内蒙古乌海市2019-2020学年中考数学四模试卷含解析

内蒙古乌海市2019-2020学年中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．方差
3．2018年，我国将加大精准扶贫力度，今年再减少农村贫困人口1000万以上，完成异地扶贫搬迁280万人．其中数据280万用科学计数法表示为( ) A ．2.8×105
B ．2.8×106
C ．28×105
D ．0.28×107
4．给出下列各数式，①2?--（） ②2-- ③2 2- ④
22-（） 计算结果为负数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5．如图，数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点，其中点P 所表示的数为a ，则数-3a 所对应的点可能是( )
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q
6．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．
A ．6055
B ．6056
C ．6057
D ．6058
7．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）
A ．2015
1
()
2
B ．20162(
) C ．20152(
) D ．2016
1()
2
8．在平面直角坐标系中，点P （m ﹣3，2﹣m ）不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．如图，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则∠1的度数可能是( )
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47
10．一组数据是4，x ，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（ ） A ．4
B ．5
C ．10
D ．11
11．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何。

”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问木条长多少尺”，设绳子长x 尺，木条长y 尺，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A ． 4.51
12x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ B ． 4.5
1
12x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ． 4.5
112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
D ． 4.5
1
12x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
12．2017年，小榄镇GDP 总量约31600000000元，数据31600000000科学记数法表示为（ ） A ．0.316×1010
B ．0.316×1011
C ．3.16×1010
D ．3.16×1011
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为_____．
14．某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%，这款商品的标价为1000元，则进价为 ________元。

15．如图，已知点A （2，2）在双曲线上，将线段OA 沿x 轴正方向平移，若平移后的线段O'A'与双曲线的交点D 恰为O'A'的中点，则平移距离OO'长为____．
16．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_________
17．关于x的分式方程
3
1
11
m
x x
+=
--
的解为正数，则m的取值范围是___________．
18．若式子x2
-在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知矩形ABCD中，连接AC，请利用尺规作图法在对角线AC上求作一点E使得△ABC∽△CDE．（保留作图痕迹不写作法）
20．（6分）如图所示，直线y=﹣2x+b与反比例函数y=k
x
交于点A、B，与x轴交于点C．
（1）若A（﹣3，m）、B（1，n）．直接写出不等式﹣2x+b＞k
x
的解．
（2）求sin∠OCB的值．
（3）若CB﹣CA=5，求直线AB的解析式．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k为负整数．求k的值；如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
22．（8分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=3
4
，CD=a，请用a表示⊙O的半径；
（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．
23．（8分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
24．（10分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)这次调查的市民人数为________人，m＝________，n＝________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．
25．（10分）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”，根据获奖情况绘制成如图1和图2所示的条形统计图和扇形统计图，并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
分数/分80 85 90 95
人数/人 4 2 10 4
根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)这次获得“刘徽奖”的人数是_____，并将条形统计图补充完整；
(2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是_____分，众数是_____分；
(3)在这次数学知识竟赛中有这样一道题：一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字“﹣2”，“﹣1”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x放回后再随机摸出一个小球，把小球上的数字记为y，把x作为横坐标，把y作为纵坐标，记作点(x，y)．用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率．
26．（12分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
27．（12分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB
求证：DC 是⊙O 的切线；若AB=9，AD=6，求DC 的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】 【详解】 由题意可知， 当03x ≤≤时，11
222
y AP AB x x =⋅=⨯=； 当35x <≤时，
ABE ADP EPC ABCD y S S S S ∆∆∆=---矩形()()1
11231233252
2
2
x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯-1922
x =-
+； 当57x <≤时，()11
27722
y AB EP x x =⋅=⨯⨯-=-.∵3x =时，3y =；5x =时，2y =.∴结合函数解析式， 可知选项B 正确. 【点睛】
考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积． 2．D 【解析】 【分析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。

【详解】
由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故选D ． 3．B 【解析】
分析：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，
n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
详解：280万这个数用科学记数法可以表示为62.810，⨯ 故选B.
