2014高考数学一轮复习练习第十一章单元测试

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2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章计数原理、随机变量及分布列第5课时独立性及二项分布

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章计数原理、随机变量及分布列第5课时独立性及二项分布1. (选修23P 59练习2改编)省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x 饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x 饮料的概率是________．答案：0.64解析：记“第一瓶x 饮料合格”为事件A 1，“第二瓶x 饮料合格”为事件A 2，A 1与A 2是相互独立事件，“甲喝2瓶x 饮料都合格就是事件A 1、A 2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得P(A 1·A 2)＝P(A 1)·P(A 2)＝0.8×0.8＝0.64.2. (选修23P 63练习2改编)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________．答案：54125解析：本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为C 23(0.6)2·(1－0.6)＝54125.3. 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．答案：0.036解析：设甲市下雨为事件A ，乙市下雨为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.2×0.18＝0.036.4. (选修23P 63练习2改编)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．答案：49解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C 24·3！(从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C 24＝6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P(A 1)＝C 24·3！34＝49. 5. 在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中出现的概率是________．答案：13解析：设A 发生概率为P ，1－(1－P)4＝6581，P ＝13.1. 相互独立事件(1) 对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 相互独立． (2) 若A 与B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3) 若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4) 若P(AB)＝P(A)P(B)，则A 、B 相互独立． 2. 二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(X ＝k)＝C k n p k q n －k，其中k ＝0，1，2，3，…，n ，q ＝1－p.于是得到随机变量X 的概率分布如下：nn n ＋…＋C k n p q ＋…＋n q 0中的第k ＋1项(k ＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X 为二项分布，记作X ～B(n ，p)．3. “互斥”与“相互独立”的区别与联系题型1 相互独立事件例1 A 高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试．在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中．若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序．考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过．某中学学生甲参加A 高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为34，每道程序中得优、良、中的概率分别为p 1、12、p 2.(1) 求学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率；(2) 设ξ为学生甲在三道程序中获优的次数，求ξ的分布列．解：由题意，得11213,241,2p p p ìïï+=ïïíïï+=ïïïî解得p 1＝p 2＝14.(1) 设事件A 为学生甲不能通过A 高校自主招生考试，则P(A)＝14＋34×14＋34×34×14＝3764. 答：学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率为3764.(2) 由题意知：ξ＝0，1，2，3.P(ξ＝0)＝14＋12×14＋12×12×14＋12×12×12＝916，P(ξ＝2)＝14×14×14＋14×14×12＋14×12×14＋12×14×14＝764，P(ξ＝3)＝14×14×14＝164，∵i ＝03P (ξ＝i)＝1，∴P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝516. 故ξ的分布列为变式训练有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n ＝1，2，3)关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于n 2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．(1) 求仅闯过第一关的概率；(2) 记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列．解：(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P(A)＝34·616＝932.(2) 由题意得，ξ的取值有0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝14，P(ξ＝1)＝932，P(ξ＝2)＝34·1016·5464＝4051 024，P(ξ＝3)＝34·1016·1064＝751 024，即随机变量ξ的概率分布列为题型2 独立重复试验与二项分布例2 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3) 记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1) C ＝A·B ＋A ·B，P(C)＝P(A·B ＋A ·B)＝P(A·B)＋P(A ·B)＝P(A)·P(B)＋P(A －)·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2) D ＝A ·B ，P(D)＝P(A ·B)＝P(A )·P(B)＝0.5×0.4＝0.2， P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3) ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝C 13×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝C 23×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．(1) 求3个学生选择了3门不同的选修课的概率； (2) 求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；(3) 设随机变量X 为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求X 的分布列．解：(1) 3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P 1 ＝A 3443＝38.(2) 恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P 2＝C 24·C 23·A 2243＝916.(3) X ＝0，1，2，3，则有P (ξ＝ 0 ) ＝3343＝2764；P (X ＝ 1) ＝C 13·3243＝2764；P (X ＝ 2 ) ＝C 23·343＝964；P (X ＝ 3 ) ＝C 3343＝164.∴ X 的概率分布表为：题型3 独立性及二项分布的应用例3 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．(1) 求一次抽奖中奖的概率；(2) 若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X(元)的概率分布．解：(1) 设“一次抽奖中奖”为事件A ，则P(A)＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝1620＝45. 答：一次抽奖中奖的概率为45.(2) X 可取0，10，20，P(X ＝0)＝(0.2)2＝0.04，P(X ＝10)＝C 12×0.8×0.2＝0.32，P(X ＝20)＝(0.8)2＝0.64. X 的概率分布列为备选变式（教师专享）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、a 、a(0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1) 求ξ的分布列及数学期望；(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0、1、2、3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．解：(1) P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝C 01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 02(1－a)2＝12(1－a)2；P(ξ＝1)＝C 11·12C 02(1－a)2＋C 01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 12a(1－a)＝12(1－a 2)；P(ξ＝2)＝C 11·12C 12a(1－a)＋C 01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 22a 2＝12(2a －a 2)； P(ξ＝3)＝C 11·12C 22a 2＝a22.所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12.(2) P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)；P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2；P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由2(1)0,120,21202a a a a ìïïï- ïïïï-ï³íïïïï-ï³ïïïî和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.1. (2013·福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率．解：由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“X＝5”，∵ P(X ＝5)＝23×25＝415，∴ P(A)＝1－P(X ＝5)＝1115.∴ 这两人的累计得分X≤3的概率为1115.2. (2013·山东理)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1) 分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2) 若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列．解：(1) 记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P(A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P(A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是827、827、427；(2) 设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得 P(X ＝0)＝P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1627，P(X ＝1)＝P(A 3)＝427，P(X ＝2)＝P(A 4)＝427，P(X ＝3)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝327.故X 的分布列为3. (2013·陕西理)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．解：(1) 设事件A 表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手．观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙未选中3号歌手的概率为1－35.所以P(A)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝415.因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为415.(2) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X 可取0，1，2，3. 观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙选中3号歌手的概率为35.当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X ＝0，P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝475.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X ＝1，P(X ＝1)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·35·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35·35＝8＋6＋675＝2075. 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X ＝2，P(X ＝2)＝23·35·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·35·35＋23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35·35＝12＋9＋1275＝3375. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X ＝3，P(X ＝3)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1875.X 的分布列如下表：4. (2013·南京市、盐城市一模)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1) 若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2) 计划在2013年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E(ξ)≥5，求P 2的取值范围．解：(1) 可得P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12×23×13(C 12×12×12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＝13.(2) 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12×23×13[C 12×P 2×(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23P 22＝89P 2－49P 22，而ξ～B(12，P)，所以E(ξ)＝12P ，由E(ξ)≥5，知(89P 2－49P 22)×12≥5，解得34≤P 2≤1.1. 为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．(1) 求4人恰好选择了同一家公园的概率；(2) 设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列．解：(1) 设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A.每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况．事件A 所包含的等可能事件的个数为3，∴ P(A)＝334＝127.即4人恰好选择了同一家公园的概率为127.(2) 设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则P(C)＝13.4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布．X 可取的值为0，1，2，3，4.P(X ＝i)＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ， i ＝0，1，2，3，4. X 的分布列为：2. 甲、乙两支足球队鏖战90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局，现决定各派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5.(1) 不考虑乙队，求甲队仅有3名队员点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率； (2) 求甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．解：(1) 甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有A 23种，故所求的概率为P 1＝A 23×0.53×(1－0.5)2＝316.(2) 再次出现平局包括0∶0，1∶1，…，5∶5等6种可能性，故其概率为P 2＝[C 05×0.50×(1－0.5)5]2＋[C 15×0.51×(1－0.5)4]2＋…＋[C 55×0.55×(1－0.5)0]2＝36256. 3. 有一批数量很大的环形灯管，其次品率为20%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查中止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过5次．求抽查次数ξ的分布列．解：抽查次数ξ取1～5的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率为0.2，取出正品的概率为0.8，前(k －1)次取出正品而第k 次(k ＝1，2，3，4)取出次品的概率：P(ξ＝k)＝0.8k －1×0.2，k ＝1，2，3，4.P(ξ＝5)＝0.84×0.2＋0.85＝0.4096. 所以ξ的概率分布列为：4. 电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为12、13、14，记该参加者闯三关所得总分为ξ.(1) 求该参加者有资格闯第三关的概率； (2) 求ξ的分布列和数学期望．解：(1) 设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为p 1＝12，p 2＝13，p 3＝14，该参加者有资格闯第三关为事件A.则P(A)＝p 1(1－p 2)＋(1－p 1)p 2＋p 1p 2＝23.(2) 由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10， P(ξ＝0)＝(1－p 1)(1－p 2)＝13，P(ξ＝3)＝p 1(1－p 2)(1－p 3)＋(1－p 1)p 2(1－p 3)＝14＋18＝38，P(ξ＝6)＝p 1p 2(1－p 3)＝18，P(ξ＝7)＝p 1(1－p 2)p 3＋(1－p 1)p 2p 3＝112＋124＝18，P(ξ＝10)＝p 1p 2p 3＝124，∴ ξ的分布列为事件的独立性中的注意问题： (1) 事件A 与B 独立是相互的，表明事件A(事件B)的发生对事件B(事件A)的发生没有产生影响．(2) 若事件A 、B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也是相互独立的．(3) 两个事件的独立性可以推广到n(n>2)个事件的独立性，且若事件A 1、A 2、…、A n相互独立，则这n 个事件同时发生的概率P(A 1A 2…A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )．(4) 注意辨别两个事件互斥与两个事件独立的区别．请使用课时训练（A ）第5课时（见活页）.第11 页共11 页。

2014高考数学一轮复习11.4数学归纳法配套训练理新人教A版

第4讲数学归纳法基础巩固1.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式( )A.1+<2B.1++<2C.1++<3D.1+++<3【答案】B【解析】∵n∈N*,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为=.故选B.2.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立【答案】B【解析】若n=2时,p(n)成立,则n=4,6,8,…,时p(n)成立.3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= 2n×1×3×…×(2n-1)时,从“k到k+1”,左边需增乘的代数式是( ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D.【答案】C【解析】当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1).故增乘的代数式应为2(2k+1).4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【答案】C【解析】“若n=5时命题不成立,则n=4时命题也不成立”的逆否命题为“若n=4时命题成立,则n=5时命题也成立”.而它的逆否命题为真命题.故结合题意可知应选C.5.已知f(n)=+++…+,则( )A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++【答案】D【解析】总项数为n2-n+1.6.若k棱柱过侧棱有f(k)个对角面,则k+1棱柱过侧棱的对角面的个数f(k+1)为( )A.f(k)+k-1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.f(k)+k-2【答案】A【解析】∵由k棱柱到k+1棱柱,底面对角线增加了k-2+1=k-1条,∴增加了k-1个对角面.7.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)【答案】D【解析】(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36,这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,3(2+7n)能被9整除对任何k∈N*都成立.8.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有:(S n-1)2=a n S n.通过计算S1, S2,S3,猜想S n= .【答案】【解析】由(S1-1)2=,得S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.猜想:S n=.9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示).【答案】5 (n+1)(n-2)【解析】结合题意分析可知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.由于f(3)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n-2).故f(n)=(n+1)(n-2).10.是否存在常数a,b使等式++…+=对于一切n∈N*都成立.【解】若存在常数a,b使等式成立,将n=1,n=2代入上式,有即有++…+=.对于n为所有正整数是否成立,再用数学归纳法证明.证明:(1)当n=1时,左边==,右边==,此时等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时成立,即++…+=,则当n=k+1时,++…++=+=·=·=·==,这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N*都成立.11.已知函数f(x)=x3-x,数列{a n}满足条件:a1≥1,a n+1≥f'(a n+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.【解】∵f'(x)=x2-1,a n+1≥f'(a n+1),∴a n+1≥(a n+1)2-1.∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[-1,+∞)上单调递增,∴由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1.由此猜想:a n≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即a k≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[-1,+∞)上单调递增知a k+1≥(a k+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由①②知对任意n∈N*,都有a n≥2n-1.即1+a n≥2n.因此.故+++…++++…+=1-<1.12.已知数列{a n},其中a2=6且=n.(1)求a1,a3,a4;(2)求数列{a n}的通项公式.【解】(1)∵a2=6,∴=1,=2,=3,解得a1=1,a3=15,a4=28.(2)由上面的a1,a2,a3,a4的值可以猜想a n=n(2n-1).下面用数学归纳法加以证明:①当n=1时,a1=1×(2-1)=1,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论正确,即a k=k(2k-1),则当n=k+1时,有=k,于是(k-1)a k+1= (k+1)a k-(k+1)=(k+1)·k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-1≠0).因此a k+1=(k+1)[2(k+1)-1],即当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,数列{a n}的通项公式a n=n(2n-1).拓展延伸13.(2012·天津卷,18)已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)记T n=a n b1+a n-1b2+…+a1b n,n∈N*,证明T n+12=-2a n+10b n(n∈N*).【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得故a n=3n-1,b n=2n,n∈N*.(2)证法一:由(1)得T n=2a n+22a n-1+23a n-2+…+2n a1,①2T n=22a n+23a n-1+…+2n a2+2n+1a1.②由②-①,得T n=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10.而-2a n+10b n-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,故T n+12=-2a n+10b n,n∈N*.证法二(数学归纳法):①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,此时等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即T k+12=-2a k+10b k,则当n=k+1时有:T k+1=a k+1b1+a k b2+a k-1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q(a k b1+a k-1b2+…+a1b k)=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q(-2a k+10b k-12)=2a k+1-4(a k+1-3)+10b k+1-24=-2a k+1+10b k+1-12,即T k+1+12=-2a k+1+10b k+1,因此n=k+1时等式也成立.由①和②可知对任意n∈N*,T n+12=-2a n+10b n成立.。

2014届高考数学(文)一轮复习单元测试第十一章算法框图及推理与证明(配最新高考+模拟)

