【鲁教版】初三数学下期中试卷(及答案) (2)

一、选择题
1．下列命题说法正确的有（ ）
①三点确定一个圆；
②长度相等的弧是等弧；
③等边三角形都相似；
④直角三角形都相似；
⑤平分弦的直径垂直于弦．
⑥一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A ．52
B ．62
C ．21252π-
D ．21162
π- 3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为（ ）
A ．25°
B ．27.5°
C ．35°
D ．45°
4．如图，AB 、CD 是O 的两条弦，且AB CD =．OM AB ⊥，ON CD ⊥，垂足分别为点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P ，连接OP ．下列结论正确的个数是（ ） ①AB CD =；②OM ON =；③PA PC =；④BPO DPO ∠=∠
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度()y
m 与水平距离()x m 之间近似满足函数关系()20y ax x c a =++≠，则水流喷出的最大高度为（ ）
A ．1m
B ．32m
C ．138m
D ．2m
6．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ）
A ．2y x =
B ．22y x =+
C ． 1y x =-+
D ．22 y x =-- 7．二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．－29
D ．－30
8．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（ ）
A ．10.35m
B ．8.375m
C ．8.725m
D ．9.375m 9．如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，AB 与地面夹角为α，当梯顶A 下滑1米到A '时，梯脚B 滑到B '，A B ''与地面的夹角为β，若4tan 3α=，1
BB '=米，则cos β= （ ）
A ．35
B ．45
C ．34
D ．25
10．如图，AC 垂直于AB ，P 为线段AC 上的动点，F 为PD 的中点， 2.8m =AC ，2.4m =PD ， 1.2m =CF ，15∠=︒DPE ．若90PEB ∠=︒，65∠=︒EBA ，则AP 的长约为（ ）（参考数据：sin 650.91︒≈，
cos650.42,sin500.77,cos500.64︒≈︒≈︒≈）
A ．1.2
B ．1.3m
C ．1.5m
D ．2.0m 11．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC △是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB △∽△；③:1:2DQ BQ =；④314BDP S -=．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②③④ D ．①②④ 12．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A ．58
B ．45
C ．35
D ．12
二、填空题
13．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连结EF ，则线段EF 长度的最小值为________________．
14．如图，C ∠是O 的圆周角，45C ∠=︒，则AOB ∠的度数为____．
15．抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为
()4,0-，对称轴为1x =-，则0y >时，x 的取值范围________．
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为()21184105
y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离_____ m ．
17．在平面直角坐标系中，已知()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，则抛物线21y x bx =++的顶点坐标为_________．
18．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（3+1）m ．工人师傅搬运此钢架_______（填“能”或“不能”）通过一个直径为2.1m 的圆形门？
19．如图是我国古代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则cos θ的值为______．
20．如图，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 在第二象限，3,AB =将线段OA 绕点О按顺时针方向旋转60︒得到线段,OD 连接,AD 反比例函数
()0k y k x
=≠的图象经过,D B 两点，则k 的值为____． 21．如图，点D 在钝角ABC 的边BC 上，连接AD ，45B ∠=︒，CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，则CAD ∠的余弦值为__________．
22．如图，一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向且距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行一定时间后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船航行的路程为_____海里．
三、解答题
23．如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8cm OA =．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1cm/s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O ，P ，Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC ，QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<．
（1）求OP OQ +的值；
（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P ，Q 运动过程中（08t <<），四边形OPCQ 的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ 面积变化的趋势；如果四边形OPCQ 面积不变化，请求出它的面积．
24．已知：如图，在ABC 中，AB BC =，D 是AC 中点，BE 平分ABD ∠交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，O 过B ，E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．
（1）求证：AC 与O 相切；
（2）当6BD =，3sin 5
C =时，求O 的半径． 25．如图，已知矩形ABC
D 的周长为36cm ，矩形绕它的一条边CD 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边AB 的长为cm(0)x x >，旋转形成的圆柱的侧面积为2cm S ．
（1）用含x 的式子表示：
