间一点A 且与a 和b 都相交的直线有且仅有一条④若直线a ，b 和平面a 满足a b ∥，a α∥，b α⊄，则b α∥A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知
ABC 的外接圆圆心O 满足CO mCA nCB =+
，其中m ，n 为正数且42m n +=，若84CA CB == ，，则CB CA ⋅=
（
）
A ．4
B ．
C ．16
D ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或者有选错的得0分．
9．关于函数()π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，下列说法正确的是（
）
A ．函数()f x 的图像的一个对称中心是π,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
B ．函数()f x 在区间5π0,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减；
C ．直线11π
12
x =
是函数()f x 图像的一条对称轴；D ．将函数()f x 的图像沿x 轴向左平移π4个单位长度，将得到函数()π2sin 212g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的
图像．
10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（）
A ．若sin sin A
B >，则A B >；
B ．若sin cos sin cos A A B B =，则AB
C 一定是等腰三角形；
C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++；
D ．若ABC 是钝角三角形，则tan tan 1A C ⋅<．
11．如图，1111ABCD A B C D -是底面为矩形的直四棱柱，1AD =，12AB AA ==，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有（
）
A ．AE 与1A G 异面
B ．1B D EF ⊥
C ．1AG ∥平面AEF
D ．1B D ⊥平面AEF
12．
某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C ，测量出对教学楼AB 的仰角ACB α∠=，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有（
）
A ．从点C 向教学楼前进a 米到达点D ，测量出角AD
B β∠=；B ．在地面上另选点D ，测量出角ACD β∠=，AD
C γ∠=，C
D a =米；C ．在地面上另选点D ，测量出角BDC β∠=，CD a =米；
D ．从过点C 的直线上（不过点B ）另选点D 、
E ，测量出2CD DE a ==米，ADB β∠=，AEB γ∠=．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸的相应位置．
13．已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b
的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．
14．已知复数()i ,R z a b a b =+∈满足118i z z +=+-，求1i 5i z z +++--的最小值______．15．中国折扇有着深厚的文化底蕴．如图所示，在半径为30cm 的半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC 图中阴影部分）制作折扇的扇面，记扇环形ABDC 的面积为
1S ，扇形OAB 的面积为2S
，当
1212
S S =时，扇形的形状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为______cm
．
16．
如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个棱长为2的正方体内，已知棱锥重合的底面与正方体的底面平行，八面体的各顶点均在正方体的表面上，则该八面体表面积的取值范围为______
．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//CD AB 且2CD AB =，PA PC ⊥，M 为PC
中点．
(1)求证：//BM 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ．
18．函数()14sin cos 2sin(23f x x x x π
=+-+．
(1)求函数()f x 的最小正周期及对称中心；
(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若12A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，sin 2sin C B =，且2a =，
求ABC 的面积．
19．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，
