第一章 章末复习课

章末复习课
对应学生用书P30]
对应学生用书P30]
平移反射旋转相似
变换的特点：即图形的位置、形状、大小会发生如何变化，从而解决与之相关的问题．[例1]　如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(8，8)，B(4,0)，C(12，－
4)，D(16,4)，画出它以原点O为位似中心、相似比为的位似图形，并确定其对应点的坐标．
[解]　A、B、C、D的对应点的坐标分别为A′(4,4)，B′(2,0)，C′(6，－
2)，D′(8,2)和A″(－4，－4)，B″(－2,0)，C″(－6,2)，D″(－8，－2)．
与圆有关的角的计算与证明
明通常涉及这四类角，因此圆周角定理，圆心角定理，弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．
[例2]　(1)已知⊙O是∠ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BOC＝，∠BIC＝ .
(2)如图，过点P作⊙O的割线PAB与切线PE，E为切点，连
接AE，BE，∠APE的平分线分别与AE，BE相交于点C，D.若∠AEB
＝30°，则∠PCE＝ .
[解析]　(1)如图，∵∠A＝80°，
由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOC＝2
∠A＝160°.
又∵在△ABC中，∠A＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°.
又∵∠IBC＝∠ABC，
∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×100°＝50°.
∴在△IBC中，∠BIC＝180°－50°＝130°.
(2)由圆的切割线定理可得PE2＝PB·PA⇒＝，
∴△PEB∽△PAE，
设∠PAE＝±，
则∠PEB＝±，∠PBE＝±＋30°，∠APE＝150°－2±，
∴△PCE中，∠EPC＝75°－±，∠PEC＝30°＋±，
∴∠PCE＝75°.
[答案]　(1)160°　130°　(2)75°
与圆有关的线段的计算与证明
解决与圆有关的线段的计算与证明问题时，首先考虑相交弦定理、割线定理、切割线定理和弦切角定理，从而获得成比例线段，再结合相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明，或列出方程解得线段的长．
[例3]　如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE
交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
[证明]　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE∥BC.
又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，
所以CF＝BD＝AD.
而CF∥AD，连接AF，
所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，
所以BC＝AF，
故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，
故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，
所以GB＝BD.
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.
[例4]　如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为
半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点F，连接CF并延长CF交AB于E.
(1)求证：E是AB的中点；
(2)求线段BF的长．
[解]　(1)证明：连接OD，OF，DF.
∵四边形ABCD是边长为a的正方形，
∴BC＝CD，∠EBC＝∠OCD＝90°，
∵OF＝OC，DF＝DC，OD＝OD，
∴△OFD≌△OCD，
∴∠ODC＝∠ODF，
∠ECB＝∠FDC＝∠ODC，
∴△EBC≌△OCD，
∴EB＝OC＝AB，即E是AB的中点．
(2)由BC为⊙O的直径易得BF⊥CE，
∴S△BEC＝BF·CE＝CB·BE，
∴＝，∴BF＝a.
一、选择题
1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：
①＝；②＝；
③＝；④＝.
其中，正确式子的个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个D．1个
解析：选B　由DE∥BC，EF∥AB知①②④正确，③错误．
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD
＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为(
)
A．B．
C．D．
解析：选C　
过A作AG∥DC，交EF于H，交BC于G，
设AE＝x，DF＝y，
由AB＝BG＝6，可得AE＝EH＝x.
由题意知x∶6＝y∶4.
所以2x＝3y.①又梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，
所以3＋x＋3＋x＋y＝6－x＋9＋4－y＋3＋x.
所以x＋y＝8.②由①②解得x＝，所以EF＝＋3＝.
3. 如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM
＝1.5，BM＝4，则OC＝( )
A．2 B．
C．2 D．2
解析：选D　延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4
＝3CM2，CM＝，OC＝2.
4.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC.
