[k12精品]高中数学第三章三角恒等变换3.2.2两角和与差的正余弦函数教案北师大版必修4

1.2.2 两角和与差的正、余弦函数
整体设计
教学分析
本节课是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式.以两角差的余弦为基础,推导后面其他公式的过程是一个逻辑推理的过程,也是一个认识三角函数式的特征,体会三角恒等变形特点的过程,我们不仅要重视对推出的公式的理解、应用,而且还应重视推导过程的教育功能.在这些公式的推导中,教科书把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点.例如:比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦,只是角的形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,如α+β=α-(-β)的关系.又如:比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式即可建立角的正弦与余弦的联系.
通过对“两角和与差的正弦、余弦公式”的推导,揭示了两角和与差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,使学生加深了对数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容对培养学生的运算能力\,逻辑思维能力\,创新能力及发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
本节的公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领悟它们的这种联系,加深对公式的理解和记忆.本节教案设计的几个例子较课本例子要丰满广阔,主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对具体问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等,这些都是培养学生三角恒等变形能力所不能忽视的.
三维目标
1.通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正、余弦公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,并通过公式的具体运用,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题\,解决问题的能力.
2.通过本节公式的推导,不仅使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察\,分析问题的能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.而且要在推导公式的逻辑结构熏陶下,升华学生的理性思维,以数学自身的美去吸引学生,让学生更有效地抓住问题的本质,并从中获得研究方法的有益启示.
重点难点
教学重点:两角和与差的正弦、余弦公式及其推导.
教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并让一学生把公式默写在黑板上,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察思考:公式cos(α-β)中α、β既然是任意角,你能把它转化为cos(α+β)、sin(α-β)吗？由此展开一系列公式的推导及应用.
思路2.(问题引入)教师提出问题,先让学生计算以下几个题目:若
sin α=
55,α∈(0,2π),cos β=1010,β∈(0,2
π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.这样既复习回顾了上节所学公式,又为本节新课作铺垫.学生利用公式C α-β很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值却有困难了,需要想法转化为公式C α-β的形式来求,怎样转化呢？从而引出新课题,并由此展开联想,推出其他公式.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆两角差的余弦公式及推导过程,其他两角和与差的公式也用此法吗？你是否考虑过:在公式C α-β中,因为角β是任意角,所以将角α-β中β换成角-β后用诱导公式? ②观察C α+β的结构有何特征,并与公式C α-β进行比较,你有哪些发现?
③你能否利用诱导公式从余弦的两角和公式推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?并观察思考公式的结构特征与和差的余弦公式有什么不同？
活动:先让学生默写两角差的余弦公式,教师适时地打开课件,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法吗？并鼓励学生大胆猜想,引导他们比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕,这样就很自然地得到:
cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 观察以上公式的结构特征可知:两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积,同时让学生对比公式C α-β进行记忆.由上面推得两角和与差的余弦公式的方法,教师引导学生思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们自然想到利用诱导公式可以实现正
弦、余弦的互化(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化,此法让学生
在课下试一试),因此有: sin(α+β)=cos ［2
π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β. 在上述公式中β用-β代之,则有:
sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β. 根据以上探究,我们得到以下公式:
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
上述结论我们分别称之为两角和的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式、两角差的正弦公式.对以上公式教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征以便于整体记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式的变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美以及这种逻辑结构的内在魅力.这种逻辑结构的熏陶是我们中学数学的灵魂,是培养学生的理性思维的特有载体.因此要深刻理解它们之间的内在联系,并借以理解\,灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用,在例题及练习训练中要注意领悟.
讨论结果:①—③略.
应用示例
思路1
例1 已知sin α=
54,α∈(2
π,π),cos β=-135,β∈(π,23π), 求cos(α+β),cos(α-β)的值.
活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,应先求出cos α的值,才能利用公式得解.本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立探究完成,必要时给以点拨. 解:由已知sin α=
54,α∈(2π,π),得cos α=α2sin 1--=-53. 又由已知cos β=-135,β∈(π,23π),得sin β=β2
cos 1--=-13
12. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-
53)×(-135)+54×(-1312)=-6533; cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(-53)×(-135)-54×(-1312)=65
63. 点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.
变式训练
1.已知sin α=-
53,α是第四象限角,求sin(4π-α),cos(4π+α)的值. 解:由sin α=-5
3,α是第四象限角,得 cos α=α2sin 1--=2)53(1--=
54 于是有sin(
4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α =22×54-22×(-5
3)=1027; cos(
4π+α)=cos 4πcos α-sin 4
πsin α=22×54-22×(-53)=1027. 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ). A.