2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第十一章算法框图及推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．下面进位制之间转化错误的是( )A ．101(2)＝5(10)B ．27(8)＝212(3)C ．119(10)＝315(6)D ．31(4)＝62(2)2．, 当输入x 为60时, 输出y 的值为（） A ．25 B ．30 C ．31 D ．61 3、（福建省福州市2013届高三上学期期末）若运行如图所示的程序，则输出S 的值是 A ．20122011B ．20112012C ．20122013D ．201320124．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则有(x ＋y )n ＝x n ＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) 5、（安徽省怀远县2013届高三高考押题卷（一））,8,,a a t t ===+=均为正实数，类比上述等式，推测a ，t 的值，则a+t ＝（）；A 、 71B 、72C 、73D 、746 ．（2013年高考辽宁卷（文8））执行如图所示的程序框图,若输入8,n S ==则输出的（） A ．49B ．67C ．89D ．10117、（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（文）试题）已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分,则()f n =（）.A 、2n n + B 、2n n - C 、2n n +＋2 D 、2n n -＋28、（2013年高考江西卷（文7））阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是（） A ．S<8 B ．S<9 C ．S<10 D ．S<119、下列几种推理过程是演绎推理的是（） A 、由圆的性质类比出球的有关性质B 、由平行四边形、矩形、菱形、正方形的内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°C 、因为当a ＞1时，对数函数log a y x =在(0)+，∞上是增函数，所以，2log y x =在(0)+，∞上是增函数D 、“若b a b a R b a =⇒=-∈0，则、”可以推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、” 10、【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟】按如图所示的程序框图运行后，若输出的结果是63，则判断框的整数M 的值是（）A ．5B ．6C ．7D ．811．【北京市西城区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中① 处可以填入（（A ）2k <（B ）3k <（C ）4k <（D ）5k <12．(山东省日照市2013年3月高三第一次模拟理)记123,1,2,3,k k k k k S n k =+++⋅⋅⋅+=当…时，观察下列等式：2321211111,22326S n n S n n n =+=++， 432543*********,,42452330S n n n S n n n n =++=++-6542515,212S An n n Bn =+++⋅⋅⋅，可以推测，A B -=_______.A 、12B 、13C 、14D 、15二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．（2013年高考浙江卷（文14））某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于_________.14．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为 .15．【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月数学文】观察下列式子：2222221311511171,1,1234223234+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为 16．在平面中ABC ∆的角C 的内角平分线CE 分∆ABC 面积所成的比AEC BEC S ACS BC∆∆=, 将这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD -中，平面DEC 平分二面角A CD B --且与AB 交于E , 则类比的结论为______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x 吨收取的污水处理费y 元，运行程序如图5所示：（Ⅰ）写出y 与x 的函数关系；（Ⅱ）求排放污水150吨的污水处理费用．18、观察下列三角形数表：第一行 1 第二行 2 2 第三行 3 4 3 第四行 4 7 7 4 第五行 5 11 14 11 5………………………………………….假设第n 行的第二个数为),2(*∈≥N n n a n .（1）依次写出第八行的所有8个数字；（2）归纳出1+n a 的关系式，并求出n a 的通项公式.19．（2012福建文）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

人教版高考数学一轮复习第十一章课时规范练64 离散型随机变量的分布列、均值与方差(含答案)

课时规范练64离散型随机变量的分布列、均值与方差基础巩固组1.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为()A.5B.2C.3D.42.设随机变量X的分布列如下表,则P(|X-2|=1)=()A.712B.12C.512D.163.设随机变量X的分布列如下表,则方差D(X)=()A.0B.1C.2D.34.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又X的均值为E(X)=3,则a+b=()A.110B.0 C.-110D.155.已知随机变量X的分布列如下表,若E(X)=1,则D(X)=()A.0.1B.0.2C.0.4D.0.66.(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k5)=ak(k=1,2,3,4,5),则()A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P (ξ=1)=0.37.已知随机变量ξ的分布列如下表,则x= .8.已知X 的分布列如下表,设Y=2X+1,则Y 的均值E (Y )的值是 .综合提升组9.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p (0<p<1),发球次数为X ,若X 的均值E (X )>1.75,则p 的取值范围为( ) A.(0,12) B.(0,712) C.(12,1)D.(712,1)10.(多选)(2022山东第二次学业质量检测)已知m ,n 均为正数,随机变量X 的分布列如下表,则下列结论一定成立的是( ) A.P (X=1)<P (X ≠1) B.E (X )=1 C.mn ≤18D.D (X+1)<111.(多选)袋内有形状、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则下列说法正确的是( ) A.抽取2次后停止取球的概率为35B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为910 C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为92012.(多选)已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是则当p在(0,1)内增大时,下列选项中正确的是()A.E(ξ)=E(η)B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大D.D(η)先增大后减小13.已知随机变量X的分布列为已知a>0,b>0,当D(X)最大时,E(X)=.14.对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则一直检测到3次为止,设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2,则检测2次停止的概率为;设检测次数为X,则X的均值为.15.(2022浙江,15)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.16.已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X).创新应用组17.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元;乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司送餐员的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和均值E(X);②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日平均工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.课时规范练64 离散型随机变量的分布列、均值与方差1.D 解析:由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,ξ的最大值为4,故选D .2.C 解析:由16+14+m+13=1,得m=14,所以P (|X-2|=1)=P (X=1)+P (X=3)=16+14=512. 3.B 解析:由题得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,则E (X )=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E (X 2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=5-4=1,故选B . 4.A 解析:依题意可得X 的分布列为依题意得,{a +b +2a +b +3a +b +4a +b =1,(a +b )+2(2a +b )+3(3a +b )+4(4a +b )=3,解得a=110,b=0,故a+b=110.故选A .5.C 解析:由分布列的性质,可得0.2+a+b=1,解得a+b=0.8. ① ∵E (X )=1,∴0×0.2+1×a+2×b=1,即a+2b=1, ②联立①②,解得a=0.6,b=0.2.D (X )=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4. 故选C .6.ABC 解析:随机变量ξ的分布列为P (ξ=k5)=ak (k=1,2,3,4,5),P ξ=15+P ξ=25+P ξ=35+P ξ=45+P (ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=115,故A 正确;P (0.5<ξ<0.8)=P (ξ=35)=3×115=0.2,故B 正确;P (0.1<ξ<0.5)=P (ξ=15)+P (ξ=25)=115+2×115=0.2,故C 正确;P (ξ=1)=5×115=13≠0.3,故D 错误.故选ABC .7.12 解析:由题得,x 2+x+14=1,化简得x+32x-12=0,解得x=12或x=-32.因为0≤x ≤1,所以x=12.8.23解析:由题得12+16+a=1,解得a=13. E (X )=-12+13=-16.∵Y=2X+1,∴E (Y )=2E (X )+1,∴E (Y )=23.9.A 解析:由题可知P (X=1)=p ,P (X=2)=(1-p )p ,P (X=3)=(1-p )2p+(1-p )3=(1-p )2,则E (X )=P (X=1)+2P (X=2)+3P (X=3)=p+2(1-p )p+3(1-p )2>1.75,解得p>52或p<12,由p ∈(0,1),可得p ∈(0,12).故选A .10.BCD 解析:由分布列的性质,得m+n+m=2m+n=1,P (X=1)=n ,P (X ≠1)=2m.当m=14,n=12时,P (X=1)=P (X ≠1),故选项A 错误;因为E (X )=n+2m=1,故选项B 正确;因为m ,n 均为正数,所以1=n+2m ≥2√2mn ,即mn ≤18,当且仅当n=2m=12时,等号成立,故选项C 正确;由n=1-2m>0,得0<m<12.又E (X )=1,所以D (X+1)=D (X )=2m<1,故选项D 正确.故选BCD .11.BD 解析:由题意可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P (ξ=1)=35,P (ξ=2)=25×34=310,P (ξ=3)=25×14=110.对于A 选项,抽取2次后停止取球的概率为P (ξ=2)=310,A 选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P (ξ=1)+P (ξ=2)=35+310=910,B 选项正确;对于C 选项,取球次数ξ的均值为E (ξ)=1×35+2×310+3×110=32,C 选项错误;对于D 选项,取球次数ξ的方差为D (ξ)=(1-32)2×35+(2-32)2×310+(3-32)2×110=920,D 选项正确.故选BD .12.BC 解析:对于A,∵η=ξ+2,∴E (η)=E (ξ)+2,故A 错误;对于B,∵η=ξ+2,∴D (ξ)=D (η),故B 正确;对于C,∵E (ξ)=-12+12p ,∴当p 在(0,1)内增大时,E (ξ)增大,故C 正确;对于D,∵E (η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D (η)=-12−p22×12+12−p 22×1-p 2+32−p 22×p 2=-14(p-2)2+54,故当p在(0,1)内增大时,D (η)单调递增,故D 错误.故选BC .13.54 解析:由题知b=1-3a ,E (X )=2a+2(1-3a )=2-4a ,则D (X )=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a )2·(1-3a )=-16a 2+6a.故当a=316时,D (X )最大,此时E (X )=54.14.0.16 2.44 解析:检测2次停止的概率为(1-0.2)×0.2=0.16.检测次数X 可取1,2,3,P (X=1)=0.2,P (X=2)=0.8×0.2=0.16,P (X=3)=0.8×0.8×0.8+0.8×0.8×0.2=0.64,则E (X )=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.15.1635 127解析:P (ξ=2)=C 21C 42+C 41C 73=1635,ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P (ξ=1)=C 62C 73=1535,P (ξ=2)=1635, P (ξ=3)=C 32C 73=335,P (ξ=4)=C 22C 73=135, 故E (ξ)=1×1535+2×1635+3×335+4×135=127. 16.解(1)从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件A ,则事件A 包含事件“3个球中有2个红球”和事件“3个球中有2个黄球”, 由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得P (A )=C 32C 31+C 22C 41C 63=1320.故取出的2个球颜色相同的概率为1320.(2)盒中逐一取球,取后立即放回,每次取到黄球的概率为13,记“取4次恰有3次黄球”为事件B ,则P (B )=C 43×(13)3×(1-13)=881.故取4次恰有3次黄球的概率为881. (3)X 的可能取值为2,3,4,5,6, 则P (X=2)=A 22A 62=115,P (X=3)=C 21C 41A 22A 63=215, P (X=4)=C 21C 42A 33A 64=15,P (X=5)=C 21C 43A 44A 65=415,P (X=6)=C 21A 55A 66=13,所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的均值为E (X )=2×115+3×215+4×15+5×415+6×13=143. 17.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ,则P (M )=C 253C 503=23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ,当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254.所以X 的可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为所以E (X )=228×110+234×15+240×15+247×25+254×110=241.8.②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为80+4×39.7=238.8元. 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元. 因为238.8<241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.。

年高考数学一轮复习单元能力测试卷1112

第十一、十二章单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．2009年8月，“莫拉克”强台风给我国台湾地区带来了半个世纪以来最严重的洪水灾害．为有效地帮助台湾灾民消除灾后恐惧心理，某心理咨询中心拟从4名男咨询师和3名女咨询师中选派3名赴台湾救灾，则所选派的咨询师中既有男性又有女性的方法共有( )A ．180种B ．35种C ．31种D ．30种答案 D2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为( )A ．1B ．(C 101)2C ．C 201D ．C 2010答案 D解析因为(1＋x )10(1＋1x )10＝[(1＋x )(1＋1x )]10＝(2＋x ＋1x)10＝(x ＋1x)20(x >0)，所以T r ＋1＝C 20r (x )20－r (1x)r ＝C 20r x10－r，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝C 2010，选D.3．已知盒子中有散落的围棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.1735B.17C.16105D.3435答案 A解析所求概率为C 62＋C 92C 152＝1735.4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A.24 C ．16D ．12答案 C解析依题意可知，二年级的女生数为2000×0.19＝380人，那么三年级的学生人数是2000－373－377－380－370＝500.经计算可得总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.5．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小王的同事中，给其发短信问侯的概率为1,0.8,0.5,0的人数分别为8,15,14,3(人)，今年五一节时，通常情况下，小王应收到同事问侯的短信条数为( )A ．8B ．27C ．37D ．38答案 B解析 E ξ＝8＋0.8×15＋0.5×14＋0×3＝27.6．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E ξ的值为( )A ．4B ．5C ．4.5D ．475 答案 C解析 ξ＝3,4,5.P (ξ＝3)＝1C 53＝110，P (ξ＝4)＝C 32C 53＝310，P (ξ＝5)＝C 42C 53＝610.∴E ξ＝3×110＋4×310＋5×610＝4510＝4.5.7．某市2010年有40000人参加高中毕业会考，从中随机抽取100名考生的数学试卷进行分析，其成绩统计的直方图如下：该市优秀(80分及80分以上)学生人数大致是( )A ．900B ．9000C ．11000D ．12000答案 B解析因组距是10，则优秀(80分及80分以上)学生的概率是0.015×10＋0.0075×10＝0.225，则该市优秀学生人数大致是0.225×40000＝9000.8．同时抛掷4枚均匀的硬币80次．设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是( )A ．5B ．10C ．15D ．20答案 B解析 ξ～B (80，18)，E ξ＝80×18＝10.9．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115D.118 答案 B解析将一个骰子连抛三次，共有n ＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d ＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d ＝0的有6种，共有m ＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P ＝m n ＝1863＝112.10．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如下表：则第6A ．0.14 B ．14 C ．0.15 D ．15答案 C解析运用频率、频数的定义，注意其区别以及频率范围，易知频数为15，则频率为0.15，故选C.11．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，记Φ(x )＝P (ξ<x )，则下列结论不正确的是( )A ．Φ(0)＝12B ．Φ(x )＝1－Φ(－x )C ．P (|ξ|<α)＝2Φ(α)－1(α>0)D ．P (|ξ|>α)＝1－Φ(α)(α>0) 答案 D解析因为正态分布N (0,1)关于y 轴对称，所以A 、B 、C 正确．12．已知某一随机变量ξ的分布列如下，且E ξ＝6.3，则a 的值为( )A.5 C ．7 D ．8答案 C解析由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，且E ξ＝4×0.5＋0.1a ＋9b ＝6.3，因此b ＝0.4，a ＝7，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．答案 90解析小明和小勇都有C 52种选购方法，根据乘法原理，选购方法总数是C 52C 52＝100种．选购的两本读物都相同的方法数是C 52＝10种．故所求的选法种数为100－10＝90.14．2012年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．答案 14解析 P ＝C 71×C 63·C 33A 22C 93·C 63·C 33A 33＝21C 93＝1415．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E ξ＝________.答案 1解析由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 32C 42＝12，P (ξ＝2)＝C 31C 42＝12，故E ξ＝0×12＋2×12＝1.16．设p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布为：则E ξ的最大值为答案 321解析由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得p ∈[0，12]，期望值E ξ＝0×(12－p )＋1×p＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E ξ最大值＝32；方差D ξ＝(0－p －1)2×(12－p )＋(1－p －1)2×p ＋(2－p －1)2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，当且仅当p ＝0时，D ξ最大值＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)见如下表格，回答表格下面的问题：(1)完成上表；(2)根据上表，画出频率分布直方图；(3)据上表和图估计，数据在168.5～176.5范围内的概率是多少？解析 (1)(2)频率分布直方图如下：(3)P (168.5<ξ<176.5)＝0.518．(本小题满分12分)某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布，观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择，只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12，13.你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由．解析设甲先答A 、B 所获奖金分别为ξ、η元，则有P (ξ＝0)＝1－12＝12，P (ξ＝a )＝12(1－13)＝13， P (ξ＝3a )＝12×13＝16.P (η＝0)＝1－13＝23， P (η＝2a )＝13(1－12)＝16，P (η＝3a )＝13×12＝16.所以E ξ＝0×12＋a ×13＋3a ×16＝5a6；E η＝0×23＋2a ×16＋3a ×16＝5a6.由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样．19．(本小题满分12分)为备战2012年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率．解析以该选手射击的频率近似估算概率． (1)射击一次击中8环以上的概率约为P ＝20＋35＋25100＝0.8.(2)记一次射击命中10环为事件P 1，则P 1＝0.2，一次射击命中9环为事件P 2，则P 2＝0.35，于是两次射击均命中10环的概率约为P (A )＝(P 1)2＝0.04，两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为P (B )＝C 21P 1P 2＝0.14，即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.20．(本小题满分12分)在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率．解析视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由独立重复试验的概率计算公式得： (1)恰有两道题答对的概率为P 4(2)＝C 42(14)2(34)2＝27128. (2)法一：至少有一道题答对的概率为 1－P 4(0)＝1－C 40(14)0(34)4＝1－81256＝175256.法二：至少有一道题答对的概率为C 41(14)(34)3＋C 42(14)2(34)2＋C 43(14)3(34)＋C 44(14)4(34)0＝108256＋54256＋12256＋1256＝175256. 21．(本小题满分12分)(2010·天津卷，理)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解析 (1)设X 为射手在5次射击击中目标的次数，则X ～B (5，23)，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 52×(23)2×(1－23)3＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2＋(23)3＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝(13)3＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝(23)3＝827.所以ξ的分布列是22.(本小题满分12(同时进行)比赛，名额分配如下：(1) (2)从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率； (3)如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛(假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记观看足球比赛的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析 (1)设“从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛”为事件A .则P (A )＝C 102＋C 62＋C 42C 202＝3395.即从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是3395.(2)解法一设“所选的3名学生均没有观看足球比赛”为事件B .则P (B )＝C 103C 203＝219，所以P (B )＝1－P (B )＝1719.即从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率为1719.解法二设“从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛”为事件C .则P (C )＝C 101·C 102＋C 102·C 101＋C 103C 203＝1719.(3)解法一 ξ的可能取值为0,1,2,3,4. 由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为13.所以P (ξ＝0)＝C 40(13)0(23)4＝1681；P (ξ＝1)＝C 41(13)1(23)3＝3281； P (ξ＝2)＝C 42(13)2(23)2＝2481＝827； P (ξ＝3)＝C 43(13)3(23)1＝881；P (ξ＝4)＝C 44(13)4(23)0＝181.随机变量ξ的分布列为：所以E ξ＝0×1681＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.解法二由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为13.则随机变量ξ～B (4，13)．所以随机变量ξ的分布列为：所以E ξ＝np ＝4×3＝3.。