①若∠A＝90°，AB＋CD＝BC，则以AD为直径的圆与BC相切；
②若∠A＝90°，当以AD为直径的圆与BC相切时，则以BC为直径的圆
也与AD相切；
③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB＋CD＝BC；
④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．
以上判断正确的个数有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　(1)过AD的中点E，作EG⊥BC于点G，过E作AB的平行
线EF，则EF是梯形ABCD的中位线．
所以EF＝(AB＋CD)＝BC＝CF.
所以∠CEF＝∠ECF，
因为EF∥CD，
所以∠DCE＝∠CEF，
所以∠DCE＝∠ECF.
因为在△DCE和△GCE中，
所以△DCE≌△GCE(AAS)，
所以EG＝DE＝AD，则以AD为直径的圆与BC相切．
故命题①正确；
(2)若∠A＝90°，当以AD为直径的圆与BC相切时，设以AD为直径的圆的圆心是E，则E 是AD的中点，设圆与BC相切于点G，则连接EG，则EG⊥BC，且EG＝ED.
因为在Rt△DCE和Rt△GCE中，
所以Rt△DCE≌Rt△GCE(HL)，
所以CD＝CG，同理，BG＝AB，
所以AB＋CD＝BC，故③正确；
取BC的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，
EF＝(AB＋CD)＝BC，
又因为若∠A＝90°，则EF⊥AD，
所以以BC为直径的圆也与AD相切．故②正确；
(3)若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切，根据(2)可以得到当中位线EF是F到AD的垂线段时，以BC为直径的圆与AD相切，否则就不相切．故④错误．故正确的是①②③.故选C.
二、填空题
5.如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP
＝3，则CD＝ .
解析：因为⊙O的弦AB，CD相交于点P，所以AP·PB＝CP·PD，
因为AP＝4，BP＝6，CP＝3，
所以PD＝＝8，
所以CD＝CP＋PD＝3＋8＝11.
即CD的长是11.
答案：11
6.(天津高考)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，
且BD∥AC. 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于
点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为．
解析：因为AE是圆的切线，且AE＝6，BD＝5，由切割线定理可
得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.又由题意可得△CAF∽△CBA，所以＝，CF＝＝＝.
答案：
7.(广东高考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D
使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝ .
解析：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.又BC＝CD，所以△ABD
是等腰三角形，所以AD＝AB＝6，∠DAC＝∠BAC.因为CE切圆O
于点C，所以∠ECA＝∠ABC.又因为∠BAC＋∠ABC＝90°，所以
∠DAC＋∠ECA＝90°，故CE⊥AD.故CD2＝DE·DA＝2×6＝12，所以BC
＝CD＝2.
答案：2
8.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B C，
过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E两点．
(1)若PA＝5，则△PDE的周长为；
(2)若∠APB＝50°，则∠DOE＝ .
解析：(1)由切线长定理得DC＝DA，
EC＝EB，PA＝PB，
∴△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋PE＋CE＝PD＋DA＋PE＋EB＝PA＋PB ＝2PA＝10.
(2)连接OP.∵PA、DC均为切线，
∴∠PAO＝90°.由切线长定理得
∠APO＝∠APB＝25°，
∴∠AOP＝65°.
又C在PO上，且∠DOC＝∠AOD，
∴∠COD＝，∴∠DOE＝2∠COD＝65°.
答案：10　65°
三、解答题
9.如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A
点，BF交AD于点E，且BE·EF＝32，AD＝6.
(1)求证：AE＝BE.
(2)求DE的长．
(3)求BD的长．
解：(1)证明：连接AF，AB，AC.
因为A
所以∠ABE＝∠AFB.
又∠AFB＝∠ACB，
所以∠ABE＝∠ACB.
因为BC为直径，
所以∠BAC＝90°.因为AH⊥BC.
所以∠BAE＝∠ACB.
所以∠ABE＝∠BAE.
所以AE＝BE.
(2)设DE＝x(x>0)，由AD＝6，BE·EF＝32，
AE·EH＝BE·EF，
则(6－x)(6＋x)＝32，
解得x＝2，
即DE的长为2.
(3)由(1)，(2)知：BE＝AE＝6－2＝4，
在Rt△BDE中，BD＝＝2.
10．(辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC 垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
证明：(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，
从而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.。