3
BAD π
∠=，E 为CD 中点，AF AD λ= ，()01λ≤≤．
(1)若AE BF ⊥
，求实数λ的值；
(2)求BF FE ⋅
的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy 中，先将线段OP 绕原点O 按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段的长度变为原来的()0ρρ>倍得到1OP ，我们把这个过程称为对点P 进行一次(),T θρ变换得到点1P ，例如对点()1,0进行一次,32T π⎛⎫
⎪⎝⎭
变换可以得到点()0,3．(1)若对点(
)1,0A 进行一次2,23T π⎛⎫
⎪⎝⎭
变换得到点1A ，求点1A 的坐标；
(2)若对点B ⎝⎭
进行一次(),T θρ变换得到点()13,4B -，对点1B 再进行一次(),T θρ变换得到点2B ，求点2B 的坐标．
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点F 为线段PC 上的点，过A ，D ，F 三点的平面与PB 交于点E ．
(1)证明：//EF 平面ABCD ；
(2)若E 为PB 中点，且2AB PA ==，求四棱锥P AEFD -的体积．
22．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差
4π，将函数()f x 向左平移6
π
个单位得到的图像关于y 轴对称且()00f >．(1)求函数()f x 的解析式：(2)若110,
12
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，方程()()()2
230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．
1．A 【分析】
根据复数的乘法可得()()13i 1i 24i --=--，结合复数概念即可得到答案．【详解】
()()213i 1i 14i 3i 24i --=-+=--，则虚部为4
-故选：A ．2．D 【分析】
斜二测画法换元注意纵坐标长度是原来的2倍，横坐标长度不变．【详解】
1A D A B ==''''，所以O D ''=
则21OD O D AB =='='，所以平面图形ABCD 面积||||1S AB OD =⋅=⨯故选：D ．3．D 【分析】
利用两角差的余弦公式求出sin α的值，再利用同角三角函数的平方关系求出cos α，最后利用正弦二倍角公式即可求解.【详解】
由已知条件得π3cos sin 25αα⎛
⎫-==- ⎪⎝
⎭，
∵ππ,2⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭α，
∴cos α=4
5==-，∴3424
sin 22sin cos 25525
ααα⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
故答案为：D .4．C 【分析】
根据直棱柱外接球的性质可知OG ∥1AA ，11
2
OG AA =，利用222OC OG CG =+求外接球的半径．【详解】
如图，D 为棱BC 的中点，G 为正△ABC 的中心，O 为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知OG ∥1AA ，11
32
OG AA ==，外接球半径R OC =，
∵正△ABC 的边长为6，则CG =∴222221R OC OG CG ==+=外接球的表面积24π84πS R ==故选：C ．
5．C 【分析】
由正弦定理解三角形进行判断．
【详解】
解：由正弦定理可得sin sin a b
A B
=，
对于选项A ，a =，8b =，60A =︒8
sin B =
，∴sin 1B =，∴90B =︒，故△ABC
有唯一解．
对于选项B ，5a =，6b =，120A =︒，又b a >，故120B >︒，故△ABC 无解．
对于选项C ，3a =，4b =，45A =︒4sin B
=，∴sin B
sin 4534b a b =︒<=<=，故△ABC 有两个解．
对于选项D ，4a =，3b =，45A =︒，由b a <，得B A <，故B 为锐角，故△ABC 有唯一解．故选：C ．6．B 【分析】
根据题意，利用三角形的面积公式，分别求出单位圆内接正n 边形的面积和单位圆外切正n 边形的面积，然后求它们的平均数即可.【详解】
取单位圆，即半径1r =，所以，单位圆内接正n 边形，可以分解成n 个三角形，且每个三角
形面积为1360136011sin sin 22n n ︒︒
⨯⨯⨯=，所以，单位圆内接正n 边形的面积为360sin 2n n ︒.
单位圆外切正n 边形可以同样分解成n 个三角形，且每个三角形面积为11801tan
22n ︒
⨯⨯⨯，所以，单位圆外切正n 边形的面积为180tan n n
︒
.故它们的平均数为1360180sin tan 22n n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭1180180180sin cos tan 2n n n n ︒︒︒⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭.