矩形的另一边BC 的长为______cm ；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______cm ． （2）求S 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；
（3）求当x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；
（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于218cm π，则矩形的长是______cm ，宽是______cm ．
26．已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为()2,1，平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D （点C 在点D 的左边）．求点,C D 的坐标；
（3）将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m ，平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n ．若15m <≤，直接写出n 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据确定圆的条件对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据相似三角形的判定对③④进行判断；根据垂径定理对⑤进行判断；根据圆周角定理对⑥进行判断．
【详解】
解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
②在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②错误；
③等边三角形的三个角都是60°，根据“两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似”可判定等边三角形都相似，故③正确；
④直角三角形只有一个直角可以确定对应相等，其他条件不确定，故④错误； ⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故⑤错误；
⑥圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故⑥正确． 故选B ．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件，等弧的定义，相似三角形的判定，垂径定理，圆周角定理等知识．熟练掌握基本知识是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
由题意得到四边形ABCD 为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，可求出AB=2
π，则
OP=12AB=4π，在Rt △OEP 中，利用勾股定理可计算出EP ，即可得到两圆的公共弦长EF ． 【详解】
解：∵AB ，CD 为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD 为矩形，BC=2， 设中间一块阴影的面积为S ，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，
∴AB=2
π． 如图，EF 为公共弦，PO ⊥EF ，
OP=12AB=4
π， ∴22OE OF -222
161()4ππ--=， ∴21162
π- 故选：D ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，公切线，连心线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
首先连接AD ，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，由直角三角形的性质，求得∠A 的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD 的度数．
【详解】
解：连接AD ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，
∴∠A=90°-∠ABD=35°，
∴∠BCD=∠A=35°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
4．D
解析：D
【分析】
如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．【详解】
解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴AB CD
，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．D
解析：D
【分析】
由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】
解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
1.5930
c a c =⎧⎨++=⎩， 解得：1232a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴函数表达式为：22131(1)2222
y x x x =-++
=--+， ∵a ＜0，故函数有最大值，
∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 6．B
解析：B
【分析】
根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【详解】
解：A 、2y x
=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意；
B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；
C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；
D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据图象，直接代入计算即可解答
【详解】
解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29．
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
8．D
解析：D
【分析】
求出函数的最大值即可得求解．
【详解】
∵22575156648s t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
＝＝＋，
∴当54t ＝时，s 取得最大值759.3758
=，即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m 故选D ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键． 9．B
解析：B
【分析】
根据4tan 3
α=设OA=4k ，则OB=3k ，AB=5k ，从而表示OA '=4k-1，OB '=3k+1，在OA B ''△中，由勾股定理，求得k 值，后根据三角函数的定义计算即可．
【详解】
∵4tan 3
α=，
设OA=4k ，则OB=3k ，AB=5k ，
∴OA '=4k-1，OB '=3k+1，
在OA B ''△中，
222OB OA A B ''''+=，
∴222(41)(31)(5)k k k -++=，
解得k=1，
∴31cos 5k k β+=
=45
． 故选B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，熟练用未知数表示锐角三角函数中的对应线段是解题的关键． 10．B
