道里区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

道里区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（，
﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1，则
cos 2
﹣sin
cos
﹣
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
2． 过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2
2
18
-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）
A ．2
y x = B ．2
2y x = C ．24y x = D ．2
3y x =
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
3． sin 3sin1.5cos8.5，
，的大小关系为（ ） A ．sin1.5sin 3cos8.5<< B ．cos8.5sin 3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin 3<<
D ．cos8.5sin1.5sin 3<<
4． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ． D ．上是减函数，那么b+c （ ）
A ．有最大值
B ．有最大值﹣
C ．有最小值
D ．有最小值﹣
6． 有以下四个命题：
①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．
③若x=y ，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
7． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（
，），
且a 2
＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）
B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）
C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）
8． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A ．
B ．y=﹣2x+5
C ．y=lnx
D ．y=
9． 设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2
项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37 10．已知奇函数()f x 是[1,1]-上的增函数，且1
(3)()(0)3f t f t f +->，则t 的取值范围是（ ） A 、1163t t ⎧
⎫-
<≤⎨⎬⎩⎭ B 、2433t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ C 、16t t ⎧⎫>-⎨⎬⎩
⎭ D 、2
13
3t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
11．已知集合A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则A ∩B=B 成立的实数a 的取值范围是（ ）
A ．{a|3≤a ≤4}
B ．{a|3＜a ≤4}
C ．{a|3＜a ＜4}
D ．∅ 12．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）
二、填空题
13．已知正四棱锥O ABCD -的体积为2，
则该正四棱锥的外接球的半径为_________
14．若函数f （x ）=x 2﹣2x （x ∈[2，4]），则f （x ）的最小值是 ．
15．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ．
16．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
17．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．
18．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．
三、解答题
19．如图在长方形ABCD 中，
是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，．
（1）若M 是AB 的中点，求证：与共线；
（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；
（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．
20．已知命题p ：“存在实数a ，使直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点”，命题q ：“存在实数a ，使点（a ，1）
在椭圆内部”，若命题“p 且¬q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
21．已知数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=（n ∈N *
）．
（1）求a 2，a 3，a 4；
（2）猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金． （1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？
23．已知函数f （x ）=sinx ﹣2sin 2
（1）求f （x ）的最小正周期；
（2）求f （x ）在区间[0，]上的最小值．
24．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x
f x x e a =+-.
（1）证明在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点
处的切线与轴平行,且在点
处的切线与直线
平行,（O 是坐标原点）,
证明:1m ≤
道里区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 A
【解析】解：∵|BC|=1，点B
的坐标为（
，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠
BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos
（
﹣α）
=
，﹣sin
（
﹣α）=
﹣
，
∴sin
（
﹣α）
=
．
∴cos α
=cos[
﹣（
﹣α）
]=cos
cos
（
﹣α）
+sin sin
（
﹣α）
=
+
=，
∴sin α
=sin[
﹣（﹣α）
]=sin
cos
（
﹣α）﹣
cos sin
（
﹣α）
=
﹣
=．
∴cos
2
﹣
sin
cos
﹣
=（2cos
2
﹣1
）﹣sin α
=cos α
﹣sin α
=
﹣
=，
故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
2． 【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则02>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，
解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x =． 3． 【答案】B 【解析】
试题分析：由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为
8.522
π
ππ<-<，所以cos8.50<，又()sin3sin 3sin1.5π=-<，
∴cos8.5sin3sin1.5
<<．
考点：实数的大小比较.
4．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
5．【答案】B
【解析】解：由f（x）在上是减函数，知
f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，
则
⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．
故选B．
6．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．
故真命题的序号为①②
故选：A．
7．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，
），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：对于A，函数y=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；
对于D，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．
故选：C．
【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．
9．【答案】D
【解析】
二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，
故含x2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．【答案】A
【解析】
考点：函数的性质。

11．【答案】A
【解析】解：∵A={x|a﹣1≤x≤a+2}
B={x|3＜x＜5}
∵A∩B=B
∴A⊇B
∴
解得：3≤a≤4
故选A
【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．
12．【答案】
【解析】选B.取AP 的中点M ， 则P A ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM
＝2sin x
2，
PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x
2
，
∴y ＝f （x ）＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin （x 2＋π
4），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，
故选B.
二、填空题
13．【答案】
11
8
【解析】因为正四棱锥O ABCD -的体积为22，设外接球的半径为R ，依轴
截面的图形可知：22211(2)(
)28
R R R =-+∴= 14．【答案】 0 ．
【解析】解：f （x ））=x 2﹣2x=（x ﹣1）2
﹣1，
其图象开口向上，对称抽为：x=1， 所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增， 所以f （x ）的最小值为：f （2）=22
﹣2×2=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．
15．【答案】 20 ．
【解析】解：（1+x ）（x 2+）6
的展开式中，
x 3的系数是由（x 2+）6的展开式中x 3与1的积加上x 2与x 的积组成；
又（x 2+）6
的展开式中，
通项公式为 T r+1=•x 12﹣3r ，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=
，不合题意，舍去；
所以展开式中x3的系数是=20．
故答案为：20．
16．【答案】A
【解析】
17．【答案】2．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．
18．【答案】（﹣∞，3]．
【解析】解：f′（x）=3x2﹣2ax+3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0，
∴a≤3；
实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），
，
由，可得与共线；
（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得
与垂直， 设M （t ，0）（0≤t ≤2），则B （2，0），D （0，1），M （t ，0），
，
由
=﹣2（t ﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB 上存在点，使得
与
垂直；
（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，在上的投影最大，
则
有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
20．【答案】
【解析】解：∵直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2
=1有公共点
∴
≤1⇒a 2≥1，即a ≥1或a ≤﹣1，
命题p 为真命题时，a ≥1或a ≤﹣1；
∵点（a ，1）在椭圆内部，
∴
，
命题q 为真命题时，﹣2＜a ＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p 且¬q ”是真命题，则命题p ，￢q 都是真命题
即p 真q 假，则
⇒a ≥2或a ≤﹣2． 故所求a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
21．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，
a3===，
a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等奖的概率P（ξ=240）=，
P（ξ=60）=
P（ξ=30）=，
P（ξ=0）=1﹣
∴变量的分布列是ξ
30
60
240
∴E ξ=
=20
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣
四次抽奖是相互独立的
∴中奖次数η～B （4，）
∴D η=4×
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=sinx ﹣2sin 2
=sinx ﹣2×
=sinx+
cosx ﹣
=2sin （x+
）﹣
∴f （x ）的最小正周期T==2π；
（2）∵x ∈[0，]，
∴x+
∈[
，π]，
∴sin （x+）∈[0，1]，即有：f （x ）=2sin （x+
）﹣∈[﹣
，2﹣]，
∴可解得f （x ）在区间[0，
]上的最小值为：﹣
．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
24．【答案】（1）f x （）在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()()
()2
2211x x
f x e x x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()(
)2
1x
f x x e
a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又(
)
1f
a a =-=-，
10,1a ->∴>，即0f
>，
由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f
⋅<，
()
f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()2
1x
f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()0
2
001x f x e
x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()0
2
0010x
f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
21,P a e ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，2OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()2
21m k f m e m a e
=+'==-
，
又题目需证明1m ≤
，即()3
21m a e +≤-，
则只需证明()3211m m e m +≤+，即1m
m e +≤。

令()()1m
g m e m =-+，则()1m
g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减， 当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m m e ∴+≤，
1m ∴≤，得证。