2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十直线与平面垂直一新人教A版必修

课时素养评价 三十
直线与平面垂直(一)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分.共16分.多项选择题全选对的得4分.选对但不全的得2分.有选错的得0分)
1.如图.AB是☉O的直径.C是圆周上不同于A.B的任意一点.PA⊥平面ABC.则四面体P-ABC 的四个面中.直角三角形的个数有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】选A.因为AB是圆O的直径.
所以∠ACB=90°.即BC⊥AC.
三角形ABC是直角三角形.
又因为PA⊥平面ABC.
所以△PAC.△PAB是直角三角形.
且BC在这个平面内.
所以PA⊥BC.因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线.所以BC⊥平面PAC.
所以△PBC是直角三角形.
从而△PAB.△PAC.△ABC.△PBC中.直角三角形的个数是4.
2.如图.如果MC⊥菱形ABCD所在平面.那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
【解析】选C.因为四边形ABCD是菱形.
所以BD⊥AC.
又MC⊥平面ABCD.则BD⊥MC.
因为AC∩MC=C.所以BD⊥平面AMC.
又MA⊂平面AMC.所以MA⊥BD.
显然MA与BD不共面.
因此MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3.(20xx·镇江高一检测)若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等.则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等.作SO⊥底面ABCD.垂足为O.
所以∠SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角.设AB=a.则SB=a.OB=BD=.
所以cos∠SBO===.
所以∠SBO=45°.
所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45°.
4.(多选题)如图.在以下四个正方体中.直线AB与平面CDE垂直的有( )
A.①
B.②
C.③
D.④
【解析】选BD.在①中.AB与CE的夹角为45°.
所以直线AB与平面CDE不垂直.故①不符合；
在②中.AB⊥EC.AB⊥CD.所以AB⊥平面CDE.故②符合；
在③中.AB与EC的夹角为60°.所以直线AB与平面CDE不垂直.故③不符合；
在④中.AB⊥DE.AB⊥CE.所以AB⊥平面CDE.故④符合.
二、填空题(每小题4分.共8分)
5.在三棱锥P-ABC中.点O是点P在底面ABC内的射影.若点P到△ABC三边的距离相等.则点O是△ABC的________心；若PA.PB.PC与底面ABC所成的角相等.则点O是△ABC的________心.
【解析】因为点P到△ABC三边的距离相等.所以点O到△ABC三边的距离相等.所以点O是△ABC的内心；PA.PB.PC与底面ABC所成的角相等.则点O到A.B.C的距离相等.所以点O是△ABC的外心.
答案：内外
6.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内.若AC与α所成的角为30°.则斜边上的中线CM与α所成的角为________.
【解析】如图.设C在平面α内的射影为点O.
连接AO.MO.则∠CAO=30°.∠CMO就是CM与α所成的角.设AC=BC=1.则AB=.
所以CM=.CO=.所以sin∠CMO==.
所以∠CMO=45°.
答案：45°
【加练·固】
如图.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E是AD的中点.F是BB1的中点.则直线EF 与平面ABCD所成角的正切值为________.
【解析】连接EB.由BB1⊥平面ABCD.
知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中.BF=1.BE=.
则tan∠FEB=.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图.四边形ABCD与BDEF均为菱形.且FA=FC.求证AC⊥平面BDEF.
【证明】设AC与BD相交于点O.连接FO.
因为四边形ABCD为菱形.所以AC⊥BD.且O为AC的中点.又FA=FC.
所以AC⊥FO.
因为FO∩BD=O.所以AC⊥平面BDEF.
8.(14分)如图.在四面体A-BCD中.∠BDC=90°.AC=BD=2.E.F分别为AD.BC的中点.且EF=
.求证：BD⊥平面ACD.
【证明】取CD的中点为G.连接EG.FG.
又因为E.F分别为AD.BC的中点.
所以FG∥BD.EG∥AC.
因为AC=BD=2.则EG=FG=1.
因为EF=.所以EF2=EG2+FG2.
所以EG⊥FG.所以BD⊥EG.
因为∠BDC=90°.所以BD⊥CD.
又EG∩CD=G.所以BD⊥平面ACD.
(15分钟·30分)
1.(4分)(20xx·三明高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°.以下能使A1C⊥BC1的是
( )
A.AB=AC
B.AA1=AC
C.BB1=AB
1=BC
【解析】选B.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠BAC=90°.即AB⊥AC.
又AA1⊥AB.AA1∩AC=A.
所以AB⊥平面AA1C.
又A1C⊂平面AA1C.所以AB⊥A1C.
若AA1=AC.则矩形AA1C1C为正方形.
可得：A1C⊥AC1.
又AB∩AC1=A.所以A1C⊥平面ABC1.
又BC1⊂平面ABC1.所以A1C⊥BC1.
2.(4分)在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是边长为1的正方形.PA⊥平面ABCD.且PA=.则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.如图.连接AC.