故选：B 7．A 【分析】
①④根据线面平行的判定定理判断；②③根据异面直线的定义结合平面的理解判断．【详解】
①a 可能在经过b 的平面内，不正确；
②相对于把a 和b 都平移至点A ，构成的平面只有一个，但a 或b 可能在该平面内，不正确；
③过空间一点A 且与a 和b 都相交的直线可能不存在，不正确；④a α∥，则存在l ⊂α，使得a l ∥，可得l b ∥，则b α∥，正确；故选：A ．8．C 【分析】
利用数量积公式及几何意义可得CO CB ⋅ ，CO CA ⋅
，
然后将已知等式两边同时乘以CB 和CA ，得到等量关系3264m nCA CB =+⋅ ，816n mCA CB =+⋅
，对等量关系进行整理化简即可得到
答案.【详解】
取AC 的中点D ,连接OD ,则OD AC ⊥,
||||4832;CO CA CD CA ∴⋅=⋅=⨯= 同理可得248;
CO CB ⋅=⨯=
2CO CA mCA nCA CB ⋅=+⋅
，3264m nCA CB =+⋅ ，①2CO CB mCA CB nCB
⋅=⋅+ ，816n mCA CB =+⋅ ，②①+②得()()40164m n m n CA CB =+++⋅
，即()4032m n CA CB =++⋅ ，()=8m n CA CB +⋅
，①+②⨯4得()32=32+m n CA CB +⋅
，
将()=8m n CA CB +⋅ 代入()
32=32+m n CA CB +⋅ 中可得16CB CA ⋅= ，故选：C
9．AC 【分析】
根据正弦函数的对称性以及单调性分别代入检验判断，将函数()f x 的图像沿x 轴向左平移
π
4个单位长度，将得到函数ππ2sin 243y x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦整理判断．
【详解】
()f x 的对称中心即为()f x 的零点，则()2si 0n ππ3f ⎛⎫
= ⎪⎭
-⎝-=，A 正确；
5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,332x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，sin y x =在ππ,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦单调递增，B 不正确；
()f x 在对称轴处取到最值，则11π3π21222sin
f ⎛⎫
= ⎪⎭=-⎝，C 正确；将函数()f x 的图像沿x 轴向左平移π
4个单位长度，将得到函数
ππ2sin 24π2s n 3i 26y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣+⎦⎛
⎫ ⎪⎝⎭，D 不正确
故选：AC ．10．ACD 【分析】
利用正弦定理推理判断A ；举例说明判断B ；利用正弦函数单调性推理判断C ，D 作答.【详解】
对于A ，由正弦定理得：sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，A 正确；
对于B ，当30,60A B == 时，sin cos sin cos 4
A A
B B ==，显然AB
C 不是等腰三角形，B 不正确；
对于C ，锐角ABC 中，2A B π+>
，有022B A ππ
<-<<，则sin sin()cos 2
A B B π>-=，
同理，sin cos ,sin cos B C C A >>，于是得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，C 正确；对于D ，钝角ABC 中，若A ，C 之一是钝角，则tan tan 01A C <<，若B 是钝角，则2
A C π
+<，
02
2A C π
π
<<
-<
，则有0sin sin()cos 2
A C C π
<<-=，同理0sin cos C A <<，因此，sin sin cos cos A C A C <，从而得tan tan 1A C <，综上得tan tan 1A C <，D
正确.
故选：ACD 11．ABC 【分析】
分别利用平面的基本性质，利用线面垂直证明线线垂直，线面平行的判定定理，线面垂直的性质依次判断即可.
【详解】
连接AC 和11A C ,∵1AA ∥1CC ,
∴点A 、1A 、C 、1C 共面，
∴1
AG ⊂面11A ACC ,又∵AF Ç面11A ACC A =，∴AE 与1A G 异面，则选项A 正确；连接1CD 和1C D ，∵四边形11D DCC 为正方形，∴11CD C D ⊥,∵EF ∥1CD ,∴1EF C D ⊥，又∵11B C EF ⊥，∴EF ⊥面11B C D ,
∵1B D ⊂面11B C D ，∴1EF B D ⊥，则选项B 正确；
作1A A 的中点H ,连接HD 和AF ,交于点I ,连接EI ,
∵四边形HADF 为正方形，∴I 为HD 的中点，∴IE ∥HC ,∵1A G ∥HC ,
∴1A G ∥IE ,
又∵IE ⊂面AEF ，∴1AG ∥平面AEF ，则选项C 正确；
连接BD ，若1B D ⊥平面AEF ，AE ⊂平面AEF ,则1B D AE ⊥,又∵1BB AE ^,∴⊥AE 平面1B BD ,∴AE BD ⊥,
如下图所示，由△DME ∽△BMA
可知，13DM DB ==
233AM AE ==,
则222AM DM AD +≠,故AE 和BD 不垂直，则1B D 与平面AEF 不垂直，则选项D
不正确；
故选：ABC .
