23数学归纳法

2.3 数学归纳法
第一课时 数学归纳法原理
[教学目标]
一、知识与技能：了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤，会用数学归纳法证明有关自然数的等式命题
二、过程与方法：通过实例说明数学归纳法原理及注意事项
三、情感态度和价值观：体会有关自然数命题证明中的数学归纳法
[教学难点]数学归纳法的原理注意事项
[教学重点]数学归纳法原理。

[教学过程]
【创设情境】
1．小孩子数数：小孩子识数，先学会1个、2个、3个，过些时候可以数到10了，又过些时候，会数到20、30、……、100了。

但后来不是一段一段的增长，而是飞跃前进，直到有一天，他会说：“我什么数也会数了”，这一飞跃竟然从有限过渡到了无限！为什么呢？首先，他知道从头数；其次，他知道一个个按次序数，而且不愁数了一个数后，下一个数不会数，也就是领悟了用上一个数表示下一个数的方法。

从而什么数也会数了。

2．“多米诺骨牌实验”：第一个推倒，而且第一个倒后，能保证击倒下一个，就能保证所有的都倒了。

将以上思路的核心是两点：一是初始情况成立，二是能保证前一个成立能倒出后一个也成立，将这一思路加以抽象，就是数学归纳法。

标题：数学归纳法
【探索研究】
一、数学归纳法原理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

【例题评析】
例1：求证：12+22+32+……+n 2=6
1n(n+1)(2n+1) 说明：①数学归纳法的第一部到假设，用的是不完全归纳法，所以验证几个值与一个值是等效的（具体根据情况来确定验证的个数）
②第二步由假设P(k)真导P(k+1)真，进而验证所有的整数真，是演绎推理过程。

因而，数学归纳法是合归纳与演绎为一体的推理。

练习1：求证∑=n k k 1
3=2
2)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n 练习2：设f(n)=1+11123n ++⋅⋅⋅,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n ∈N,n ≥2) 例2、教材P88---2
说明1、数学归纳法证明问题时，必须验证第一步初始情况
说明2：第二步必须用假设，不用假设不能保证前一个成立能导出后一个成立
练习：用数学归纳法证明()()()()()*+++=⋅⋅⋅⋅-∈n n 1n 2n n 2132n 1,n N
[课堂小结]1、 数学归纳法原理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

2、用数学归纳法可以证明与自然数有关的一些数学问题，注意验证第一步，第二步要用假设
[作业]教材P91----1,2,7,8
[补充习题]
1、f(n)= 11111232n n n n
+++⋅⋅⋅++++,则f(n+1)-f(n)=_____________ 2、P(n)是关于自然数的命题，且P(n)真⇒P(n+1)真，若P(4)假，则一定假的有_________
3、已知数列{a n }满足a 1=1,a n =3n-1+a n-1(n ≥2)，通过计算a 2,a 3,猜想a n 通项公式，并证明
[补充题答案]
1、2
21121+-+n n ； 2、P(0)、P(1)、P(2)、P(3)、P(4)； 3、a n =213-n
第二课时 数学归纳法证明问题的题型
[教学目标]
一、知识与技能：会用数学归纳法证明整除、几何及一些自然数的命题，了解数学归纳法是证明有关自然数命题的一些方法
二、过程与方法：通过实例来说明应用
三、情感态度与价值观：体会数学归纳法应用中计算——猜想——证明（常用的数学归纳法）
[教学难点、重点]题型
[教学过程]
一、复习数学归纳法证明问题的步骤
二、典型例题
例1、设n 为正整数，f(n)=5n +2×3n +1 (1)计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，并求其最大公约
数；(2)猜想f(n)的最大公约数，并证明
通过此例主要说明在“计算——猜想——证明”这一完整的思路中，证明最常用的方法是数学归纳法。

练习1：求数列{n 3
+5n}的最大公约数，并证明
练习2：求证: 121(1)n n a
a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +） 例2、平面上有n 条线段，任何两条直线都相交，任何三条不过同一点，问：这n 条直线将平面分成多少个部分？ 说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。

练习：教材P90---练习3
例3、f(k)表示关于x 的不等式log 2x+log 2(3×2k-1-x)≥2k-1(k ∈N *)的解集中整数解的个数
(1) 求f(k)的解析式
(2) 求S n =f(1)+f(2)+……+f(n)
(3) 令P n =n 2+n-1,比较S n 与P n 的大小
解：(1)原不等式表示为log 2[x(3×2k-1-x)]≥2k-1,x 2-3×2k-1x+22k-1≤0，2k-1≤x ≤2k ,f(2)=2k -2k-1+1 =2k-1+1
(2)S n =2n -1+n
(3)S 1=2,P 1=1,S 1>P 1; S 2=5,P 2=5,S 2=P 2; S 3=10,P 3=11,S 3<P 3;S 4=19,P 4=19,S 4=P 4;
S 5=36,P 5=29,S 5>P 5
猜想，n ≥4时，S n ≥P n
证明：①由上验证，n=4时，命题成立
②假设n=k(k ≥4)时，命题成立，即S k ≥P k ⇔2k -1+k ≥k 2+k-1⇔2k ≥k 2,
则S k+1=2k+1-1+k+1≥2k 2-1+k+1=2k 2+k ≥(k+1)2+(k+1)-1=P k+1(事实上，要证2k 2+k ≥
(k+1)2+(k+1)-1⇐k 2-2k-1≥0⇐k ≥1+2，∵k ≥4∴k ≥1+2成立 ∴S k+1≥P k+1)
由①、②知，n ≥4时，S n ≥P n
总之，当n=1及n ≥5时，S n >P n ；当n=2,4时，S n =P n ；当n=3时，S n <P n
说明：用假设后，分析P(k+1)真时k 满足的条件集合A ，如果A={k|k ≥t,t>n 0},需将假设修正为k ≥t ，从而第一步需多验证几个值，一直到t ；如果A={k|k ≤t}与k ≥n 0总有相悖的值存在，此时，该题不能用数学归纳法证明。

所以，数学归纳法是用来证明一些与自然数有关的命题的一种方法。

三、小结：数学归纳法是用来证明与一些自然数有关的命题的一种方法，从第一步验证到假设，用的是归纳，从假设到推理出P(k+1)真进而验证对于满足条件的自然数真，用的是演绎，所以数学归纳法是合演绎与归纳为一体的一种必然推理。

四、作业：教材P91---3,4,5,6
[补充习题]
1、 证明(x+1)n+1+(x+2)2n-1(n 为正整数)能被x 2+3x+3整除
2、 求证：平面上n 边形内角和为(n-1)1800 (n ≥3)
3、 设数列{a n }满足⎪⎩
⎪⎨⎧+==+n n n a a a a 1211(1)求证a n >12+n 对一切正整数n 成立 (2)令b n =n a n ,判断b n 与b n+1的大小关系，并证明
[补充习题答案]
3(2)b n+1<b n。