2014高考数学总复习(人教新课标理科)单元测试：第11章算法框图及推理与证明含解析

第十一章单元测试一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A．2 010 B．－1C.错误!D．2答案D解析由题可知执行如图的程序框图可知S＝－1，错误!，2，－1,错误!，2,…所以当k＝2 009时S＝2，当k＝2 010时输出S＝2，故选D.2．（2012·安徽)如下图所示，程序框图(算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4C．5 D．6答案B解析第一步:x＝2，y＝2，第二步：x＝4，y＝3,第三步：x＝8,y ＝4，此时x≤4不成立,所以输出y＝4.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列｛a n｝，若a3＝8,且a1,a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A．13，12 B．13，13C．12，13 D．13,14答案B解析因为10个样本数据组成一组公差不为0的等差数列｛a n}且a3＝8，a1，a3，a7成等比数列，设公差为d.∴a1＝a3－2d,a7＝a3＋4d,∴a错误!＝(a3－2d)(a3＋4d)即64＝（8－2d）(8＋4d），∴d＝2.∴a1＝4，a2＝6，a3＝8，a4＝10,a5＝12，a6＝14，a7＝16,a8＝18，a9＝20，a10＝22.故平均数错误!＝错误!(a1＋a2＋…＋a10）＝13.中位数为13。

4．(2012·湖北文)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表:( A．0。

35 B．0。

45C．0.55 D．0.65答案B解析求出样本数据落在区间[10,40)中的频数，再除以样本容量得频率．求得该频数为2＋3＋4＝9,样本容量是20,所以频率为9 20＝0。

455．某学校在校学生2 000人，为了迎接“2013年天津东亚运动",学校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表:其中ab:c＝错误!。

高考数学一轮复习第11章第3讲二项式定理训练含解析

第十一章第3讲[A 级根底达标]1．⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含x 32 项的系数为30，那么a 等于( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【答案】D2．(4x －2－x )6(x ∈R )的展开式中，常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20【答案】C3．(x 2＋x )5(x 2－2x ＋1)10的展开式中，含x 7项的系数为( ) A ．100 B ．300 C ．500 D ．110【答案】A4．(2022年重庆模拟)假设(a －3x )⎝⎛⎭⎫x －12x 10的展开式中含x 12 项的系数为－30，那么实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】A5．(2022年河北月考)将二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式各项重新排列，那么其中无理项互不相邻的概率是( )A ．27B ．37C ．835D ．724【答案】A【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式通项为：T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 6x 6－32 r ，知当r ＝0,2,4,6时为有理项，那么二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式中有4项有理项，3项无理项，所以根本领件总数为A 77，无理项互不相邻有A 44A 35，所以所求概率p ＝A 44A 35A 77＝27.6．(2022年黄冈模拟)⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，那么由曲线y ＝x 13 和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53C ．1D ．1312【答案】A【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项为第4项且第4项为T 4＝C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫a 2x 3，因为系数为20，所以C 36·⎝⎛⎭⎫a 23＝20，解得a ＝2.由x 13 ＝x 2得x ＝0或x ＝1，所以封闭图形的面积为⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 13 －x 2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫34 13 －13x 310＝512. 7．(2022年湖南省雅礼中学月考)如果⎝⎛⎭⎫x 3－1x n ()n ∈N *的展开式中存在正的常数项，那么n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．28【答案】C【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x n (n ∈N *)的展开式通项为T k ＋1＝C k n x 3(n －k )⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k nx 3n －4k ，令3n －4k ＝0，那么n k ＝43，由于展开式中存在正的常数项，那么k 为偶数，设k ＝6t (t ∈N *)，所以n ＝8t ，当t ＝1时，n 取最小值8.8．(2022年河北衡水月考)在(x 3－1)⎝⎛⎭⎫1x －x 8的展开式中，含1x 2项的系数等于( ) A ．98 B ．42 C ．－98 D ．－42 【答案】D【解析】⎝⎛⎭⎫1x －x 8二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫1x 8－r (－x )r ＝(－1)r C r 8x 3r 2 －8，令3r 2－8＝－5，得r ＝2，那么含x －5项的系数为C 28，令3r 2－8＝－2，得r ＝4，那么含x －2项的系数为C 48，故含1x2项的系数等于C 28－C 48＝－42.9．(2022年湖南模拟)假设⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项为________．【答案】60【解析】依题意，⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.所以二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6(2x 2)6－k ·(－x －1)k ＝(－1)k ·26－k ·C k 6·x 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为22×C 46＝6010．(2022年新课标Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________(用数字作答)．【答案】240【解析】因为⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6，其二项式展开通项T r ＋1＝C r 6·()x 26－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 6·x 12－2r ·2r ·x －r ＝C r 6·2r ·x 12－3r ，当12－3r ＝0，解得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是C 46·24＝C 26·16＝15×16＝240.11．(2022年嘉祥月考)()ax 2－17()a >0的展开式中第6项的系数为－189，那么展开式中各项的系数和为________．【答案】128【解析】由题意，通项为T k ＋1＝C k 7(ax )7－k ·(－1)k ＝(－1)k a 7－k C k 7x 7－k ，由于(ax 2－1)7(a >0)的展开式中第6项的系数为－189，那么第六项系数为(－1)5a 7－5C 27＝－189，解得a ＝3，故该二项式为(3x 2－1)7，令x ＝1得展开式各项系数的和为27＝128.12．(2022年河南模拟)⎝⎛⎭⎫ax －2x 25的展开式中，含x 项的系数为40，那么a ＝________. 【答案】1【解析】⎝⎛⎭⎫a x －2x 25的展开式中通项公式T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫a x 5－r(－2x 2)r ＝(－2)r a 5－r C r 5 x 3r －5，令3r －5＝1，解得r ＝2.因为含x 项的系数是40，所以(－2)2a 3C 25＝40, 解得a ＝1.[B 级能力提升]13．(2022年驻马店期末)在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，x 的幂指数是整数的共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项【答案】D【解析】在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－3r2 ，令10－3r 2为整数，求得r ＝0,2,4,6,8,10，共计6个，故x 的幂指数是整数的共有6项．14．(2022年山东模拟)假设⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中x 的系数是( )A ．54B ．81C ．96D ．106【答案】A 【解析】因为⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，所以(1＋3)n ＝256＝28，解得n ＝4，因此⎝⎛⎭⎫x ＋3x 4的展开式的通项是T r ＋1＝C r 434－r ·x r x －4－r2 ＝C r 434－r x 3r2-2 ，由32r －2＝1得r ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24×32＝54.15．(2022年安徽模拟)假设二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中x－1项的系数为________(用数字作答)．【答案】1 792【解析】由题意可知，n ＝8，所以二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8·28－k ·x k －8·(－1)k ·x 5k 2 ＝(－1)k ·28－k ·C k 8·x 7k2－8 ，由7k 2－8＝－1，得k ＝2.所以展开式中x －1的系数为(－1)2·26·C 28＝64×28＝1 792.16．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，那么a ＝________. 【答案】3【解析】设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5①，令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5②. 令①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[C 级创新突破]17．(多项选择)假设⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 展开式存在常数项，那么n 的取值可以为以下选项中的( )A ．3B ．4C ．5D ．10【答案】CD【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ·(x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫2x 3r ＝C r n ·2r ·x 2n －5r ，r ＝0,1,2，…，n ，由题意可得2n －5r ＝0，即n ＝5r2，由n 为正整数，可得r ＝2时，n 取得最小值5，当r ＝4时，n ＝10.18．(一题两空)(2022年浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当r ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数为5.。

山东省2014届高三仿真模拟测试文科数学试题十一(word版)(精校)

山东省2014届高考仿真模拟测试试题十一高三数学（文科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,4}A =,集合{2,4}B =，则()U C A B 为（）A ．{2,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,4,5}2. 已知复数21i z i=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知:命题p ：“1=a 是2,0≥+>xax x 的充分必要条件”；命题q ：“02,0200>-+∈∃x x R x ”．则下列命题正确的是（） A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“（┐p ）∧q ”是真命题 C ．命题“p ∧（┐q ）”是真命题D ．命题“（┐p ）∧（┐q ）”是真命题4. 执行如图所示的程序框图,输出的M 值是（）A ．2B ．1-C ．12D ．2-5.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e xf x =.若对任意的x [,1]a a ∈+，不等式2()()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的最大值是（）A.32-B. 23-C. 34- D. 2 6. 已知函数 ()sin()(0,||)2f x x πωθωθ=+><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的曲线关于原点对称，则函数f （x ）的图象 ( ) A ．关于点（12π， 0）对称 B ．关于直线x =12π对称C ．关于点（512π，0）对称D ．关于直线x =512π对称7.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为（）A.12B. 12+C.12D. 18.已知函数f (x )=(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如下图（左）所示，则g (x ) = a x +b 的图象是( )9.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=0,log )31(0,2)(23x x x x x f x x ,若0x 是y =()f x 的零点，且0＜t ＜0x ,则)(t f( )A. 恒小于0B. 恒大于0C. 等于0D. 不大于0第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11.为了参加全市的中学生创新知识竞赛，某中学举行选拔赛，共有2000名学生参加.为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.12.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则实常数=k ______.13.已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，则ABC △面积的最小值为．14.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积= ．15.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对()()()42x R f x f x f ∀∈+=+都有成立.当[]1212,0,2,x x x x ∈≠且时，都有()()21210f x f x x x -<-，给出下列命题：（1）()20f =；（2）直线4x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴；（3）函数()[]44y f x =-在，上有四个零点；（4）()()20120f f = 其中所有正确命题的序号为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. (本小题满分12分)在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+. （Ⅰ）求角A 的大小; （Ⅱ）若222sin2sin 122B C+=，判断ΔABC 的形状. 17.(本小题满分12分)某中学举行了一次“数学知识竞赛”话动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n )进行统计按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50，60)，[90，100]的数据).(I)求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；(Ⅱ)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学参加全国数学联赛，写出所有的基本事件并求所抽取的2名同学来自不同组的概率. 18.(本小题满分12分)已知四面体P —ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC =∠BCD =90o，PB =BC =CD =12AB ．Q 是PC 上的一点． (I)求证：平面P AD ⊥面PBD ； (II)当Q 在什么位置时，P A ∥平面QBD ? 19.（本小题满分12分）从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{}n a 中的345a a a 、、. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若11n nn n n a a b a a ++=+，数列{}n b 的前项和为n T ，求n T . 20.（本小题满分13分）已知a R ∈，函数323()2af x x x a =-+,x R ∈． (Ⅰ)求()f x 在[]1,1-上的单调区间；(Ⅱ)当02a <<时，求()f x 在[]1,1-上的最大值． 21. （本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点为F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0），c 2是a 2与b 2的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点A （0，﹣b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 作直线交椭圆于另一点M ，求|AM|长度的最大值；（3）已知定点E （﹣1，0），直线y=kx+t 与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的t ＞0，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．山东省2014届高考仿真模拟测试试题高三数学（文科答案）一、选择题：ABBBC DDABB 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 880 12. 9 13.3 14.15. (1)(2)(4)三、解答题：16.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a b c +=+∴1cos ,23A A π==（Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-=∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，1cos 12B B +=，sin()16B π+=，∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形.20.解：（Ⅰ）223()33()22a af x x x '=-=-， ……………1分当0a ≤时， ()0f x '≥，()f x 在[]1,1-上递增； ……………2分当02a <<时，()f x 在1,,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在⎛ ⎝上递减；……………3分当2a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[]1,1-上递减． ……………4分(Ⅱ) 当02a <<时，()f x 在1,,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在⎛ ⎝上递减．222337(1)1()0,(02416f a a a f a =-+=-+>=>，231(1)1(21)(2)22f a a a a -=-++=-+,2f a =-．………6分①102a <<时，(1)0f -<,0f <,max ()max (1),((1)f x f f f f ⎧⎫⎪⎪=---⎨⎬⎪⎪⎩⎭．而23(1)12f a a --=--，2(f a =，2f a -=-+23(1)12f a a =-+．显然(1)(1)f f --<，(f f -<，所以只需比较(f 与(1)f 的大小．3((1)12f f a -=-．3()12g a a =-在(0,)+∞上单调递增，而1()02g =． 102a ∴<<时，((1)f f <，2max 3()(1)12f x f a a ==-+． ………9分 ②12a ≤<2时，(1)0f -≥,0f ≥,max ()max ((1)f x f f ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 3((1)102f f a -=-≥,2max ()(f x f a == ………12分 2311,0a a a ⎧-+<<）解：在椭圆中，由已知得）的直线方程为该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：，所以椭圆方程为（时，，所以，解得，则，点，所以所以（如果对任意的点．，即．。