12．ABD 【分析】
在ACD 中用正弦定理求出边AC ，再在ABC 中计算判断A ，B ；由解三角形的条件判断C ；用AB 长表示BC ，BD ，BE ，再利用余弦定理推理判断D 作答.【详解】
对于A ，在ACD 中，CAD βα∠=-，由正弦定理得sin sin sin sin()
CD ADC a AC CAD β
βα∠==∠-，
在Rt ABC △中，sin sin sin sin()
a AB AC ACB αβ
βα=∠=
-，A 满足；
对于B ，在ACD 中，()CAD πβγ∠=-+，由正弦定理得sin sin sin sin()
CD ADC a AC CAD γ
βγ∠==∠+，
在Rt ABC △中，sin sin sin sin()
a AB AC ACB αγ
βγ=∠=
+，B 满足；
对于C ，在ACD 中，已知一边无法解三角形，在BCD △中，已知一边一角也无法解三角形，不能求出BC ，AC ，C 不满足；对于D ，设AB h =，则有,,tan tan tan h h h
BC BD BE αβγ
===，在BCD △与BED 中，由余弦定理得：
2
2
2
2222cos 2cos BD CD BC BD CD BDC BD ED BE BD ED BDE ⎧+-=⋅∠⎨+-=⋅∠⎩，即222222
2cos cos 2BD a BC a BD BDC
a BD BE a BD BDC ⎧+-=⋅∠⎪
⎨⎛⎫+-=-⋅∠⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，因此，2
222
33202BD a BC BE +--=，即
22222223320tan 2tan tan h h h a βαγ
+--=，解此方程即得h ，
D 满足.故选：ABD 【点睛】
思路点睛：涉及仰角、俯角问题，构造仰角、俯角的直角三角形，转化为解直角三角形作答.13．1λ>-且4λ≠【分析】
利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.【详解】
因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅>
，且a 与b 不共线，
因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠14．10【分析】
根据给定条件，可得4b =，R a ∈，再计算复数的模并结合几何意义计算作答.【详解】
复数()i ,R z a b a b =+∈，由118i z z +=+-，即(1)i (1)(8)i a b a b ++=++-，
4b =，R a ∈，即4i z a =+，
1i 5i (1)5i (5)3i z z a a +++--=+++-+=表示点(,0)
P a 与点(1,5)A --、(5,3)B 距离的和，
显然点P 在x 轴上，而线段AB 与x 轴相交，因此，1i 5i ||||||10z z PA PB AB +++--=+≥=，当且仅当点P 为线段AB 与x 轴的交点时取“=”，所以1i 5i z z +++--的最小值是10.故答案为：10
15．)
15
1
-【分析】
根据比例结合题意可得2322352
S OC S OA -==，计算整理求OC ．【详解】
记扇形OCD 的面积为3S ，所对的圆心角为α
∵12512S S -=，则2
23212
2221
352122
OC S S S OC S S OA OA αα--====，即512OC OA -=∴(
)
51
1551
2
OC OA -=
=-故答案为：(
)
15
51-．
16．43,82⎡⎤⎣⎦
【分析】
根据正方形分析可得2,2AB ⎡⎤∈⎣⎦，该八面体表面积8ABE S S = ，借助立体图求面积分析．
【详解】
在边长为2的正方形PQMN 中，设()02AP a a =≤≤，AB x =，则2PB a
=-∴()()[]22
2222122,4x a a a =+-=-+∈，即2,2AB x ⎡⎤=∈⎣⎦
根据题意可知：,E F 为正方体底面的中心取正方形ABCD 的中心O ，则,,E O F 三点共线，
取AB 的中点G ，连接,,,OA OB OG GE ，则2,1EF OE ==，2
,12
4
x
x OG GE ==
+该八面体表面积2
143,824
84ABE x S S x =+=⎡⎣ 故答案为：3,82⎡⎤⎣⎦
17．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】
（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明四边形ABMN 是平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）根据给定条件，证明AP CD ⊥，再利用线面垂直的判定推理作答.【详解】
（1）在四棱锥P ABCD -中，取PD 中点N ，连接AN ，MN ，如图，
因M 为PC 中点，则//MN CD ,1
2
MN CD =
，又//CD AB 且2CD AB =，则有//MN AB ，MN AB =，
即四边形ABMN 是平行四边形，有//BM AN ，而AN ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，所以//BM 平面PAD .