因为PA⊥平面ABCD.
所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.
因为AC=.PA=.
所以tan∠PCA===.
所以∠PCA=60°.
3.(4分)如图所示.PO⊥平面ABC.BO⊥AC.在图中与AC垂直的直线有________条.
【解析】因为PO⊥平面ABC.AC⊂平面ABC.所以PO⊥AC.
又AC⊥BO.PO∩BO=O.所以AC⊥平面PBD.
所以PBD内的4条直线PB.PD.PO.BD都与AC垂直.所以图中共有4条直线与AC垂直.
答案：4
4.(4分)如图.四棱锥S-ABCD的底面为正方形.SD⊥底面ABCD.给出下列结论：①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO.正确结论的序号是________.
【解析】连接SO.如图所示.
因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形.
所以AC⊥BD.
因为SD⊥底面ABCD.所以SD⊥AC.
因为SD∩BD=D.所以AC⊥平面SBD.
因为SB⊂平面SBD.所以AC⊥SB.则①正确；
因为AB∥CD.AB⊄平面SCD.CD⊂平面SCD.
所以AB∥平面SCD.则②正确；
因为SD⊥底面ABCD.所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角.因为AD=CD.SD=SD.
所以∠SAD=∠SCD.则③正确；
因为AC⊥平面SBD.SO⊂平面SBD.
所以AC⊥SO.则④正确.
答案：①②③④
5.(14分)(20xx·衢州高一检测)如图.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥平面A
BCD.底面是棱长为1的菱形.∠ADC=60°.PA=.M是PB的中点.
(1)求证：PD∥平面ACM.
(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.
【解析】(1)连接BD.交AC于点O.连接OM.
由底面ABCD是菱形.知O是BD的中点.
又M是BP的中点.所以OM∥DP.
又OM⊂平面ACM.所以PD∥平面ACM.
(2)取AB中点E.连接ME.CE.
由题可知△ACB是等边三角形.所以CE⊥AB.
又PA⊥平面ABCD.PA⊂平面PAB.
所以平面ABCD⊥平面PAB.
又平面ABCD∩平面PAB=AB.
所以CE⊥平面PAB.
所以直线CM与平面PAB所成角为∠CME.
因为ME=PA=.CE=.
又MC==.
所以sin∠CME==.
【加练·固】
(20xx·静安高一检测)如图所示.在直角梯形ABCD中.已知BC∥AD.AB ⊥AD.BC=BA=AD=m.VA⊥平面ABCD.
(1)求证：CD⊥平面VAC.
(2)若VA=m.求CV与平面VAD所成角的大小.
【解析】(1)因为AB=BC.∠ABC=90°.
所以∠CAB=∠ACB=45°.
取AD中点G.连接CG.
因为BC∥AD.所以四边形ABCG为正方形.
所以CG=GD.∠CGD=90°.所以∠DCG=45°.所以∠DCA=90°.所以CD⊥CA.又VA⊥平面ABCD.所以CD⊥VA.因为CA∩VA=A.所以CD⊥平面VAC.
(2)连接VG.由⇒CG⊥平面VAD.
所以∠CVG是CV与平面VAD所成的角.
VC==2m；CG=m.
所以∠CVG=30°.所以CV与平面VAD所成角为30°.
1.如图所示.△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形.且
∠BAC=60°.下列说法中错误的是( )
A.AD⊥平面BDC
B.BD⊥平面ADC
C.DC⊥平面ABD
D.BC⊥平面ABD
【解析】选D.不妨设AD=BD=CD=1.
则由题意可得AB=AC=.
因为∠BAC=60°.所以BC=AB=AC=.
可得∠BDC=90°.AD⊥BD.AD⊥CD.BD∩CD=D.
可得：AD⊥平面BDC.A正确；
BD⊥AD.BD⊥CD.AD∩CD=D.
可得：BD⊥平面ADC.B正确；
CD⊥AD.CD⊥BD.AD∩BD=D.
可得：CD⊥平面ABD.C正确.
2.如图.直三棱柱ABC-A1B1C1中.AC=BC=1.∠ACB=90°.AA1=.D是A1B1的中点.
(1)求证C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当点F在BB1上的什么位置时.会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.
【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱.
所以A1C1=B1C1=1.且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点.所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1.C1D⊂平面A1B1C1.
所以AA1⊥C1D.又A1B1∩AA1=A1.
所以C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E.延长DE交BB1于F.连接C1F.则AB1⊥平面C1DF.点F为所求.
因为C1D⊥平面AA1B1B.AB1⊂平面AA1B1B.
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF.DF∩C1D=D.
所以AB1⊥平面C1DF.
因为AA1=A1B1=.所以四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点.DF⊥AB1.所以F为BB1的中点.
所以当点F为BB1的中点时.AB1⊥平面C1DF.
11 / 11。