人教版高考数学一轮复习第十一章课时规范练60 排列与组合(含答案)

课时规范练60排列与组合基础巩固组1.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A.12种B.24种C.48种D.120种2.从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,则不同的选法共有()A.6种B.12种C.24种D.18种3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加节目,5人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为()A.6B.12C.24D.484.(2022广东茂名二模)某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究.每个方向均有研究生学习,每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别,其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排,则这6名研究生不同的分配方向共有()A.480种B.360种C.240种D.120种5.某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A.85B.86C.91D.906.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个7.(多选)下列等式中,成立的有()A.A n m=n!m!mB.C n m-1+C n m=C n+1C.C n m=C n n-mm-1D.A n m=n A n-18.(多选)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则下列结论中正确的有()A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法有C21C982种B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法有C 21C 992种 C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有(C 21C 982+C 22C 981)种 D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有(C 1003−C 983)种9.某校举办优质课比赛,决赛阶段共有6名教师参加.如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场,且最后一个出场的只能是甲或乙,则不同的出场方案共有种.10.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)综合提升组11.某市践行“干部村村行”活动,现有3名干部下乡到5个村蹲点指导工作,每个村必须有1名干部,每名干部至多去3个村,则不同的选派方案共有( ) A.243种 B.210种 C.150种D.125种12.(2022广东韶关一模)在一次学校组织的研究性学习成果报告会上,有A ,B ,C ,D ,E ,F 共6项成果要汇报,如果B 成果不能最先汇报,而A ,C ,D 按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为( ) A.100B.120C.300D.60013.(多选)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往疫区.若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N ,则下列等式能成为N 的算式的是( )A.C 135−C 71C 64B.C 72C 63+C 73C 62+C 74C 61+C 75C.C 135−C 71C 64−C 65D.C 72C 11314.(2022山东烟台一模)“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量,通过植树造林、节能减排等形式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A ,B ,C 三地指导“碳中和”工作,每位专家只去一个地方,且每地至少派驻1名专家,则不同的分派方法的种数为( ) A.90B.150C.180D.30015.某市疾控中心决定将含A ,B 在内的6名专家平均分配到3所县疾控中心去指导防疫工作,若A ,B 2名专家不能分配在一起,则不同的分配方法有种.16.某省新高考改革方案中要求,学生可从物理、历史,化学、生物学、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考,则学生有种不同的选法.现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科,再从化学、生物学、政治、地理四门学科中任选两科,则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有种.创新应用组17.从装有n+1个不同小球的口袋中取出m 个小球(0<m ≤n ,m ,n ∈N ),共有C n+1m 种取法.在这C n+1m 种取法中,可以视作分为两类:第一类是某指定的小球未被取到,共有C 10·C n m 种取法;第二类是某指定的小球被取到,共有C 11·C n m -1种取法.显然C 10·C n m +C 11·C n m -1=C n+1m ,即等式C n m +C n m -1=C n+1m 成立.试根据上述想法,下面式子C n m +C k 1·C n m -1+C k 2·C n m -2+…+C k k ·C n m -k (其中1≤k<m ≤n ,k ,m ,n ∈N )应等于( ) A.C n+k m B.C n+k+1mC.C n+k m+1D.C n+m k18.已知某超市为顾客提供A,B,C,D 四种结账方式.若顾客甲不能用D 方式结账,顾客乙只能用A 方式结账,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以.这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有种.课时规范练60 排列与组合1.B 解析:因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有A 44=24(种).故选B .2.B 解析:由题意,从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,可分两步:第一步,先从4名男生中选出2人,有C 42=6种选法;第二步,从2名女生中选出1人,有C 21=2种选法.由分步乘法计数原理可得,共有C 42×C 21=12种不同的选法.故选B .3.B 解析:将小明父母与小明三人进行捆绑,其中小明居于中间,形成一个元素,则有A 22种坐法,再与爷爷和奶奶进行排序,则不同坐法有A 22A 33=12(种).故选B .4.B 解析:分两类:(1)人脸识别方向不安排其他研究生,则有C 52A 44=240种不同的分配方向.(2)人脸识别方向安排1名其他研究生,则有A 55=120种不同的分配方向. 综上,共有240+120=360种不同的分配方向. 5.B 解析:由题意,可分三类:第1类,男生甲入选,女生乙不入选,则不同的方法种数为C 31C 42+C 32C 41+C 33=31; 第2类,男生甲不入选,女生乙入选,则不同的方法种数为C 41C 32+C 42C 31+C 43=34; 第3类,男生甲入选,女生乙入选,则不同的方法种数为C 32+C 41C 31+C 42=21.由分类加法计数原理,知男生甲与女生乙至少有1人入选的不同的方法种数为31+34+21=86. 故选B .6.B 解析:由题意可知,4开头的满足题意的偶数的个数为C 21A 43,5开头的满足题意的偶数的个数为C 31A 43,根据分类加法计数原理可得,比40000大的偶数共有C 21A 43+C 31A 43=120个.故选B .7.BCD 解析:A n m =n (n-1)·…·(n-m+1)=n !(n -m )!,故A 错误;根据组合数性质知B,C 正确;A n m =n !(n -m )!=n ·(n -1)![(n -1)-(m -1)]!=n A n -1m -1,故D 正确.故选BCD .8.ACD 解析:根据题意,若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品,即抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,则合格品的取法有C 982种,不合格品的取法有C 21种,恰好有1件是不合格品的取法有C 21C 982种,故A 正确,B 错误;若抽出的3件中至少有1件是不合格品,有2种情况,①抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,有C 21C 982种取法;②抽出的3件产品中有1件合格品,2件不合格品,有C 22C 981种取法.则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(C 21C 982+C 22C 981)种,故C 正确;在100件产品中任选3件,有C 1003种取法,其中全部为合格品的取法有C 983种,则抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有(C 1003−C 983)种,故D 正确.故选ACD .9.96 解析:若第一场比赛甲或乙出场,则最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有A 22A 44=48种;若第一场比赛丙出场,最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有A 21A 44=48种.根据分类加法计数原理,不同的出场方案共有48+48=96(种).10.660 解析:第一类,从8名学生中选1女3男,有C 63C 21=40种不同的选法,从4人中选2人作为队长和副队长有A 42=12种不同的选法,故共有40×12=480种不同的选法;第二类,从8名学生中选2女2男,有C 62C 22=15种不同的选法,从4人中选2人作为队长和副队长有A 42=12种不同的选法,故共有15×12=180种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有480+180=660种不同的选法. 11.C 解析:3名干部可供选派,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村都需要1名干部,每名干部至多去3个村,于是可以把5个村分为(1,1,3)和(1,2,2)两组.当为(1,1,3)时,有C 53A 33=60种不同的选派方案;当为(1,2,2)时,有C 52C 32A 22·A 33=90种不同的选派方案.根据分类加法计数原理,可得不同的选派方案共60+90=150(种).故选C .12.A 解析:不考虑限制条件共有A 66种,B 最先汇报共有A 55种,如果B 不能最先汇报,而A ,C ,D 按先后顺序汇报(不一定相邻)有A 66-A 55A 33=100种不同的安排.13.BC 解析:13名医生,其中女医生6人,则男医生7人.(方法1 直接法)若选派2男3女,则不同的选派方法有C 72C 63;若选派3男2女,则不同的选派方法有C 73C 62;若选派4男1女,则不同的选派方法有C 74C 61;若选派5男,则不同的选派方法有C 75.由分类加法计数原理,知不同的选派方法种数为N=C 72C 63+C 73C 62+C 74C 61+C 75.(方法2 间接法)13名医生,任取5人,减去抽调4名女医生和5名女医生的情况,即N=C 135−C 71C 64−C 65.故选BC .14.B 解析:根据题意有两种方式.第一种方式,有一个地方去3名专家,剩下的2名专家各去一个地方, 共有C 51C 41C 33A 22·A 33=5×4×12×1×3×2×1=60(种)方法. 第二种方式,有一个地方去1名专家,另两个地方各去2名专家, 共有C 51C 42C 22A 22·A 33=5×4×32×12×1×3×2×1=90.所以不同的分派方法的种数为60+90=150.15.72 解析:将6名专家平均分配到3所县疾控中心的方法种数为C 62C 42C 22A 33·A 33=C 62C 42C 22=90,其中A ,B 2名专家分配在一起的方法种数为C 42C 22A 22·A 33=3C 42C 22=18,故A ,B 2名专家不能分配在一起的不同的分配方法有90-18=72(种).16.35 60 解析:由题意,7科中任选3科,则学生有C 73=7×6×53×2×1=35种不同的选法. 分为两类,第一类:物理、历史两科中有相同学科,则不同的选法有C 21C 42C 22=12(种); 第二类:物理、历史两科中没有相同学科,则不同的选法有A 22C 41A 32=48(种).由分类加法计数原理,甲、乙二人恰有一门学科相同的不同的选法有12+48=60(种).17.A 解析:在C n m +C k 1·C n m -1+C k 2·C n m -2+…+C k k ·C n m -k 中,从第一项到最后一项表示从装有n 个白球,k 个黑球的袋子里,取出m 个球的所有情况取法总数的和,故式子表示的意思为从装有n+k个球中取出m 个球的不同取法数C n+k m .故选A .18.26解析:①当甲、丙、丁顾客都不选C方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有A22=2(种)选择;当甲选择B方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选A或B方式,有1+C21C21=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.②当甲、丙、丁顾客都不选B方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有A22=2(种)选择;当甲选择C方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选C或A方式,故有1+C21C21=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.③当甲、丙、丁顾客都不选D方式时,若有人使用A方式,则有C31A22=6(种)选择;若没有人使用A方式,则有C32A22=6(种)选择.故有6+6=12(种)选择.根据分类加法计数原理可得共有7+7+6+6=26(种)不同的结账方式.。

【学海导航】高考数学第一轮总复习 11

[1.34,1.38) 25 [1.38,1.42) 30
[1.42,1.46) 29
[1.46,1.50) 10
[1.50,1.54) 2
合计
100
(2) 估计纤度落在 [1.38,1.50) 中的概率及纤度小于 1.40 的概率是多少？
(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间 [1.30,1.34) 的中点值是 1.32)作为代表．据此，估计纤度的期望．
解：(1)频率分布表为：分组
[1.30,1.34) [1.34,1.38) [1.38,1.42)
[1.42,1.46)
[1.46,1.50)
[1.50,1.54) 合计
频数 4 25 30
29
10
2
100
频率 0.04 0.25 0.30
0.29
0.10
0ห้องสมุดไป่ตู้02
1.00
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/102022/1/102022/1/101/10/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/102022/1/10January 10, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/102022/1/102022/1/102022/1/10