（2）因AB ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，则AB PA ⊥，而//CD AB ，因此，PA CD ⊥，又PA PC ⊥，PC CD C ⋂=，,PC CD ⊂平面PCD ，所以PA ⊥平面PCD .
18．(1)π；(,1)(Z)26
k k ππ
+∈；
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解作答.（2）由（1）求出角A ，再利用正弦定理角化边，余弦定理、面积定理求解作答.(1)
依题意，()112sin 22(sin 22)sin 2212sin(2)123f x x x x x x x π
=+-+=-+=-+，
于是得22T π
π==，由2,Z 3
x k k ππ-=∈得：,Z 26k x k ππ=+∈，所以函数()f x 的最小正周期为π，对称中心为(,1)(Z)26
k k ππ
+∈.(2)
由（1）知，(2sin()1123
A f A π=-+=，即sin(03A π-=，而0A π<<，则3A π
=，
在ABC 中，由正弦定理及sin 2sin C B =得：2c b =，由余弦定理得：
222242cos 3a b c bc A b ==+-=，解得2
43
b =
，
所以ABC 的面积21sin sin 233
ABC S bc A b π=== .
19．(1)10
21
；
(2)5,
611⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
．【分析】
（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，依题意可得(3,0)F λ，从而得到,AE BF
的坐标，
再根据AE BF ⊥
，即可得到0AE BF ⋅= ，根据平面向量数量积的坐标表示得到方程，解得
即可；
（2）依题意可得,BF FE
的坐标，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得．【详解】
（1）在平行四边形ABCD 中，2AB =，3BC AD ==，3
BAD π
∠=
，
∴建立如图坐标系，
则(0,0)A ，(3,0)D ，B ，C ，
E 为CD 中点，故27
2E ⎛ ⎝⎭
， AF AD λ=
，故(3,0)F λ，
∴
72AE ⎛= ⎝⎭
，(31,BF λ=-
， AE BF ⊥ ，∴0AE BF ⋅=
，
所以07(31)(2λ⨯-+
=，∴1021
λ=
；
（2）由（1）可知，B ，(3,0)F λ，7
2E ⎛ ⎝⎭
，
所以(31,BF λ=-
，32
7
FE λ⎛=- ⎝⎭
，23
27(31)3957222BF FE λλλλ⎛⎫⋅=---=-+- ⎪⎝⎭ ，对称轴为3=4
λ．
01λ ，当34
λ=
时，BF FE ⋅ 的最大值为1
16，
当0λ=时，最小值为5-，所以5,
116BF FE ⎡
⎤
⋅∈-⎢⎥⎣
⎦
．20．(1)
(-；(2)
(--.
【分析】
（1）根据给定变换，利用三角函数的定义求出点1A 的坐标作答.