解析：B
【分析】
过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意，∠BEP=90°，根据四边形内角和定理可得∠CPF 的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP 的长，进而可得AP 的长．
【详解】
解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：∠BEP=90°，∠B=65°，
∵AC⊥AB
∴∠A=90°，
∴∠EPA=360°-90°-90°-65°=115°，
∵∠DPE=15°，
∴∠APD=130°，
∴∠CPF=50°，
∵F为PD的中点，
∴DF=PF=1
2
PD=1.2，
∴CF=PF=1.2，
∴CP=2PG=2×PF•cos50°≈2×1.2×0.64≈1.54，
∴AP=AC-PC=2.8-1.54≈1.3（m）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，借助辅助线构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是关键．
11．D
解析：D
【分析】
由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，从而判断①；证∠DBH＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD2，CQ＝2QE＝2x，CE3，由CE＋DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，
证DP＝DQ 6-2
，根据
BDP
S＝1
2
BD•P Dsin∠BDP求解可判断④．
【详解】
解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
则∠BPD＝∠BPC＋∠CPD＝135°，故①正确；
∵∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠DBH ＝∠DPB ＝135°，
又∵∠PDB ＝∠BDH ，
∴△BDP ∽△HDB ，故②正确；
如图，过点Q 作QE ⊥CD 于E ，
设QE ＝DE ＝x ，则QD 2，CQ ＝2QE ＝2x ，
∴CE 3，
由CE ＋DE ＝CD 知x 3＝1，
解得x 3-1， ∴QD 26-2 ， ∵BD 2 ∴BQ ＝BD−DQ 26-232-6， 则DQ ∶6-2∶32-6∶2，故③错误； ∵∠CDP ＝75°，∠CDQ ＝45°，
∴∠PDQ ＝30°，
又∵∠CPD ＝75°，
∴∠DPQ ＝∠DQP ＝75°，
∴DP ＝DQ ＝
6-22， ∴BDP S ＝12BD•PDsin ∠BDP ＝1226-22×12=314 ，故④正确； 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．
12．C
解析：C
【分析】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求
出AD 即可解决问题．
【详解】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD --=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二、填空题
13．【分析】过O 作OH ⊥EF 于H 连接OEOF 易求得∠EOH=∠BAC=60°则EF=2EH=2OE·sin60°=AD·sin60°故当直径AD 最短时EF 最短当AD ⊥BC 时AD 的长最小在Rt △ABD 中由 3【分析】
过O 作OH ⊥EF 于H ，连接OE 、OF ，易求得∠EOH=∠BAC=60°，则
EF=2EH=2OE·sin60°=AD·sin60°，故当直径AD 最短时，EF 最短，当AD ⊥BC 时AD 的长最
小，在Rt △ABD 中，由AD=AB·
sin45°求解即可解答． 【详解】
解：过O 作OH ⊥EF 于H ，连接OE 、OF ，
∵∠BAC=60°，
∴∠EOH= 12
∠EOF=∠BAC=60°，又AD 为直径， ∴由垂径定理得：EF=2EH=2OE·sin ∠EOH=AD·sin60°，
故当AD 最短时，EF 最短，当AD ⊥BC 时，AD 的长最小，
∴在Rt △ADB 中，∠ABC=45°，2
∴AD=AB·sin ∠ABC=22·sin45°=2，
∴EF 长的最小值为2×
32
=3， 故答案为：3．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数值、解直角三角形，解答的关键是根据运动变化，找到满足条件的最小圆，再解直角三角形．
14．【分析】根据圆周角定理计算即可；【详解】∵∴；故答案是【点睛】本题主要考查了圆周角定理准确分析计算是解题的关键
解析：90︒
【分析】
根据圆周角定理计算即可；
【详解】
∵45C ∠=︒，
∴290AOB C ∠=∠=︒；
故答案是90︒．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．
15．或【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时x 的取值范围【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x 轴的一
解析：4x <-或2x >
【分析】
根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时，x 的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），
由图象可知，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-4或x ＞2．
故答案为：x ＜-4或x ＞2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x 轴的另一个交点．
16．10【分析】根据铅球落地时高度y=0实际问题可理解为当y=0时求x 的值即可【详解】解：令函数式中y=00=解得x1=10x2=-2（舍去）即铅球推出的距离是10m 故答案为：10【点睛】本题考查了二次
解析：10
【分析】
根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．
【详解】 解：令函数式()21184105y y x ==-
-+中，y=0， 0=()21184105
x --+， 解得x 1=10，x 2=-2（舍去），
即铅球推出的距离是10m ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键． 17．（2－3）【分析】根据坐标特点判定AB 两点是一对对称点从而得到抛物线的对称轴根据对称轴x=确定b 的值从而确定顶点坐标【详解】∵和是抛物线上的两点∴抛物线对称轴为x==2∴顶点坐标的横坐标为2；∵∴b
解析：（2，－3）.
【分析】
根据坐标特点，判定A ，B 两点是一对对称点，从而得到抛物线的对称轴，根据对称轴x=2b a
-，确定b 的值，从而确定顶点坐标. 【详解】
∵()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，
∴抛物线对称轴为x=152
-+=2， ∴顶点坐标的横坐标为2； ∵22
b -=， ∴b= -4，
∴241y x x =-+，
当x=2时，
22421y =-⨯+= -3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-3），
故应填（2，-3）.
【点睛】
本题考查了利用抛物线的对称点确定顶点坐标，熟练掌握抛物线对称轴与对称点的关系，抛物线顶点坐标的计算公式是解题的关键.