高三数学一轮第11章单元总结与测试精品复习学案

高三数学一轮第11章单元总结与测试精品复习学案【章节知识网络】【章节强化与训练】一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分）1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件．答案：C2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( )A．14 B．24 C．28 D．48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12·C34＋C22·C24＝2×4＋1×6＝14.法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46－C44＝15－1＝14. 答案：A3．⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x 8的展开式中x4的系数是 ( ) A ．16 B ．70 C ．560 D ．1 120解析：由二项展开式通项公式得Tk ＋1＝Ck 8(x2)8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2kCk 8x16－3k.由16－3k ＝4，得k＝4，则x4的系数为24C48＝1 120. 答案：D4．某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ( ) A.25 B.35 C.12 D.34 解析：P ＝5－25＝35.答案：B5．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2m n + 1.2=，则2n m -的值为（） A.－0.2； B.0.2； C.0.1； D.－0.1答案：B ；解析：由0.2m n ++1=，又2m n + 1.2=，可得2nm -0.2= 6．如果随机变量()ξμσξξ~N E D ，，，231==，则()P -≤<11ξ等于（）A.241Φ()-B.ΦΦ()()42-C.ΦΦ()()24-D.ΦΦ()()---42答案:B解析：这里的μξσξ====E D 31，；由换算关系式F x x ()=-⎛⎝ ⎫⎭⎪Φμσ，有()()()()()()[][]111113132(4)1(2)1(4)(4)(2)P P x P x ξ-≤<=<-≤-=Φ--Φ--=Φ--Φ-=-Φ--Φ=Φ-Φ7. 若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的系数，则与x 轴有公共点的二次函数的概率是 ( ) A.1750 B.1350 C.12 D.15解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C15A25＝100个，其中与x 轴有公共点的二次函数需满足b2≥4ac，当c ＝0时，a ，b 只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A25个，当c≠0时，若b ＝3，此时满足条件的(a ，c)取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b ＝4时，此时满足条件的(a ，c)取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b ＝5时，此时满足条件的(a ，c)取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为34100＝1750.答案：A8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( )A ．70种B ．80种C ．100种D ．140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C25×C 14＋C15×C 24＝70种．答案：A9．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种解析：分两类：（1）甲型1台，乙型2台：1245C C ；（2）甲型2台，乙型1台：2145C C 1221454570C C C C +=10．从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax ＋By ＋C ＝0中的A ，B ，C(A ，B ，C 互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ( ) A.41335 B.18 C.528 D.38解析：P ＝7×68×7×6＝18.答案：B11．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（）A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 解析：555332255(12)(2)2(12)(12)...2(2)(2)...x x x x x C x xC x -+=-+-=+-+-+233355(416)...120...C C x x =-+=-+12．在(x2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n ＝ ( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k ＋1项Tk ＋1＝Ck n 2()n k x－·(－1x)k＝Ck n 23(1)k n k x －－应有2n －3k ＝0，∴n＝3k 2，而n 是正整数，故k ＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k ＝4，n ＝6.答案：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P=21.4416ππ⨯=⨯答案：16π14．a ＝0π⎰ (sinx ＋cosx)dx 则二项式(a x －1x)6展开式中含x2的项的系数是________．解析：a ＝0π⎰ (sinx ＋cosx)dx ＝(sinx －cosx)|π0＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0) ＝(0＋1)－(0－1)＝2.又∵Tr＋1＝Cr 6(a x)6r a － (－1x)r＝Cr 6 6r a － (－1)rx(6－r 2－r 2)＝Cr 6 6ra－ (－1)r 3rx－.由3－r ＝2，解r ＝1，∴x2项的系数为－C16a5＝－192. 答案：－19215．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________．解析：由题意知m ＝b a ，e ＝1＋m2，仅当m ＝1或2时，1<e<3，∴e>3时的概率P ＝79.答案：7916．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a ＝________，b ＝________.X －1 0 1 2 Pabc112解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－a ＋c ＋16＝0，a·1＋c·1＋112×22＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.答案：512 14三、解答题（本大题共6个小题，总分74分）17．(本小题满分12分)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M 、N 、 P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S ，求三角形SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM 、ABN 、ABP 、AMN 、AMP 、ANP 、BMN 、BMP 、BNP 、MNP ，其中是直角三角形的只有ABM 、ABN 、ABP 3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P ＝310.(2)连结MP ，取线段MP 的中点D ，则OD⊥MP，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS=12×2×2，所以只有当S 点落在阴影部分时，三角形SAB 面积才能大于2，而S 阴影=S 扇形OMP-S △OMP=12×2π×42-12×42=4π-8，所以由几何概型公式得三角形SAB 的面积大于2的概率P=482.82ππππ--= 18．(本小题满分12分)设A ＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x ，y∈N*}．(1)求从A 中任取一个元素是(1,2)的概率； (2)从A 中任取一个元素，求x ＋y≥10的概率； (3)设Y 为随机变量，Y ＝x ＋y ，求E(Y)．解：(1)设从A 中任取一个元素是(1,2)的事件为B ，则P(B)＝136，所以从A 中任取一个元素是(1,2)的概率为136.(2)设从A 中任取一个元素，x ＋y≥10的事件为C ，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况，于是P(C)＝16，所以从A 中任取一个元素，x ＋y≥10的概率为16.(3)Y 可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. P(Y ＝2)＝136，P(Y ＝3)＝236，P(Y ＝4)＝336，P(Y ＝5)＝436，P(Y ＝6)＝536，P(Y ＝7)＝636，P(Y ＝8)＝536，P(Y ＝9)＝436，P(Y ＝10)＝336，P (Y ＝11)＝236，P(Y ＝12)＝136.则E(Y)＝2×136＋3×236＋4×336＋5×436＋6×536＋7×636＋8×536＋9×436＋10×336＋11×236＋12×136＝7.19．(本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人．已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名．(1)求工人的配置合理的概率；(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率．解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有C48＋C38C12种选法．工人的配置合理的概率C48＋C38C12C410＝1315.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均为1315，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C121315(1－1315)＝52225. 20．某同学参加3门课程的考试。

2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法分步乘法

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法1. (选修23P 8练习3改编)某班级有男生5人，女生4人，从中任选一人去领奖，有________种不同的选法．答案：9解析：不同选法种数共有N ＝5＋4＝9种． 2. (选修23P 8例4改编)书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书与语文书各一本，有________种不同的取法．答案：30解析：共有5×6＝30种不同取法．3. (选修23P 8练习5改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．答案：32解析：每位同学有2种不同的报名方法，故5位同学有25＝32种不同的报名方法． 4. (选修23P 9习题3改编)从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．则从甲地到丙地共有________种不同的走法．答案：14解析：共有2×3＋4×2＝14种不同的走法．5. 如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________．答案：84解析：分两类：A、C种同种花有4×3×3＝36种不同的种法； A、C种不同种花有4×3×2×2＝48种不同的种法．故共有36＋48＝84种不同的种法．1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3. 分类和分步区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，分步后要将种数相乘．[备课札记]题型1 分类计数原理例1满足A∪B＝{1，2}的集合A、B共有多少组？解：集合A、B均是{1，2}的子集：Æ，{1}，{2}，{1，2}，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含A、B两元素的不定方程，其全部解分为四类：①当A＝Æ时，只有B＝{1，2}，得1组解；②当A＝{1}时，B＝{2}或B＝{1，2}，得2组解；③当A＝{2}时，B＝{1}或B＝{1，2}，得2组解；④当A＝{1，2}时，B＝Æ或{1}或{2}或{1，2}，得4组解．根据分类计数原理，共有1＋2＋2＋4＝9组解．变式训练如下图，共有多少个不同的三角形？解：所有不同的三角形可分为三类：第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有5个；第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有5×4＝20个；第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形，共有5＋5＝10个．由分类计数原理得，不同的三角形共有5＋20＋10＝35个．题型2 分步计数原理例2用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1) 共有多少种不同的涂色方法？(2) 若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？解：(1) 每一个区域都有5种不同的涂色的方法，所以涂完四个区域共有5×5×5×5＝625种不同的涂色方法．(2) 若2号，4号区域同色，有5×4×3＝60种涂法；若2号，4号区域异色，有5×4×3×2＝120种涂法．所以共有60＋120＝180种涂法．备选变式（教师专享）用三种不同的颜色填涂下图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法共有________种．分析：将9答案：12解析：可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有3×2×1＝6种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有2×1＝2种方法；剩余区域只有一种涂法．综上由分步计数原理可知共有6×2＝12种涂法．题型3 两个基本原理的联系例3某同学有12本课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆去阅读．(1) 若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2) 若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3) 若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解：(1) 完成的事情是带一本书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都已经完成，从而应用加法原理，结果为5＋4＋3＝12种．(2) 完成的事情是带三本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本后，才能完成这件事，因此应用乘法原理，结果为5×4×3＝60种．(3) 要完成的这件事是带2本不同的书，先乘法原理，再用加法原理，结果为5×4＋5×3＋3×4＝47种选法．备选变式（教师专享）三边长均为整数，且最大边长为7的三角形的个数为_______．答案：16解析：另两边长用x 、y 表示，且不妨设1≤x≤y≤7，要构成三角形，必须有x ＋y≥8. 当y 取值7时，x ＝1，2，3，…，7，可有7个三角形；当y 取值6时，x ＝2，3，4，5，6，可有5个三角形；当y 取值5时，x ＝3，4，5，可有3个三角形；当y 取值4时，x ＝4，可有1个三角形，所求三角形的个数合计为16个．1. (2013·山东理)用0，1，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．答案：252解析：组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C 19A 29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.2. (2013·福建理)满足a 、b∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b)的个数为________．答案：13解析：方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解，分析讨论．① 当a ＝0时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对；② 当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵ (a，b)共有16种实数对，故答案应为16－3＝13.3. 将字母a 、a 、b 、b 、c 、c ，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．答案：12解析：第一步先排第一列有A 33＝6，再排第二列，当第一列确定时，第二列有2种方法，如图，所以共有6×2＝12种． 4. (2013·四川理)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是________．答案：18解析：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有5×4＝20种排法．因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a、b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是20－2＝18.1. 某赛季足球比赛的规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有________种．答案：3解析：利用加法原理，考虑胜11场、胜10场、胜9场等情况．2. 一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有________________．答案：65解析：分两类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种．故52＋4×2×5＝65.3. 现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同．现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A、B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高．则不同的选法共有______种．答案：49解析：给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M＝{1，2，3，4，5}．①若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2，3，4，5}的非空子集，这样的子集有C14＋C24＋C34＋C44＝24－1＝15个，∴不同的选法有15个；②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：{2}、{1，2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3，4，5}的非空子集，这样的子集(小组B)有23－1＝7个，∴不同的选法有2×7＝14个；③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{4，5}的非空子集，这样的子集(小组B)有22－1＝3个，∴不同的选法有4×3＝12个；④若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有{5} 1个，∴不同的选法有8个．∴ 综上，所有不同的选法是15＋14＋12＋8＝49个．4. 75 600有多少个正约数？有多少个奇约数？解：75 600的约数就是能整除75 600的整数，所以本题就是分别求能整除75 600的整数和奇约数的个数．由于 75 600＝24×33×52×7.(1) 75 600的每个约数都可以写成2i·3j·5k·7l的形式，其中0≤i≤4，0≤j≤3，0≤k≤2，0≤l≤1.于是，要确定75 600的一个约数，可分四步完成，即i，j，k，l分别在各自的范围内任取一个值，这样i有5种取法，j有4种取法，k有3种取法，l有2种取法，根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2＝120个．(2) 奇约数中不含有2的因数，因此75 600的每个奇约数都可以写成3j·5k·7l的形式，同上奇约数的个数为4×3×2＝24个．在应用两个计数原理解决具体问题时，常用以下几种方法技巧：(1) 建模法：建立数学模型，将所给问题转化为数学问题，这是计数方法中的基本方法．(2) 枚举法：利用枚举法(如树状图，表格)可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想．(3) 直接法和间接法：在实施计算中，可考虑用直接法或间接法(排除法)，用不同的方法，不同的思路来验证结果的正误．(4) 分类计数原理和分步计数原理多数情形下是结合使用的，根据问题特点，一般是先分类再分步，某些复杂情形下，也可先分步再分类．分类要“不重不漏”，分步要“连续完整”．请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.。

2014年高考数学(文)一轮复习精品资料第11章测试题教师版Word版含解析

名师预测1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙两人下盘棋，你认为最可能出现的情况是( )A ．甲获胜B ．乙获胜C ．甲、乙下成和棋D ．无法得出2．取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m 的概率是( )A.14B.13C.12D.233．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个数，两个数一奇一偶的概率是( ) A.16 B.25 C.13 D.234．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )A ．1－π4B.π4C ．1－π8D ．与a 的取值有关5．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为146．(文)(2010·太余月考)从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.387．连掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是( )A.512 B.12 C.712D.568．从－1,0,1,2这四个数中选出三个不同的数作为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数，可组成不同的二次函数，其中不同的二次函数是偶函数的概率为( )A.14B.13C.12D.239．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a )要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1%( )A ．a >910B ．a >109C ．1<a <109D ．0<a <91010．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和集合B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和411．实数x ，y 满足|x |≤2，|y |≤1，则任取其中x ，y ，使x 2＋y 2≤1的概率为________． 12．集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,3,5,7,9}，在A 中任取一元素m 和在B 中任一元素n ，则所取两数m >n 的概率是________．13．将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，恰有2面涂有颜色的概率是________．14．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为________．15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝3，2x ＋3y ＝2只有一组解的概率是________．16．有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，求这2个人在不同层离开的概率．17．一盒中装有各色球12个，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．18．有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．19．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．20．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[－4，－1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人)．(1)共有多少种安排方法？(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？(3)甲、乙两人中至少有一个被安排的概率是多少？4．[答案] A[解析] 几何概型，P ＝a 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a2＝1－π4.8．[答案] B[解析] 因为组成不同的二次函数，故a ≠0，则a 的选法有3种，b ，c 从余下的3个中任取2个，选法有3×2＝6种，所以组成的不同二次函数共有3×6＝18种，组成的函数为偶函数，必须满足a ≠0，且b ＝0有3×2＝6种，可得：618＝13.[解析] 由题意，当m 2≠n3，即3m ≠2n 时方程组只有一解．基本事件总数为36，满足3m ＝2n 的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个．故满足3m ≠2n 的基本事件数为34个．故所求概率为P ＝3436＝1718.∴任取1球是红球或黑球的概率为912＝34.(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为5＋4＋212＝1112.19．[解析] (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.21．[解析] (1)安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．∴共有12种安排方法．。

2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)11-3二项式定理

课时作业(五十八)一、选择题1．(2011年陕西高考)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：T r ＋1＝C r 6(4x )r·(－2－x )6－r ＝C r 6·(－1)6－r ·2(3r －6)x 由3r －6＝0，得r ＝2，常数项为 T 3＝C 26·(－1)4＝15. 答案：C2．(2013年山东滨州联考)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8，易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7. 答案：C3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和为( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：∵T k ＋1＝C k 8x8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x k ＝C k 8(－a )k x 8－2k 为常数项， ∴k ＝4且C 48(－a )4＝1 120，∴a 4＝16，∴a ＝±2，当a ＝2时，令x ＝1，得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－218＝1；当a ＝－2时，令x ＝1，得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋218＝38.答案：C4．(2012年北京石景山一模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36解析：二项展开式的二项式系数和为2n ＝512，所以n ＝9，二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(x 2)9－k (－x －1)k ＝C k 9x 18－2k (－1)k x －k ＝C k 9x 18－3k(－1)k ，令18－3k ＝0，得k ＝6，所以常数项为T 7＝C 69(－1)6＝84，选B.答案：B5．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，15) B ．[45，＋∞) C ．(－∞，－45]D ．(1，＋∞)解析：二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r . 依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy <0，由此得⎩⎨⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0x (1－x )<0，由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．答案：D 6．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1. 答案：C 二、填空题7．(2012年陕西)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．解析：因为(a ＋x )5＝C 05a 5＋C 15a 4x ＋C 25a 3x 2＋C 35a 2x 3＋C 45ax 4＋C 55x 5，所以C 25a 3＝10a 3＝10.所以a 3＝1，a ＝1.答案：18．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________．解析：a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2sin(x －π4)|π0＝2，二项式(2x －1x )6展开式中含x 2项为：C 16(2x )5·(－1x)＝－192x 2，所以x 2的系数为：－192. 答案：－1929．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案：－5 三、解答题10．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求(1)a 7＋a 6＋…＋a 1； (2)a 7＋a 5＋a 3＋a 1； (3)a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，①∴a 7＋a 6＋…＋a 1＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.11．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为T r ＋1＝C r n xn －r 3⎝⎛⎭⎪⎫－12r x －r 3＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x n －2r3，∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z0≤r ≤10，r ∈Z ，令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎪⎫－128x －2. 12．(2012年厦门质检)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．解：(1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1n(2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1(3)设C r －1n ∶C r n ∶C r ＋1n ＝3∶4∶5由C r －1nC r n＝34，得r n －r ＋1＝34即3n －7r ＋3＝0① 由C r nC r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45 即4n －9r －5＝0②解①②联立方程组得n ＝62，r ＝27即C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.[热点预测]13．(1)若a ＝∫π0(sin t ＋cos t )d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为________． (2)(2012年陕西西工大附中适应性训练)若将(x －a )(x －b )逐项展开得x 2－ax －bx ＋ab ，则x 2出现的概率为14，x 出现的概率为12，如果将(x －a )(x －b )(x －c )(x －d )(x －e )逐项展开，那么x 3出现的概率为________．解析：(1)a ＝(－cos t ＋sin t )|π0＝2 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝12r C r 6·x 12－3r 令12－3r ＝0，得r ＝4.(2)基本事件总数为C12C12C12C12C12＝32，其中x3有C35个，所以概率为C3532＝516.答案：(1)1516(2)516。