57 B.51 C.2
7 D.4 答案:A 例2 在△ABC 中,sinA=53(0°＜A ＜45°),cosB=13
5(45°＜B ＜90°),求sinC 与cosC 的值.
活动:本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的,同时也加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困
难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意三角形内角的范围这一暗含条件.
解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=
53且0°＜A ＜45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°＜B ＜90°,∴sinB=13
12. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］
=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =
53×135+54×1312=65
63, cosC=cos ［180°-(A+B)］
=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =
53×1312-54×135=65
16. 点评:本题是利用两角和差公式来解决三角形问题的基础性典型例子,培养了学生的应用意识,也使他们更加认识了公式的作用.
变式训练
在△ABC 中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( ).
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰非直角三角形 答案:C
思路2 1.若sin(
43π+α)=135,cos(4π-β)=43π,且0＜α＜4
π＜β＜43π,求cos(α+β)的值. 活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当地点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定角的范围,判断好准确的三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值. 解:∵0＜α＜
4
π＜β＜43π, ∴43π＜43π+α＜π,-2π＜4
π-β＜0. 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,∴cos(43π+α)=-1312,sin(4
π-β)=-54 ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4
π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β)
=
135×53-(-1312)×(-54)=-65
33. 变式训练 已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4
π)的值. 解:∵α,β∈(
43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312, ∴23π＜α+β＜2π,2π＜β-4
π＜43π. ∴cos(α+β)=
54,cos(β-4π)=-135, ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4
π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4
π) =(-135)×54+(-53)×1312=-65
56. 例2 化简α
θαθθβθββαβαsin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(-+-+-. 活动:本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地做完,然后进行讲评反思,也可以把它改编为三角证明题.
解:原式=αθαθαβθβθβθββαβαβαsin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin -+-+- =θ
βαθβαθβαθβαθβαθβαsin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin -+- αβθαβθαβθsin sin sin sin sin cos cos sin sin -+=αβθsin sin sin 0=0. 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.
变式训练
化简:)
cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+. 解:原式=
βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+-+ βαβαβαβαcos cos sin sin cos sin sin cos +-=)
cos()sin(αβαβ--==tan(β-α). 知能训练
课本练习3、4、5.
课堂小结
1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与三角等式的证明,本节公式推导的逻辑结构如何？
2.教师提纲挈领:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦公式及其推导,明白怎样从已知推得未知,理解数学当中重要的数学思想——“转化与化归”以及由逻辑结构编织的公式体系,并正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系.一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变形思路,强化数学思想方法之目的.
作业
已知0＜β＜
4π,4π＜α＜43π,cos(4
π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解:∵4
π＜α＜43π, ∴-2π＜4π-α＜0. ∴sin(4π-α)=2)5
3(1--=-54. 又0＜β＜
4π, ∴43π＜43π+β＜π,cos(43π+β)=2)13
5(1--=-1312. ∴sin(α+β)=-cos(
2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4
π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4
π-α) =-(-1312)×53-135×(-54)=6556. 设计感想
1.本节课可以说是公式推理及其应用的理性特别强的课时,是培养学生理性精神的特有载体,因此教案设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”,这个过程的重点是转化推导,它充分展示了公式推导教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题.从而使学生领会了数学当中重要的数学思想——“转化与化归”,并培养他们主动利用“转化与化归思想”探索解决数学问题.
2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量很大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导证明方法,熟练会用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律,探索推导,获取新知的方法,让他们真正尝到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.
备课资料
一、备用习题
1.计算
8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值. 2.利用和差角公式计算下列各式的值.
(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.
(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.
(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
3.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.
4.已知
2
π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值. 5.求证:cos α+3sin α=2sin(6π+α). 参考答案:
1.解:原式=
8
sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =
8
cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =3233133
130tan 45tan 130tan 45tan -=+-
=+- . 2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=2
1. (2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.
(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.
3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cos α.
4.解:∵
2
π＜β＜α＜43π, ∴0＜α-β＜4
π,π＜α+β＜23π. 又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-5
4, ∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53. ∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-65
56. 5.证明:方法一:右边=2(sin
6πcos α+cos 6πsin α) =2(2
1cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边. 方法二:左边=2(
21cos α+23sin α)
=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6
π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.
本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神
实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6
π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acos φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±
22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=2222sin ,b a b b a a
+=+ϕ,从而得到tan φ=b a ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.
二、三角函数知识歌诀
三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.
同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.
诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.
三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.
将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.
计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.
换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.
单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.
三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.。