（2）令xOB α∠=，根据给定条件，求出cos ,sin αα及cos(),sin(),αθαθρ++，再借助二倍角公式、差角公式结合变换的定义计算作答.(1)
显然点(
)1,0A 在x 轴的正半轴上，且||1OA =，对点()1,0A 进行一次2(,2)3
T π
变换就是将线段OA 逆时针旋转
23
π
，再将线段OA 的长度变为原来的2倍，则点122(2cos ,2sin )33
A ππ，
所以点1A 的坐标为(-.(2)
对点(
,)55
B 进行一次(),T θρ变换得到点()13,4B -，即有1||1,||5OB OB ==，则5ρ=，令x 轴的非负半轴绕原点O 逆时针旋转到与射线OB 重合时的[0,2)π内的角为α，则cos
αα=
=
于是得34
cos(),sin()55αθαθ+=-+=，
2724
cos 2()2cos ()1,sin 2()2sin()cos()2525
αθαθαθαθαθ+=+-=-
+=++=-，则
cos(2)cos[2()]cos 2()cos sin 2()sin αθαθααθααθα
+=+-=+++724
252525=-
⨯-sin(2)sin[2()]sin 2()cos cos 2()sin αθαθααθααθα
+=+-=+-+247
252525=-
⨯-，对点1B 再进行一次(),T θρ变换得到点2B ，则21||||25OB OB ρ=⋅=，点
2(25cos(2),25sin(2))B αθαθ++，即2(B --，
所以点2B 的坐标是(--.21．(1)证明见解析；(2)1.
【分析】
（1）利用线面平行的判定证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质、判定推理作答.（2）利用线面垂直的性质、判定证明AD ⊥平面PAB ，进而证得PB ⊥平面ADFE ，再借助锥体体积公式计算作答.（1）
正方形ABCD 中，//AD BC ，而BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面ADFE FE =，则有//EF AD ，而AD ⊂平面ABCD ，
EF ⊄平面ABCD ，
所以//EF 平面ABCD .（2）
因PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则AD PA ⊥，又AD AB ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则AD ⊥平面PAB ，
,PB AE ⊂平面PAB ，于是得AE AD ⊥，PB AD ⊥，
因2AB PA ==，E 为PB 中点，则PB AE ⊥，PE AE ==，
而AE AD A ⋂=，,AE AD ⊂平面ADFE ，因此，PB ⊥平面ADFE ，
由（1）知//EF BC ，则有112EF BC ==，梯形ADFE 面积1()22S EF AD AE =+⋅=，
所以四棱锥P AEFD -的体积111332
V S PE =
⋅=⨯=.22．(1)()2sin(2)6
f x x π
=+；
(2)13a <£或45a <<.
【分析】
（1）根据给定函数的性质，求出ω，再由平移后的图象特征求出ϕ并判断作答.
（2）由给定方程可得()1f x =或()3f x a =-，根据()3f x a =-根的情况结合图形求解作答.(1)
因函数()f x 图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差4
π，则()f x 的周期2T π
πω==，解得2ω=，
有()2sin(2)f x x ϕ=+，依题意()2sin(2)63
f x x ππ
ϕ+=++的图像关于y 轴对称，
答案第15页，共15页则有,Z 32k k ππϕπ+
=+∈，即,Z 6
k k πϕπ=+∈，而ϕπ<，即有56π=-ϕ或6πϕ=，当56π=-ϕ时，5(0)2sin()06f π=-<，不符合要求，当6πϕ=时，(0)2sin 06
f π=>，所以函数()f x 的解析式是()2sin(26f x x π=+.(2)
由（1）知，()2sin(2)6
f x x π=+，当11[0,]12x π∈时，(2[,2]66x πππ+∈，()[2,2]f x ∈-，由()()()2230f x a f x a +-+-=得：[()1][()(3)]0f x f x a ---=，即()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即1sin(2)62x π+
=，而11[0,12x π∈，解得0x =或3x π=，即()1f x =在11[0,]12
π上有两个根，方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11[0,]12
π上存在4个不相等的实数根，当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11[0,]12
π上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数()y f x =在11[0,
12x π∈上的图象和直线3y a =-
，如图，方程()3(4)f x a a =-≠在11[0,]12π上有两个不等实根，当且仅当函数()y f x =在11[0,]12x π∈上的图象和直线3(4)y a a =-≠有两个公共点，
观察图象知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，
所以实数a 的取值范围是13a <£或45a <<.
【点睛】
思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.。