2014届高考数学一轮复习第十一章《算法框图及推理与证明》精编配套试题(含解析)理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第十一章算法框图s 及推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1、, 当输入x 为60时, 输出y 的值为（）A ．25B ．30C ．31D ．612．（2013年高考某某卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A ．2*2S i =-B ．2*1S i =-C ．2*S i =D ．2*4S i =+3．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则有(x ＋y )n ＝x n ＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) 4、（2013高考某某理）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈5、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如:输入xIf x ≤50 Then y =0.5 * x Elsey =25+0.6*(x -50) End If 输出y他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章计数原理、随机变量及分布列第3课时二项式定理

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章计数原理、随机变量及分布列第3课时二项式定理1. (选修23P 32练习5改编)在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是________．答案：1 890 解析：T r ＋1＝C r10x10－r(－3)r，令10－r ＝6，r ＝4，T 5＝9C 410x 6＝1 890x 6.2. (选修23P 32练习6改编)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 212的展开式的常数项是________．答案：495解析：展开式中，T r ＋1＝C r12x12－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r 12x 12－3r ，当r ＝4时，T 5＝C 412＝495为常数项．3. (选修23P 35习题2改编)若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则自然数n ＝________．答案：13解析：C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363＋1，C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364，C 35＋C 25＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1＝364，n ＝13.4. (选修23P 36习题12改编)已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________．答案：－2解析：设f(x)＝(1－2x)7，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(1－2)7＝－1，令x ＝0，得a 0＝1，a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－2.5. (选修23P 35习题10改编)在(x ＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能为________．答案：11，12，13解析：分三种情况：① 若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；② 若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③ 若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11，12，13.1. 二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n∈N)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0，1，2，…，n)叫做第r ＋1项的二项式系数．式中的C r n a n －r b r叫做二项式展开式的第r ＋1项(通项)，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项；T r ＋1＝C r n a n －r b r．2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为n ＋1.(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n. (3) 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4) 二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . 3. 二项式系数的性质(1) 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等． (2) 如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．(3) 二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n.(4) 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1．[备课札记]题型1 二项式展开式的特定项例1 如果⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 3n的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等，求：(1) 展开式的中间项；(2) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x n －1展开式中所有的有理项．解：(1) ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 3n展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是C 3n ，C 6n ，由C 3n ＝C 6n ，得n ＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 39展开式的中间项为第5项和第6项，即T 5＝(－1)4C 49(x －3)4(x 2)5＝126x 2，T 6＝(－1)5C 59(x －3)5(x 2)4＝－126x7.(2) 通项为T r ＋1＝C r 8(x)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，必须r 是4的倍数，所以r ＝0，4，8，共有三个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2.变式训练 (1) 若(1＋x)n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n ；(2) 已知(ax ＋1)7(a≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a ；(3) 已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x. 解：(1) C 3n ＝7C 1n ，n （n －1）（n －2）6＝7n ，即n 2－3n －40＝0.由n∈N *，得n ＝8.(2) C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3，21a 2＋35a 4＝70a 3，a ≠0，得5a 2－10a ＋3＝0 a ＝1±105. (3) C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120，x 4(1＋lgx)＝1，所以x ＝1，或lgx ＝－1，x ＝110.题型2 二项式系数例2 已知(x 23＋3x 2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求： (1) 展开式中二项式系数最大的项； (2) 展开式中系数最大的项．解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴ 22n －2n＝992，n ＝5.(1) ∵ n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴ T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2) 设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5(x 23)5－r (3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r 3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15， 72≤r ≤92，∴ r ＝4，即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.备选变式（教师专享）已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列．设⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.求：(1) a 5的值；(2) a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n 的值； (3) a i (i ＝0，1，2，…，n)的最大值．解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)．T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，令8－r ＝5 r ＝3，所以a 5＝7.(2) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256. (3) 设第r ＋1的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r8≥12r －1C r －18，即⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥12（r ＋1），12r ≥19－r ，解得r ＝2或r ＝3.所以a i 系数最大值为7.题型3 二项式定理的综合应用例3 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．解：2n －27＝128，n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，当r ＝4时，展开式中的系数最大，即T 5＝70x 4为展开式中的系数最大的项；当r ＝3，或5时，展开式中的系数最小，即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x 为展开式中的系数最小的项．备选变式（教师专享）已知(2－3x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 50x 50，其中a 0，a 1，a 2…，a 50是常数，计算(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2.解：设f(x)＝(2－3x)50，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50＝(2－3)50，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 50＝(2＋3)50，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 50) ＝(2－3)50(2＋3)50＝1.1. (2013·新课标Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________．答案：－1解析：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x 2的系数为C 25＋a·C 15＝5，解得a ＝－1.2. (2013·天津理)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案：15解析：展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C k 6x6－32k(－1)k.由6－32k ＝0，得k＝4.所以常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝15.3. (2013·大纲版理)(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x 2y 2的系数是________．答案：18解析：(x ＋1)3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3x r ，令r ＝2得到展开式中x 2的系数是C 23＝3.(1＋y)4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4y r ，令r ＝2得到展开式中y 2的系数是C 24＝6，(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x 2y 2的系数是3×6＝18.4. (2013·辽宁理)使得⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n∈N ＋)的展开式中含有的常数项最小的n 为________．答案：5解析：展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (3x)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k ＝C k n 3n －k xn －5k 2.由n －5k 2＝0，得n＝5k2，所以当k ＝2时，n 有最小值5.1. 若n 是奇数，则7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…＋C n －1n 7被9除的余数是________．答案：7解析：原式＝(7＋1)n －1＝(9－1)n－1＝9k －2＝9k′＋7(k 和k ′均为正整数)．2. 0.9915的近似值是___________．(精确到0.001) 答案：0.956解析：0.9915＝(1－0.009)5＝1－5×0.009＋10×(0.009)2－…≈1－0.045＋0.000 81≈0.956.3. 用二次项定理证明32n ＋2－8n －9能被64整除(n∈N )．证明：32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋C n n ＋18＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝64(C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝M×64(记M ＝C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)． ∵ M 为整数，∴ 64M 能被64整除．4. (1) 在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋13x n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．解：(1) 由已知得C 2n ＝C 5n n ＝7.(2) 由已知得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128，2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大项是T 4＋1＝C 48(x x)4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝70x 43x 2.一般地，对于多项式g(x)＝(px ＋q)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则有： (1) g(x)的常数项的系数为g(0)； (2) g(x)的各项的系数和为g(1)；(3) g(x)的奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]；(4) g(x)的偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.[备课札记]。

高考数学一轮复习第十一章计数原理、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理

第十一章计数原理、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X 的概率分布为则X 的数学期望E (X )＝解析由概率分布的性质，a 2＋a 22＝1，∴a ＝1.故E (X )＝12×0＋12×1＝12.答案 122.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________，________.解析由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6 0.43.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差V (X )的值为________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴V (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案24254.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是________. 解析由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 4.55.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________. 解析记“不发芽的种子数为Y ”，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100，而X ＝2Y ，故E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. 答案 2006.已知X 的概率分布为设Y ＝2X ＋1，则Y 解析由概率分布的性质，a ＝1－12－16＝13，∴E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.答案 237.(2016·青岛模拟)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________.解析由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.答案 802438.(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.解析设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案 25二、解答题9.(2016·常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与数学期望E (ξ). 解 (1)甲、乙两人所付车费用相同即为2，4，6元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.都付2元的概率为P 1＝14×12＝18，都付4元的概率为P 2＝12×14＝18，都付6元的概率为P 3＝14×14＝116，故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝516.(2)依题意知，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.P (ξ＝4)＝14×12＝18， P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝8)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝12)＝14×14＝116.故ξ的概率分布为所求数学期望E (ξ)＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2.10.(2016·南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有2人申请A 大学的概率；(2)求被申请大学的个数X 的概率分布与数学期望E (X ). 解 (1)记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 24×2234＝2481＝827.即恰有2人申请A 大学的概率为827.(2)X 的所有可能值为1，2，3.P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 24×A 23＋C 24A 23A 2234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49.X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝1×27＋2×27＋3×9＝27.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则V (X )＝________.解析由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3，又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故V (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 6512.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________.解析设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为依题意，E (X )＝3a ＋2b ＝2，又∴2＝3a ＋2b ≥26ab ，则ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝12时上式取等号.答案 1613.(2016·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元. 解析由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1， ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金ξ的概率分布为∴E (ξ)＝700×17＋560×7＋420×7＝500(元).答案 50014.(2016·苏北四市质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为p ＝23，背诵错误的概率为q ＝13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”.(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的概率分布及数学期望.解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确4首，错误2首，若第一首和第二首正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余3首可任意背诵对2首.故所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23·13·23·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝1681.(2)因为ξ＝|S 5|的取值为10，30，50. 所以P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081； P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081； P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝10×4081＋30×81＋50×81＝81.。