18．能【分析】过B作BD⊥AC于D解直角三角形求出AD=xmCD=BD=xm得出方程求出方程的解即可【详解】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为
21m的圆形门理由是：过B作BD⊥AC于D∵AB＞BDB
解析：能
【分析】
过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=3xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，
理由是：过B作BD⊥AC于D，
∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，
∴求出DB长和2.1m比较即可，
设BD=xm，
∵∠A=30°，∠C=45°，
∴DC=BD=xm，33，
∵AC=23）m，
∴33），
∴x=2，即BD=2m＜2.1m，
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．
19．【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为小正方形的边长为5再根据直角三角形的边角关系列式即可求解；【详解】∵大正方形的面积是125小正方形的面积为25∴大正方形的边长为小正方形的边长为5设直2
5
5
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5 ，再根据直角三
角形的边角关系列式即可求解；
【详解】
∵ 大正方形的面积是125，小正方形的面积为25，
∴ 大正方形的边长为
，小正方形的边长为5 ，
设直角三角形中θ所对的直角边为x ，
则()(2
225x x ++= ， 解得：x 1=5，x 2=-10（舍去），
∴ sin θ
，
∴ cos θ ，
． 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中． 20．【分析】作DE ⊥x 轴垂足为E 设OA=m 则点B 坐标为根据旋转的性质求出OA=OD=m ∠AOD=60°求出点D 坐标为构造关于m 的方程解方程得出点B 坐标即可求解【详解】解：如图作DE ⊥x 轴垂足为E 设OA=
解析：-
【分析】
作DE ⊥x 轴，垂足为E ，设OA=m ，则点B 坐标为(m -，根据旋转的性质求出
OA=OD=m ，∠AOD=60°，求出点D 坐标为12m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，构造关于m 的方程，解方程得
出点B 坐标，即可求解．
【详解】
解：如图，作DE ⊥x 轴，垂足为E ，设OA=m ，则点B 坐标为(m -，
∵线段OA 绕点О按顺时针方向旋转60︒得到线段,OD
∴OA=OD=m ，∠AOD=60°， ∴1cos 2
OE OD DOE m =∠=，
sin DE OD DOE =∠=，
∴点D 坐标为12m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
∵点B 、D 都在反比例函数()0k y k x =≠的图象上， ∴13322
m m m -=-， 解得124,0x x ==（不合题意，舍去），
∴点B 坐标为()
4,3-，
∴4343k =-⨯=-．
故答案为：43-
【点睛】
本题为反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数的性质，旋转的性质，三角函数等知识，理解反比例函数性质，构造方程，求出点B 坐标是解题关键．
21．【分析】作AH ⊥BC 于H 设AC ═CD=5k 则BC=7k 设AH=BH=x 在Rt △ACH 中利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值）然后表示ADDH 利用余弦的定义即可求得【详
解析：1010
【分析】
作AH ⊥BC 于H ，设AC ═CD=5k ，则BC=7k ，设AH=BH=x ，在Rt △ACH 中，利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示，求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值），然后表示AD ，DH ，利用余弦的定义即可求得．
【详解】
解：如图作AH ⊥BC 于H ，
∵CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，
设AC ═CD=5k ，BC=7k ，
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH ，设AH=BH=x ，
在Rt △ACH 中，
∵AH 2+HC 2=AC 2，
∴x 2+（7k-x ）2=（5k ）2，
解得x=3k 或4k ，
当x=4k 时，即AH=4k ，HC=7k-4k=3k ，
AH>HC ，此时根据大边对大角，∠HAC<∠HCA ，
又∠HAC+∠HCA=90°，
∴∠HAC<45°，
∴∠BAC<90°，与△ABC 为钝角三角形矛盾，故x=4k 舍去，
当x=3k 时，
∴BH=AH=3k ，HC=7k-3k=4k ，DH=k ， ∴2210AD AH DH k +=, ∴10cos cos 10DH CAD ADH AD k ∠=∠=
==． 10 【点睛】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定定理，勾股定理，一元二次方程的应用等．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，注意作辅助线时尽量不要破坏已给的角． 22．（40+40）【分析】过A 作AQ ⊥BC 于Q ∠BAQ ＝60°∠CAQ ＝45°AB ＝80海里在直角三角形ABQ 中求出AQBQ 再在直角三角形AQC 中求出CQ 再根据BC ＝CQ+BQ 即可得出答案；【详解】解：
解析：（3
【分析】
过A 作AQ ⊥BC 于Q ，∠BAQ ＝60°，∠CAQ ＝45°，AB ＝80海里，在直角三角形ABQ 中求出AQ 、BQ ，再在直角三角形AQC 中求出CQ ，再根据BC ＝CQ+BQ 即可得出答案；
【详解】
解：过A 作AQ ⊥BC 于Q ，
由题意得：AB ＝80，
在直角三角形ABQ 中，∠BAQ ＝60°，
∴∠B ＝90°﹣60°＝30°，
∴AQ ＝12AB ＝40，BQ ＝3AQ ＝403， 在直角三角形AQC 中，∠CAQ ＝45°，
∴CQ ＝AQ ＝40，
∴BC ＝BQ+CQ ＝（40+403）海里．
故答案为：（40+403）
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出CQ 和BQ 是解决问题的关键．
三、解答题 23．（1）8cm ；（2）存在，t=4；（3）不变化，16cm 2．
【分析】
（1）由题意得出OP=8-t ，OQ=t ，则可得出答案；