点睛：考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键. 4．B 【解析】
∵①(2)2--=；②22--=-；③224-=-；④2(2)4-=； ∴上述各式中计算结果为负数的有2个. 故选B. 5．A 【解析】
解：∵点P 所表示的数为a ，点P 在数轴的右边，∴-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍，∴数-3a 所对应的点可能是M ，故选A ．
点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍． 6．D 【解析】 【分析】
设第n 个图形有a n 个O(n 为正整数),观察图形,根据各图形中O 的个数的变化可找出"a n =1+3n(n 为正整数)",再代入a=2019即可得出结论 【详解】
设第n 个图形有a n 个〇(n 为正整数)，
观察图形，可知：a 1＝1+3×1，a 2＝1+3×2，a 3＝1+3×3，a 4＝1+3×4，…， ∴a n ＝1+3n(n 为正整数)， ∴a 2019＝1+3×2019＝1． 故选：D ． 【点睛】
此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律7．A
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出2S2＝S1，根据数的变化找出变化规律“S n＝（1
2
）n﹣2”，依此规律即可
得出结论．
【详解】
如图所示，
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴2S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝1
2
S1＝2，S2＝
1
2
S2＝1，S4＝
1
2
S2＝
1
2
，…，
∴S n＝（1
2
）n﹣2．
当n＝2018时，S2018＝（1
2
）2018﹣2＝（
1
2
）3．
故选A．【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是利用图形找出规律“S n＝（1
2
）n﹣2”．
8．A
【解析】
【分析】
分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．【详解】
①m-3＞0，即m＞3时，
2-m＜0，
所以，点P（m-3，2-m）在第四象限；
②m-3＜0，即m＜3时，
2-m有可能大于0，也有可能小于0，
点P（m-3，2-m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故选A．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
9．A
【解析】
【分析】
连接正方形的对角线，然后依据正方形的性质进行判断即可．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形为正方形，
∴∠1＝45°．
∵∠1＜∠1．
∴∠1＜45°．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．B
【解析】
试题分析：（4+x+3+30+33）÷3=7，
解得：x=3，
根据众数的定义可得这组数据的众数是3．
故选B．
考点：3．众数；3．算术平均数．
11．A
【解析】
【分析】
本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-1
2
×绳长=1，据此列方程组即可求解．
【详解】
设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有
4.5
1
1
2
x y
y x
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
．
故选A．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．12．C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
31600000000＝3.16×1．故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1
【解析】
试题解析：如图，
∵菱形ABCD中，BD=8，AB=5，
∴AC⊥BD，OB=
1
2
BD=4，
∴22
AB OB
-，
∴AC=2OA=6，
∴这个菱形的面积为：
1
2
AC•BD=
1
2
×6×8=1．
14．500
【解析】
【分析】
设该品牌时装的进价为x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果.
解：设该品牌时装的进价为x 元，根据题意得：1000×
90%-x=80%x ，解得：x=500，则该品牌时装的进价为500元.
故答案为：500.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键.
15．1．
【解析】
【分析】
直接利用平移的性质以及反比例函数图象上点的坐标性质得出D 点坐标进而得出答案．
【详解】
∵点 A(2，2)在双曲线上，
∴k ＝4，
∵平移后的线段O'A'与双曲线的交点 D 恰为 O'A'的中点，
∴D 点纵坐标为：1，
∴DE ＝1，O′E ＝1，
∴D 点横坐标为：x ＝41
＝4， ∴OO′＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上的性质，正确得出D 点坐标是解题关键．
16．2.
【解析】
试题分析：已知方程x 2－2x 1m +-=0有两个相等的实数根,可得：△＝4－4（m －1）＝－4m ＋8＝0，所以，m ＝2.
考点：一元二次方程根的判别式.
17．2?m >且3m ≠.
【解析】
方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．【详解】
方程两边同乘以x-1，得，m-1=x-1，
解得x=m-2，
∵分式方程
3
1
11
m
x x
+=
--
的解为正数，
∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m-2＞0且m-2-1≠0，
∴m＞2且m≠1，
故答案为m＞2且m≠1．
18．x2
≥．
【解析】
【详解】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使x2
-在实数范围内有意义，必须x20x2
-≥⇒≥.
故答案为x2
≥
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．详见解析
【解析】
【分析】
利用尺规过D作DE⊥AC，，交AC于E，即可使得△ABC∽△CDE．
【详解】
解：过D作DE⊥AC，如图所示，△CDE即为所求：
【点睛】
本题主要考查了尺规作图，相似三角形的判定，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
20．（1）x＜﹣3或0＜x＜1；（2）25
5
；（3）y=﹣2x﹣5
【解析】
（1）不等式的解即为函数y=﹣2x+b 的图象在函数
y=k x
上方的x 的取值范围．可由图象直接得到． （2）用b 表示出OC 和OF 的长度，求出CF 的长，进而求出sin ∠OCB ．
（3）求直线AB 的解析式关键是求出b 的值．
【详解】
解：（1）如图：
由图象得：不等式﹣2x+b ＞k x
的解是x ＜﹣3或0＜x ＜1； （2）设直线AB 和y 轴的交点为F ．
当y=0时，x=2b ，即OC=﹣2
b ； 当x=0时，y=b ，即OF=﹣b ，∴2222()()2b OC OF b +=-+-52
b -，∴sin ∠OCB=sin ∠OCF=5OF CF b =-5255． （3）过A 作AD ⊥x 轴，过B 作BE ⊥x 轴，则AC=
52AD=52A y ，BC=5522B BE y =-，∴AC ﹣BC=52
（y A +y B ）=5x A +x B ）5b =﹣5，又﹣2x+b=k x ，所以﹣2x 2+bx ﹣k=0，∴2A B b x x +=，∴5×52b
﹣5，∴b=25-y=﹣2x ﹣5
【点睛】
这道题主要考查反比例函数的图象与一次函数的交点问题，借助图象分析之间的关系，体现数形结合思想的重要性．
21．（2）k=﹣2，﹣2．（2）方程的根为x 2=x 2=2．
【解析】
【分析】
（2）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可
得到k的值；