高考数学一轮复习第十一章统计11.4统计案例习题理

§11.4 统计案例1．回归分析(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)线性回归模型用y ＝bx ＋a ＋e 表示，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为____________．它的均值满足E (e )＝__________，D (e )＝σ2，σ2越小，精度越________．(3)在具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=∑∑==.ˆˆ)())((ˆ121x b y ax x y y x x b ni i ni i i 其中x ＝1n ∑=ni i x 1，y ＝1n ∑=ni i y 1，称为样本点的中心.（4）残差：i eˆ= 称为相应于点（i x ,i y ）的残差，残差平方和为 . （5）相关指数R 2= . R 2越大，说明残差平方和，即模型的拟合效果；R2越小，残差平方和，即模型的拟合效果 .在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的，R 2越接近于1，表示回归的效果 .2. 独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为___________.（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表，称为___________.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2 }，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为y 1 y 2 总计x 1 a b a+b x 2c d c+d 总计a+c b+d a+b+c+d构造一个随机变量K 2=___________，其中n =a+b+c+d 为样本容量.如果K 2的观测值k ≥k 0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.我们称这样的k 0为一个判断规则的临界值.按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P （K 2≥k 0）.上面这种利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为___________.自查自纠1. (2) 随机误差 0 高 (3)（x ，y ）(4)i i yy ˆ- ∑=-ni i iyy12)ˆ((5)1－∑∑==--n i ini i iy yyy1212)()ˆ( 越小越好越大越差贡献率越好2．(1)分类变量(2)列联表n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）独立性检验r 是相关系数，则下列叙述中正确的个数为( ) ①r ∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强； ②r ∈[0.75，1]时，两变量正相关很强；③r ∈(－0.75，－0.3]或[0.3，0.75)时，两变量相关性一般； ④r ＝0.1时，两变量相关性很弱． A ．1B ．2C ．3D ．4解：|r|越大，两变量相关性越强．故选D .在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置差异的是( ) A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和D ．相关指数R 2解：残差平方和描述了数据点和它在回归直线上相应位置的差异，故选B .利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可P (K 2≥k 0) 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果K 2≥5.024，那么有把握认为“X 与Y 有关系”的百分数为( ) A ．25% B ．75% C ．2.5% D ．97.5%解：∵K 2≥5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”．故选D .在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和________．解：R 2越大，残差平方和越小，故填越小．下面是一个2×2列联表y 1 y 2总计 x 1 a21 73 x 21225 37 总计b46则表中a ，b 处的值分别为________．解：∵a ＋21＝73，∴a ＝52.又∵a ＋12＝b ，∴b ＝64.故填52，64.类型一回归分析的相关概念(1)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25解：相关指数越大，模型拟合效果越好．故选A.(2)下列四个命题：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型拟合的效果越好；③散点图中所有点都在回归直线附近；④随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小可用来衡量预报精确度．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解：②中R2越大，拟合效果越好；③中回归直线同样可以远远偏离变异点；①④正确．注意④，e是随机变量，其方差衡量预报精度．故选B.【点拨】回归模型的诊断主要是看残差图上、下是否大致均匀分布．另外相关指数R2也决定着模型拟合的优劣，R2越大，模型拟合效果越好．而随机误差e满足E(e)＝0，D(e)＝σ2，σ2越小，线性回归模型预报真实值的精度越高．(1)如图的5个数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误．．的是( )A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解：观察可知，去掉D(3，10)后，拟合效果更好．因此相关系数变大，残差平方和变小，相关指数变大，解释变量与预报变量的相关性变强．故选B.(2)给出下列结论：①回归分析中，可用相关指数R2判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；②回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；③回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；④回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解：②的判断正好相反；③应改为|r|越大，模型拟合效果越好，①④正确．故选B.类型二回归分析(1)已知某商品的价格x 1416182022y 121075 3 (Ⅰ)画出y关于x的散点图；(Ⅱ)用最小二乘法求出回归直线方程；(Ⅲ)计算R2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．解：(Ⅰ)散点图如图所示．(Ⅱ)18=x，4.7=y，∑==5121660iix，∑==51620iiiyx，所以15.155ˆ512251-=--=∑∑==iiixxyxyxbii，1.28ˆˆ=-=x bya，yˆ=-1.15x+28.1.（Ⅲ）列出残差表：y i－iyˆ00.3－0.4－0.10.2y i－y 4.6 2.6－0.4－2.4－4.4 所以3.0）ˆ（512=-∑=iiiyy，.2.53）（512=-∑=iiyy.994.0）（）ˆ（15125122≈---=∑∑==iiiiiyyyyR所以，回归模型拟合效果很好．【点拨】用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型拟合的效果越好．另外，计算也不能出错．※(2)下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的年均价格，求y 关于x 的回归方程．使用年数 x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年均价格 y （美元）2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 解：作出散点图如图所示．可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此y 与x 之间应是非线性相关关系．与已学函数图象比较，用a x b y ˆˆe ˆ+=来刻画题中模型更为合理，令z ˆ＝ln y ˆ，则z ˆ＝b ˆx ＋a ˆ，题中数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 7.883 7.572 7.309 6.991 6.640 6.288 6.182 5.670 5.421 5.318相应的散点图如图所示，从图中可以看出，变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程拟合．由表中数据得bˆ≈－0.298， aˆ＝6.527－(－0.298)×5.5≈8.166，故回归直线方程为zˆ＝－0.298x ＋8.166. 则yˆ＝e z ˆ＝e －0.298x ＋8.166. 【点拨】①对于非线性(可线性化)回归分析，可通过散点图直观找到函数类型，再通过变换z ＝f(y)变为线性回归问题；②常用的函数类型有f(x)＝k e bx ＋a ，f(x)＝k ln x, f(x)＝kx 2, f(x)＝kx 3,f(x)＝k x等．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑∑==--ni ini i u uv u u u121i)()()-(，α^＝v －β^u .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑∑==--81281i)()()-(i ii iw w y y w w ＝6.18.108＝68，c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6.所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x)－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12＝－(x －6.8)2＋6.82＋20.12.所以当x ＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．类型三独立性检验的相关概念(1)独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A ，B( ) A ．互斥B ．不互斥C ．相互独立D ．不独立解：独立性检验中的假设是H 0：A ，B 独立，当我们拒绝H 0时，A ，B 就相关了．故选C .(2)下列说法中正确的是( )①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是选取一个假设H 0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H 0的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．A．①②B．①③C．②③D．①②③解：假设检验的基本思想是：“在一次试验中，小概率事件不可能发生”，若小概率事件发生了，则有理由认为原假设不成立，故①②正确，当小概率事件没有发生，则不能拒绝原假设但也不能够肯定原假设，此时结论不明确，③不正确．故选A.【点拨】如果K2的观测值k很大，则断言H0不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H0.(1)想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应检验( )A．H0：男生喜欢参加体育活动B．H0：女生不喜欢参加体育活动C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关解：独立性检验中的假设是喜欢参加体育活动与性别无关，当我们拒绝喜欢参加体育活动与性别无关时，喜欢参加体育活动与性别就相关了．故选D.(2)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法均不正确解：独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误．有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，也可以说这个结论出错的概率为0.05以下，这是数学中的统计思维与确定性思维差异的反映．故选C.类型四独立性检验(2015·福建模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，能否有95%的把握认为“成绩与班级有关系”？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P (K 2≥k 0)0.05 0.01 k 03.8416.635解：(1)列联表如下：优秀非优秀总计甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计3075105(2)根据列联表中的数据，得K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．【点拨】在利用2×2列联表计算K 2的值之前，应先假设两个分类变量是无关的，最后再利用K 2的值的大小对二者关系进行含概率的判断．(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )成绩性别不及格及格总计男 6 14 20 女 10 22 32 总计16 3652视力性别好差总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652智商性别偏高正常总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量解：K21＝52×（6×22－14×10）216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，K22＝52×（4×20－16×12）216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，K23＝52×（8×24－12×8）216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，K24＝52×（14×30－6×2）216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有K24>K22>K23>K21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．故选D.1．线性回归分析的方法、步骤(1)画出两个变量的散点图；(2)求相关系数r，并确定两个变量的相关程度的高低；(3)用最小二乘法求回归直线方程yˆ＝bˆx＋aˆ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x byax nxy x nyxxxyyxxbniiniiiniiniii(4)利用回归直线方程进行预报．注：①对于非线性(可线性化)的回归分析，一般是利用条件及我们熟识的函数模型，将题目中的非线性关系转化为线性关系进行分析，最后还原．②利用相关指数R2＝1－∑∑==--niiniiiyyyy1212)()ˆ(刻画回归效果时，R2越大，意味着残差平方和∑=-niiiyy12)ˆ(越小，模型的拟合效果越好．2．独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x与y没有关系；(2)计算出K2的观测值，其中K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）；(3)把K 2的值与临界值比较，作出合理的判断． 3．独立性检验的注意事项(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．(2)在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．(3)对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高y(单位：cm)与年龄x(单位：岁)的回归方程为y ˆ＝7.19x ＋73.93.用这个方程预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A ．身高一定是145.83 cmB ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 以下D ．身高在145.83 cm 左右解：回归模型的预报值是一种估计值，故选D .2．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的回归系数为bˆ，回归截距是aˆ，那么必有( ) A ．bˆ与r 的符号相同 B ．a ˆ与r 的符号相同 C ．bˆ与r 的符号相反 D ．a ˆ与r 的符号相反解：根据bˆ和r 的定义公式可知A 正确，故选A . 3．设()x 1，y 1，()x 2，y 2，…，()x n ，y n 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点（x ，y ）解：选项具体分析结论A 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确 B相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在－1到0之间时，两个变量为负相关不正确Cl 两侧的样本点的个数分布与n 是奇是偶无关，也不一定是平均分布不正确D 由于aˆ＝y －b ˆx ，即y ＝b ˆx ＋a ˆ，因正确故选D .4．在对两个分类变量A 与B 进行的独立性检验中，当K 2＞3.841时，我们认为A 与B ( ) A ．有95%的把握有关 B ．有99%的把握有关 C ．没有理由说它们有关 D ．不确定解：∵K 2>3.841，∴有95%的把握认为A ，B 有关．故选A .5．如果女大学生身高x (cm)与体重y (kg)的关系满足线性回归模型y ＝0.85x －88＋e ，其中|e |≤4，如果已知某女大学生身高160 cm ，则体重预计不会低于( )A ．44 kgB ．46 kgC ．50 kgD ．54 kg解：由||e ＝||y －0.85x ＋88≤4，得0.85x －92≤y ≤0.85x －84，当x ＝160时，44≤y ≤52.故选A . 6．(2013·湖北模拟)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－20x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( ) A.12B.13C.14D.15 解：易得x ＝8.5，y ＝80，故a ^＝y －b ^x ＝80－(－20)×8.5＝250，∴y ^＝－20x ＋250，写成y ^＋20x －250＝0，令f (x ，y )＝y ＋20x －250，由f (0，0)＜0且点(0，0)在回归直线的左下方可知，满足f (x ，y )＜0的数据点均在回归直线的左下方，逐一验证可知使f (x ，y )＜0的是(8.2，84)和(9，68)两组数据点．故所求概率为P ＝26＝13.故选B . 7．某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.669，则所得到的统计学结论是：有________%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．附：P (K 2≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 02.7063.841 5.024 6.635 10.828解：因为6.669与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．故填99.8．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2为________．解：此时回归方程为yˆ＝bx ＋a ，故y ˆi ＝y i ，∴R 2＝1－∑∑==--n i ini i iy yyy1212)()ˆ(=1.故填1.9. 对于数据：x 1 2 3 4y 2 3 4 5两位同学分别给出了拟合直线y ˆ=x +1和y ˆ=0.9x +1.2，试利用“最小二乘法”理论解释两条直线的拟合效果.解：对于拟合直线yˆ=x +1：∑=-412)ˆ(i i iyy=0. 对于拟合直线yˆ=0.9x +1.2： ∑=-412)ˆ(i i iyy=(-0.1)2+02+0.12+0.22=0.06＞0，因而拟合直线yˆ=x +1的拟合效果更好. 事实上，拟合直线yˆ=x ＋1应是针对这组数据的所有拟合直线中最优的． 10．(2015·河北模拟)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“应用统计”课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．(参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d)解：(1)∵K 2＝55×（20×20－10×5）230×25×25×30≈11.978>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(2)设所抽样本中有m 个男生，则630＝m 20，得m ＝4，∴样本中有4个男生，2个女生．从中任选2人有C 26＝15种情形，其中恰有1个男生和1个女生的有C 14·C 12＝8种情形，所求概率P ＝815.11．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），P(K 2≥k)0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762. 由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． (2)从5名数学系学生中任取3人有C 35＝10种情形，其中至多有1人喜欢甜品的有C 33＋C 12C 23＝7种，故所求概率P ＝710.(2015·贵州模拟)某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩按优秀和不优秀分类：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？(2)将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E(X)．P(K 2≥k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1) 语文优秀语文不优秀总计外语优秀 60 100 160 外语不优秀140 500 640 总计200600800∵K 2＝800160×640×200×600≈16.667>10.828，∴能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系．(2)由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是38，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，38，P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫38k ⎝ ⎛⎭⎪⎫583－k ，k ＝0，1，2，3. X 的分布列为E(X)＝3×38＝98.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列抽样中不是系统抽样的是( )A ．从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样B ．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验C ．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D ．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相同)座位号为14的观众留下来谈解：选项C 为简单随机抽样，其余选项为系统抽样．故选C .2．有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号可以是( ) A ．5，10，15，20，25 B ．5，15，20，35，40 C ．5，11，17，23，29 D ．10，20，30，40，50 解：间隔为10.故选D .3．(2015·湖南模拟)某工厂有3个车间，在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行检查，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即3600×13＝1200(双)．故选C .4．在检验某产品直径尺寸的过程中，将尺寸数据分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图上的高为h ，则|a －b |＝( )A.m hB.h mC ．mhD ．与h ，m 无关解：根据频率分布直方图的概念可知，|a －b |×h ＝m ，由此可知|a －b |＝m h.故选A .5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解：因为所有点都分布在一条直线上，说明相关性很强，且正相关系数达到最大值，即为1.故选D .6．(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生的近视人数分别为( )A ．100，10B ．200，10C ．100，20D ．200，20解：样本容量为(3500＋4500＋2000)×2%＝200，抽取的高中生人数为2000×2%＝40，由于高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.综上知，故选D .7．通过随机询问110男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n （ad －bc 2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解：由K 2≈7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)＝0.010，故由独立性检验的意义可知，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A .8．(2015·兰州模拟)对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12解：依题意可知样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18.故选B . 9．(2013·湖北)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解：当y 与x 正相关时，应满足斜率大于0；当y 与x 负相关时，应满足斜率小于0，故①④一定不正确．故选D .10．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解：样本数据每个都加2后所得数据的波动情况并没有发生改变，所以标准差不变．故选D .11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为s 21＝15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，s 22＝15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 正确；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C .12．(2013·福建)已知x 与y x 1 2 3 4 5 6y2 13 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′解：由题意得n ＝6，x ＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y ＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ^＝∑∑==--ni i ni i i x n xyx n y x 1221＝58－45.591－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13.∵直线y ＝b ′x ＋a ′过两点(1，0)和(2，2)，∴b ′＝2－02－1＝2，把点(1，0)代入y ＝2x ＋a ′得a ′＝－2.通过比较可得b ^<b ′，a ^>a ′.故选C .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为4 800×38＝1 800件．故填1800.14．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出的职工号码为____________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本方差为____________．解：(1)由分组可知，抽号的间隔为8，又第1组抽出的号码为2，所以所有被抽出的职工号码为2，10，18，26，34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.故填2，10，18，26，34；62.15．(2015·江苏模拟)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是____________．解：由频率分布直方图知，随机抽取的200名学生中成绩小于60分的学生人数是(0.002＋0.006＋0.012)×10×200＝40，设这3000名学生中该次数学成绩小于60分的学生人数为x ，则40x ＝2003 000，解得x ＝600.故填600.16．(2015·武汉模拟)利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查．经过计算得K 2≈3.855，那么，在犯错误的概率不超过____________的前提下认为用电脑时间与视力下降有关系.。

