八年级数学常考点精练(苏科版)：专题02 截长补短证全等(原卷版)

专题02截长补短证全等
类型一截长证全等
1．
如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．
2．如图，已知：在ABC 中，60B ，CE 、AF 是ABC 的角平分线，交于点O 求证：AC AE CF ．
3．如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB －MC ＜AB －AC ．
4．如图，120CAB ABD ，AD 、BC 分别平分CAB 、ABD ，AD 与BC 交于点O ．
（1）求AOB 的度数；
（2）说明AB AC BD 的理由．
5．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ，CE AB 于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．
6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．
7．已知：如图，2AB AC ，BAD CAD ，DA DB ，求证：90ACD .
8．如图，AD BC ∥，DC AD ，AE 平分BAD ，且E 是DC 中点试问：AD 、BC 和AB 之间有何关系？并说明理由.
9．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，EF AE 交DCE 外角的平分线于F ．
（1）求证：AE EF ；
（2）如图，当E 是BC 上任意一点，而其它条件不变，AE EF 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
类型二补短证全等
10．
已知：如图所示，在ABC 中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC ，求证：AF EF ．
11．如图，在△ABC 中，AB AC ，D 是三角形外一点，
且60ABD ，BD DC AB ．求证：60ACD 12．在ABC 中，60ABC ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE ，AED C ．
（1）求CDE 的度数；
（2）求证：AD DE BD ．
13．如图，四边形ABCD 中，180B D ，150BCD ，CB CD ，M 、N 分别为AB 、AD 上的动点，且75MCN ．求证：MN BM DN ．
14．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD ，180B D ，连接AC ．
①小明发现，此时AC 平分BCD ．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB 到点E ，使得BE CD ，连接AE ，证明ABE ADC △≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC 平分BCD ．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当90BAD 时，请你判断线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰CDE △、等腰ABD △的顶点分别为A 、C ，点B 在线段CE 上，且180ABC ADC ，请你判断DAE 与DBE 的数量关系，并证明．
15．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．
（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC （3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．
类型三截长补短证全等
16．
（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ，180A C ．求证：DA DC ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA ，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC ，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC 时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ，DA DC ，过点D 作DE BC ，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．
17．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD 的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC ．
小聪同学发现以下两种方法：
方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD ，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD 的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ，
11802
D BCD ，求证：CB C
E ．。