（2）将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．
【详解】
解：（2）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（2﹣k）≥0，
解得k≥﹣2．
∵k为负整数，
∴k=﹣2，﹣2．
（2）当k=﹣2时，不符合题意，舍去；
当k=﹣2时，符合题意，此时方程的根为x2=x2=2．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（2）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
22．（1）证明见解析；（2）
25
r a
48
；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可．
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=1
2
CD=
1
2
a，连接OC，设
圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r．
（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入等式左边整理即可得证．
【详解】
解：（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°．
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°．
∴OB⊥FB．
∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上．∴BF是⊙O的切线．
（2）∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F．
∵CD=a，OA⊥CD，
∴CE=1
2
CD=
1
2
a．
∵tan∠F=
3
4
，
∴
AE3
tan ACF
CE4
∠==，
即
AE3
14
a
2
=
．
解得
3
AE a
8
=．
连接OC，设圆的半径为r，则
3
OE r a
8
=-，
在Rt△OCE中，222
CE OE OC
+=，
即
22
2
13
a r a r
28
⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
解得
25
r a
48
=．
（3）证明：连接BD，
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），
∴∠DBG=∠F．
又∵∠FGB=∠FGB，
∴△BDG∽△FBG．
∴
DG GB
GB GF
=，即GB2=DG•GF．
∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF2﹣GB2=DF•GF．23．（1）10；1；（2）
15(02)
3030(211)
x x
y
x x
⎧
=⎨
-
⎩
剟
剟
；（3）4分钟、9分钟或3分钟．【解析】
（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【详解】
（1）（10-100）÷20=10（米/分钟），
b=3÷1×2=1．
故答案为：10；1．
（2）当0≤x≤2时，y=3x；
当x≥2时，y=1+10×3（x-2）=1x-1．
当y=1x-1=10时，x=2．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为
15(02)
3030(211)
x x
y
x x
⎧
=⎨
-
⎩
剟
剟
．
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．当10x+100-（1x-1）=50时，解得：x=4；
当1x-1-（10x+100）=50时，解得：x=9；
当10-（10x+100）=50时，解得：x=3．
答：登山4分钟、9分钟或3分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．
24．(1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．
【解析】
【分析】
（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A，C的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数．
试题分析：
试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，
（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，
补全条形统计图如下：
（3）100000×32%=32000（人），
答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．
25．（1）刘徽奖的人数为40人，补全统计图见解析；（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，
众数是90分；（3）P（点在第二象限）
2
9 ．
【解析】
【分析】
（1）先根据祖冲之奖的人数及其百分比求得总人数，再根据扇形图求出赵爽奖、杨辉奖的人数，继而根据各奖项的人数之和等于总人数求得刘徽奖的人数，据此可得；
（2）根据中位数和众数的定义求解可得；
（3）列表得出所有等可能结果，再找到这个点在第二象限的结果，根据概率公式求解可得．
【详解】
（1）∵获奖的学生人数为20÷10%=200人，∴赵爽奖的人数为200×24%=48人，杨辉奖的人数为
200×46%=92人，则刘徽奖的人数为200﹣（20+48+92）=40，补全统计图如下：
故答案为40；
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分．
故答案为90、90；（3）列表法：
∵第二象限的点有（﹣2，2）和（﹣1，2），∴P（点在第二象限）
2
9 ．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率、频数分布直方图以及利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．
26．BF的长度是1cm．
【解析】
【分析】
利用“两角法”证得△BEF∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
【详解】
解：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
∴BE
CD
＝
BF
CF
，
又∵AD＝BC＝260cm ,AB＝CD＝130cm ，AE＝60cm
∴BE＝70cm，CD＝130cm，BC＝260cm ，CF＝(260－BF)cm
∴
70
130
＝
260
BF
BF
－
，
解得：BF＝1．
即：BF的长度是1cm．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，关键要掌握：有两角对应相等的两三角形相似；两三角形相似，对应边的比相等．
27．（1）见解析；（2）5
【解析】
分析：
（1）如下图，连接OD，由OA=OD可得∠DAO=∠ADO，结合∠CAD=∠DAB，可得∠CAD=∠ADO，
从而可得OD ∥AC ，由此可得∠C+∠CDO=180°，结合∠C=90°可得∠CDO=90°即可证得CD 是⊙O 的切线；
（2）如下图，连接BD ，由AB 是⊙O 的直径可得∠ADB=90°
=∠C ，结合∠CAD=∠DAB 可得
△ACD ∽△ADB ，由此可得
AD AB CD BD =，在Rt △ABD 中由AD=6，AB=9易得BD=，由此即可解得CD 的长了.
详解：
（1）如下图，连接OD ．
∵OA=OD ，
∴∠DAB=∠ODA ，
∵∠CAD=∠DAB ，
∴∠ODA=∠CAD
∴AC ∥OD
∴∠C+∠ODC=180°
∵∠C=90°
∴∠ODC=90°
∴OD ⊥CD ，
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）如下图，连接BD ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=9，AD=6，
∴
∵∠CAD=∠BAD ，∠C=∠ADB=90°，
∴△ACD ∽△ADB ， ∴AD AB CD BD
=， ∴6
CD =
∴CD=
9
点睛：这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.。