高考数学第十一章第二节证明不等式的基本方法课时

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学第十一章第二节证明不等式的基本方法课时提升作业理新人教A 版一、选择题1.设a>b,a+b>0，则下列不等式中不一定成立的是( ) (A)a 2>ab>-a 2(B)2a b >2a-b(C)a 2>b 2(D)2b a>2b-a2.(2013·孝感模拟)已知a,b,m 是正实数，则不等式b m ba m a+<+ ( ) (A)当a>b 时成立(B)当a<b 时成立 (C)是否成立与m 有关(D)一定成立3.设实数a,b,c 满足:a+b+c=0且abc ≠0，则必有( ) (A)abc>0(B)13(a+b+c)(C)ab+bc+ac<0 (D)a 3+b 3+c 3>abc4.若x 2+xy+y 2=1,且x,y ∈R,则n=x 2+y 2的取值范围是( ) (A)0＜n ≤1 (B)2≤n ≤3 (C)n ≥2(D)23≤n ≤25.已知a,b 为正实数，x y ==则有( ) (A)x<y(B)x ≤y(C)x ≥y(D)x>y6.已知a ＞0，b ＞0，m n p===则m ，n ，p 的大小顺序是 ( ) (A)m ≥n ＞p (B)m ＞n ≥p (C)n ＞m ＞p(D)n ≥m ＞p7.x y zP x 1y 1z 1=+++++(x>0,y>0,z>0)与3的大小关系是( )(A)P ≥3 (B)P=3 (C)P<3 (D)P>38.(2013·武汉模拟)设a,b,c 为正实数，且a+b+c=1，若111M (1)(1)(1)a b c=---，则必有( ) (A)0≤M<18(B)18≤M<1 (C)1≤M<8(D)M ≥89.已知函数f(x)=-2x+1，对于任意正数ε，使得|f(x 1)-f(x 2)|<ε成立的一个充分但不必要条件是( ) (A)|x 1-x 2|<ε (B)|x 1-x 2|<2ε (C)|x 1-x 2|<4ε(D)|x 1-x 2|>4ε 10.设a,b 是正实数，以下不等式:2ab;a b>+②a>|a-b|-b;③a 2+b 2>4ab-3b 2; ④ab+2ab>2.其中恒成立的序号为( ) (A)①③(B)①④(C)②③(D)②④11.设a,b,c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+3)2＞2a 2+6a+11(B)221a a +≥1a a+ (C)|a-b|+1a b-≥2≤二、填空题12.设x=a 2b 2+5，y=2ab-a 2-4a ，若x>y ，则实数a,b 应满足的条件为________.13.若{a n }是各项都为正的等比数列，且公比q ≠1,则a 1+a 4与a 2+a 3的大小关系是________. 14.已知a,b,c 为正实数，则111a b c +++的大小关系是________. 15.已知α，β是实数，给出下列四个论断:①|α+β|=|α|+|β|;②|α-β|≤|α+β|;③|α|>|β|> ④|α+β|>5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 三、解答题16．(2013·荆州模拟)(1)设x 是正实数，求证:(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值. 答案解析1.【解析】选B.由条件a>b,a+b>0可知，b 的符号不确定，故不等式2a b>2a-b 不一定成立.2.【解析】选B.∵b m b ,a m a +<+∴b m b0,a m a+-<+ 即(a b)m0,a(a m)-<+∵a>0,b>0,m>0,∴a-b<0,即a<b,故选B.3.【解析】选C.∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0, 即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=0, ∴ab+bc+ac=2221(a b c ).2-++ ∵abc ≠0,∴a 2+b 2+c 2>0,∴ab+bc+ac<0.【变式备选】已知x>y>z,且x+y+z=0，则下列不等式恒成立的是( ) (A)xy>yz (B)xz>yz (C)xy>xz(D)x|y|>z|y|【解析】选C.由x+y+z=0，且x>y>z 得x>0,z<0,而y>0,y=0，y<0均有可能.若y=0,A,D 错误. 又x>y,z<0，所以xz<yz,因此B 错误，同理C 正确.4.【思路点拨】可利用22x y xy 2+≤建立关于n 的不等式,同时要注意隐含条件(x+y)2≥0.【解析】选D.∵x 2+y 2≥2xy, ∴1=x 2+y 2+xy ≤223x y 2+()，即n ≥2.3又∵(x+y)2=x 2+y 2+2xy=n+2(1-n)≥0，∴n ≤2,∴23≤n ≤2. 5.【思路点拨】化简y 6-x 6，配方后判断符号得出答案.【解析】选A.∵y 6-x 6=66-=(a 2+b 2)3-(a 3+b 3)2=a 6+3a 4b 2+3a 2b 4+b 6-a 6-2a 3b 3-b 6=3a 2b 2(a-b)2+4a 3b 3>0，6.【解析】选A.由已知，m n=+=得a=b ＞0时m=n ，可否定B ，C.比较A ，D 项，不必论证m,n 与p 的关系.取特值a=4，b=1，则19m 422=+=， n=2+1=3，∴m ＞n ，可排除D. 7.【解析】选C.∵x>0,y>0,z>0, ∴x y z x 1y 1z 1P 3.x 1y 1z 1x 1y 1z 1+++=++<++=++++++故选C. 8.【解析】选 D.由已知得a b c a b c a b c M (1)(1)(1)a b c ++++++=-⋅-⋅-=(b c)(a c)(a b)abc+++≥abc=8.【变式备选】已知a ，b ∈(0,+∞)，且a+b=1，求证:(1)111a b ab++≥8. (2)a 2+b 2≥1.2(3)2211a b+≥8.(4)2211(a )(b )a b +++≥25.2(5)11(a )(b )a b ++≥25.4≤【思路点拨】以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab 或1ab ，因此只要利用a+b=1得出ab 及1ab的范围，就能够证出以上六个不等式.【证明】由a b2a b1a,b(0,)+⎧≥⎪⎪+=⎨⎪∈+∞⎪⎩，，12≤⇒ab≤14⇒1ab≥4.(1)∵111111(a b)()a b ab a b ab ++=+++≥∴111a b ab++≥8.(2)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1112,42-⨯=∴a2+b2≥1.2(3)∵2211a b+≥2ab≥8,∴2211a b+≥8.(4)由(2)、(3)的结论，知2222221111(a)(b)a b4a b a b+++=++++≥12548,22++=∴2211(a)(b)a b+++≥25.2(5)方法一:欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,即证4(ab)2-33ab+8≥0，即证ab≤14或ab≥8.∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立.∵1=a+b≥∴ab≤14，从而得证.方法二:∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥∴ab≤1,4221125a1b125(a)(b)a b4a b4++++-=⋅-=224a b33ab8(14ab)(8ab)4ab4ab-+--=≥0.∴11(a)(b)a b++≥25.4方法三:∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥∴ab ≤1,4∴1-ab ≥13144-=⇒(1-ab)2≥916⇒ 225(1ab)1,1614,ab⎧-+≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩⇒2(1ab)1ab -+≥25,4 即11(a )(b )a b ++≥25.4(6)方法一:∵x>0,y>0,∴x+y≥∴2(x+y)≥(x+y)+2=由此得=方法二:≤即证28,≤即证2(a+b)+2+8,∵a+b=1≤2, 2,只需证ab ≤1,4而a>0,b>0,1=a+b ≥ ∴ab ≤14显然成立，故原不等式成立. 9.【解析】选C.由|f(x 1)-f(x 2)|=|(-2x 1+1)-(-2x 2+1)|=2|x 1-x 2|<ε知|x 1-x 2|<,2ε∴选项A 是必要但不充分条件，选项B 是充要条件，选项C 是充分但不必要条件，选项D 是既不充分也不必要条件. 10.【解析】选D.∵a>0,b>0,∴a+b ≥∴2abab,a b2ab≤=+故不等式①缺等号，不恒成立，因此排除选项A，B，又∵(a2+b2)-(4ab-3b2)=a2-4ab+4b2=(a-2b)2≥0,故不等式③也缺等号，也不恒成立，因此又排除选项C，故选D.11.【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2＜0，故A不成立;在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a⇐(a4-a3)+(1-a)≥0⇐a3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a2+a+1)≥0，所以B项中的不等式恒成立;对C项中的不等式，当a＞b时，恒成立，当a＜b时，不成立;a3a1+++a2a++恒成立,知D项中的不等式恒成立.故选C.12.【解析】若x>y,则x-y=a2b2+5-(2ab-a2-4a)=a2b2-2ab+a2+4a+5=(ab-1)2+(a+2)2>0,∴ab≠1或a≠-2.答案:ab≠1或a≠-2【方法技巧】1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时，常用作商比较法.(3)利用作商比较法时，要注意分母的符号.13.【解析】(a1+a4)-(a2+a3)=a1+a1q3-a1q-a1q2=a1(1+q)(1-q)2,∵a n>0,∴q>0,又q≠1,∴a1(1+q)(1-q)2>0,即a1+a4>a2+a3.答案:a1+a4>a2+a314.【解析】因为111, a b ab +≥11b c+≥11a c +≥ 三式相加可得111a b c ++ 答案:111a b c ++15.【解析】①③成立时，|α+β|=|α|+|β|>∴④成立.又由①，知αβ>0,∴|α-β|≤|α+β|成立，即②成立，同理②③⇒①④.答案:①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可) 16．【解析】(1)因为x 是正数，由基本不等式知，x+1≥1+x 2≥2x,x 3+1≥故(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥2x ⋅=8x 3(当x=1时等号成立).(2)若x ∈R,不等式(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥8x 3仍然成立. 由(1)知，当x>0时，不等式成立;当x ≤0时，8x 3≤0. 而23(x 1)(x 1)(x 1)+++ =(x+1)2(x 2+1)(x 2-x+1) =(x+1)2(x 2+1)［213(x )24-+］≥0, 此时不等式仍然成立.【方法技巧】不等式证明的方法与技巧(1)不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式最基本的方法.①比较法证不等式有作差(商)、变形、判号、结论四个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证. ②综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.(2)不等式证明还有一些常用的技巧:拆项、添项、逆代、换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中提取.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.(3)证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.在证明的过程中要正确运用不等式的有关性质及重要的结论.。

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单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．下列命题正确的是( ) ①(－i )2＝－1； ②i 3＝－i ；③若a >b ，则a ＋i >b ＋i ； ④若z ∈C ，则z 2>0.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②④ 答案 A 2.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于( ) A ．7 B ．15 C ．31 D ．63 答案 D解析由程序框图可知，本算法动行5次，每次将2B ＋1的值再赋给B ，B 的值依次为1,3,7,15,31,63.3．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则有(x ＋y )n ＝x n ＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) 答案 D4．一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2009个圆中实心圆的个数为( )A ．59B ．60C ．61D ．62 答案 C解析将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2009个圆中实心圆的个数，因此，找到第2009个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝2＋622×61＝1952<2009，而2＋3＋…＋63＝2＋632×62＝2015>2009，因此，共有61个实心圆，故选C. 5．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均为x n ＋1＝f (x n )，则x 2008＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 答案 D解析探求周期性：x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…数列{x n }是周期为4的周期数列，x 2008＝x 0＝5.6．数列{a n }，已知a 1＝1，当n ≥2时a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1 D ．4n －3 答案 B解析计算出a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2，故选B.7．已知a 是实数a ＋i1－i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 2 答案 A解析 a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )2＝(a －1)＋(a ＋1)i 2是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，故a ＝1.8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，则在图中判断框中①处和执行框中的②处应填的语句分别为( )A ．①i ＞30，②p ＝p ＋iB ．①i ＜30，②p ＝p ＋iC ．①i ≤30，②p ＝p ＋iD ．①i ≥30，②p ＝p ＋i 答案 A解析因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i 是计数变量，因为判断框内的条件就是限制计数变量i 的，这个流程图中判断框的向下的出口是不满足条件继续执行循环，故应为i ＞30.算法中的变量p 实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i 个数比其前一个数大i －1，第i ＋1个数比其前一个数大i ，故应有p ＝p ＋i .故①处应填i ＞30；②处应填p ＝p ＋i .9．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题( )A.sin A ＋sin C sin B ＝1eB.|sin A －sin C |sin B ＝eC.sin A ＋sin C sin B ＝eD.|sin A －sin C |sin B ＝1e答案 D解析由正弦定理和椭圆定义sin A ＋sin C sin B ＝|AB |＋|BC ||AC |＝2a 2c ，类比双曲线应有||AB |－|BC |||AC |＝|sin A －sin C |sin B ＝1e.10．设m 、n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧α∥βα∥γ⇒β∥γ；②⎩⎪⎨⎪⎧α⊥βm ∥α⇒m ⊥β； ③⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎩⎪⎨⎪⎧m ∥n n ⊂α⇒m ∥α. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④ 答案 C解析用排除法，①⎩⎪⎨⎪⎧ α∥βα∥γ⇒β∥γ是对的，故排除B 项和D 项，②⎩⎪⎨⎪⎧α⊥βm ∥α⇒m ⊥β是错的，此时m 和平面β可以是平行、相交或m 在平面β内，又排除A 项．故选C.11.已知如图所示的程序框图(未完成)．设当箭头a 指向①时，输出的结果为s ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果为s ＝n ，则m ＋n ＝( )A ．30B ．20C ．15D ．5 答案 B解析 (1)当箭头a 指向①时，输出s 和i 的结果如下： s 0＋1 0＋2 0＋3 0＋4 0＋5 t 2 3 4 5 6∴s ＝m ＝5.(2)当箭头a 指向②时，输出s 和i 的结果如下：s 0＋1 0＋1＋2 0＋1＋2＋3 0＋1＋2＋3＋4 0＋1＋2＋3＋4＋5 t 2 3 4 5 6∴s ＝n ＝1＋2＋3＋4＋5＝15.于是m ＋n ＝20.12．(2010·厦门华侨中学)定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A )、(B )所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D 答案 B 解析由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2010·江苏前黄高中)某同学准备用反证法证明如下问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12，那么它的假设应该是______________．答案 “∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12”14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a ，b ，c ，p 均为非零实数，设直线BP ，CP 分别与边AC ，AB 交于点E 、F ，某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b －1c)x＋(1p －1a )y ＝0，请你完成直线OF 的方程：(__________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析事实上，由截距式可得直线AB 的方程：x b ＋y a ＝1，直线CP 的方程：x c ＋yp＝1.将两式相减，得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y ＝0.显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程．故上述方程为所求直线OF 的方程．15．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝__________.答案 n －m b n a m解析等差数列中bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中bn －am n －m可以类比等比数列中的n －m b n a m.16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”，如下图．设第n 个图有a n 个树枝，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．答案 a n ＋1＝2a n ＋2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0. 解析假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，① 又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0， ∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.18．(1)根据程序框图编写计算程序并说明程序的运算功能；(2)求当a ＝98，b ＝63时，该程序结束的结果．解析 (1)NIPUT “a ＝，b ＝”；a ，b WHILE a <>b IF a >b THENa ＝a －b ELSE b ＝b －a END IF WENDPRINT “a ＝，b ＝”；a ，b END运算功能：求两个数的最大公约数(更相减损术)．(2)98－63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝21,21－7＝14,14－7＝7，∴98和63的最大公约数等于7，即程序结果为a ＝7，b ＝7.19．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21－a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12， (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．解析 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n. (2)构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而证得：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n. 20．(本小题满分12分)(1)证明：当a >1时，不等式a 3＋1a 3>a 2＋1a2成立；(2)要使上述不等式a 3＋1a 3>a 2＋1a2成立，能否将条件“a >1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；(3)请你依据(1)、(2)的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明．分析作差比较是证明不等式的最基本方法，本题第(1)问通过左右两式之差是否大于零的证明，得出结论成立；再从第(1)问的证明过程发现其中的条件“a >1”能放宽，从而回答第(2)问，并得到第(3)问的答案．解析 (1)a 3＋1a 3－a 2－1a 2＝1a 3(a －1)(a 5－1)．∵a >1，∴1a3(a －1)(a 5－1)>0，∴原不等式成立．(2)∵a －1与a 5－1同号，1a3(a －1)(a 5－1)>0对任何a >0且a ≠1恒成立，∴上述不等的条件可放宽为a >0且a ≠1.(3)根据(1)(2)的证明，可推知：若a >0且a ≠1，m >n >0，则有a m ＋1a m >a n ＋1an .证明：左式－右式＝a m －a n ＋1a m －1an＝a n (a m －n －1)－1am (a m －n －1)＝1a m (a m －n －1)(a m ＋n －1)．若a >1，则由m >n >0⇒a m －n >1，a m ＋n >1⇒不等式成立；若0<a <1，则由m >n >0⇒0<a m －n <1,0<a m ＋n <1⇒不等式成立．21．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1＝32，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1. (1)求证：1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n，n >2，证明：S n <2.解析 (1)解法一要证1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，只要证1a n ＋1－1＝1a n －1－1a n ＝1a n (a n －1)，只要证a n ＋1－1＝a n (a n －1)，只要证a n ＋1＝a 2n －a n ＋1，根据已知条件，得证．解法二 ∵a n ＋1＝a 2n －a n ＋1＝a n (a n －1)＋1，∴a n ＋1－1＝a n (a n －1)，∴1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n.∴1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1. (2)由(1)知，1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，∴S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝(1a 1－1－1a 2－1)＋(1a 2－1－1a 3－1)＋…＋(1a n －1－1a n ＋1－1)＝1a 1－1－1a n ＋1－1＝2－1a n ＋1－1. ∵a n ＋1－a n ＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2≥0，且a 1＝32>1， ∴a n ＋1>a n >1，∴2－1a n ＋1－1<2，即S n <2.22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．解析 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n －1)＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n)，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 ＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n .。

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