（2）如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．设线段BD 的长为x ，则BD=OD=x ，22，PD=8-t-x ，得出PD BD OP OQ =，则 88t x x t t
--=-，解出2
88
t t x -=．由二次函数的性质可得出答案； （3）证明△PCQ 是等腰直角三角形．则
21122122224
PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆=
⋅=⨯⋅=．在Rt △POQ 中，PQ 2=OP 2+OQ 2=（8-t ）2+t 2．由四边形OPCQ 的面积S=S △POQ +S △PCQ 可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意可得，OP=8-t ，OQ=t ，
∴OP+OQ=8-t+t=8（cm ）．
（2）当t=4时，线段OB 的长度最大．
如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．
∵OT 平分∠MON ，
∴∠BOD=∠OBD=45°，
∴BD=OD ，2．
设线段BD 的长为x ，则BD=OD=x ，22，PD=8-t-x ，
∵BD ∥OQ ， ∴PD BD OP OQ
=， ∴88t x x t t
--=-， ∴288
t t x -=． ∴228224)228t t OB t -==-+ ∵二次项系数小于0．
∴当t=4时，线段OB 的长度最大，最大为2．
（3）∵∠POQ=90°，
∴PQ 是圆的直径．
∴∠PCQ=90°．
∵∠PQC=∠POC=45°，
∴△PCQ 是等腰直角三角形． ∴211221224
PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆=
⋅==． 在Rt △POQ 中，PQ 2=OP 2+OQ 2=（8-t ）2+t 2． ∴四边形OPCQ 的面积21124
POQ PCQ S S S OP OQ PQ ∆∆=+=⋅+ 2211(8)(8)24
t t t t ⎡⎤=-+-+⎣⎦ 221141641622
t t t t =-++-=． ∴四边形OPCQ 的面积不变化，为16cm 2．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）
154 【分析】
（1）连接OE ，根据等腰三角形性质求出BD AC ⊥，推出ABE DBE ∠∠=和OBE OEB ∠=∠，得出OEB DBE ∠=∠，推出//OE BD ，得出OE AC ⊥，根据切线的判定定理即可得出结果；
（2）根据3sin 5
C =，求出10AB BC ==，设O 的半径为r ，则10AO r =-，得出10610
r r -=，即可得出； 【详解】
（1）证明：连接OE ，
∵AB BC =且D 是AC 中点，
∴BD AC ⊥，
∵BE 平分ABD ∠，∴ABE DBE ∠∠=，
∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，
∴OEB DBE ∠=∠，
∴//OE BD ，
∵BD AC ⊥，
∴OE AC ⊥，
∵OE 为O 半径，
∴AC 与O 相切．
（2）解：∵6BD =，3sin 5
C =，B
D AC ⊥， ∴10BC =，∴10AB BC ==，
设O 的半径为r ，则10AO r =-，
∵//OE BD ，∴
AOE ABD ∽ ∴OE AO BD AB
=，∴10610r r -= ∴154
r =， 答：⊙O 的半径是
154．
【点睛】
本题主要考查了切线的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
25．（1）(18)x -，2(18)x π-；（2）2=236(018)S x x x ππ-+<<；（3）9x =；（4）(962+，(962-
【分析】
（1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可．
（2）根据圆柱的侧面积公式求解即可．
（3）利用二次函数的性质求解即可．
（4）构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）BC=12
（36-2x ）=（18-x ）cm ， 旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18-x ）cm ．
故答案为：(18)x -，2(18)x π-；
（2）22(18)236(018)S x x x x x πππ=-⋅=-+<<
（3）222362(9)162S x x x ππππ=-+=--+
∵-2π＜0，
∴当9x =时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大：
（4）由题意：-2πx 2+36πx=18π，
∴x 2-18x+9=0，
解得22
∴矩形的长是（2cm ，宽是（2cm ． 故答案为：(962+，(962-．
【点睛】
本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．（1）2
22y x =-+；（2）222,2C D ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3210n <≤
【分析】
（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解方程求得它们的值；
（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令0y =，则解关于x 的方程，即可求得点C 、D 的横坐标；
（3）根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为21||x x -的关系来即可求n 的取值范围；
【详解】
解：（1）抛物线2y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -，
∴20c a c =⎧⎨+=⎩
， 解得：22a c =-⎧⎨=⎩
， ∴此抛物线的解析式为222y x =-+；
（2）此抛物线平移后顶点坐标为(2,1)，
∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+，
令0y =，即22(2)10x --+=，
解得 122x =+，222
x =-， 点C 在点D 的左边，
(C ∴ 20)，(2D +，0)； （3）设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+，该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ，2x ，
整理为：220x m -=．
此时120x x +=，122m x x =-．
则21||x x n -=．
当1m =时，n =
当5m =时，n =．
所以，n n <
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．。