内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法选讲

F1
F3 = x 、 F2 、
,则需 6x 500 ,解得 x 500 ， F 均要大于 500 kg ． 6 3
6 第四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
F2
F1
F3
F2 F3 F1
F1 A
F3
F2 C
O
B
500kg
合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
为 y 轴的单位长度，建立空间直角坐标系 A─xyz ,则正三角形的顶点坐标分别为
A(0,0 , 0), B(0,1, 0) ,C(
3,1 22
, 0)
设 F1 方向上的单位向量坐标为(x, y , z) ，
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
∴
cos
60
1 (x, y , z)( 2
第二页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 500，kg在
它 形的的两顶边点处之间分别的受夹力角都是、F1 、，F且2 60，F3每个F力1 与 F同2 它 相F3邻.的这20三块0kg角钢
板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大 时，才能提起这块钢板？
分析:钢板所受重力的大
z
小为 500kg ，垂直向下作用在
F1
三角形的中心 O ，如果能将各
顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用
向量形式表示，求出其合力， A 就能判断钢板的运动状态. x
F3
F2 C
O
B
y 500kg
第三页，编辑于星期日：六点 三十六分。
解：如图，以点 A 为原点,平面 ABC 为 xAy 坐标平面，AB 方向为 y 轴正方向, AB
3.2 立体几何中的向量方法(5)
----向量的方法解空间综合问题
第一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
复习引入
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.
（3）解：已知PB EF,由（2）可知PB DF, 故EFD是二面角C PB D的平面角。
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
P
因为PF k PB
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0
所以k 1
3
A
X
F
E
D
C
Y
B
第十页，编辑于星期日：六点 三十六分。
点F的坐标为( 1 ，1 ，2 ) 333
又点E的坐标为(0, 1 , 1) 22所以FE 源自( 1 , 1 , 1) 36 6
因为cos EFD FE • FD FE FD
X
D
G
C Y
B
第七页，编辑于星期日：六点 三十六分。
且PA (1,0,1), EG (1 ,0, 1) 22
所以PA 2EG，即PA // EG
而EG 平面EDB,且PA 平面EDB
所以，PA // 平面EDB
Z
(2)求证：PB⊥平面EFD
P
F
E
D
C Y
A
G
B
X
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第十二页，编辑于星期日：六点 三十六分。
1．如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为θ，
在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 A’E=m，AF=n，
EF=l，求公垂线 A A′的长 d.
解： EF EA AA AF EF 2 (EA AA AF )2
2
2
2
EA AA AF 2(EA AA EA AF AA AF )
AA EA, AA AF < EA, AF >=π—θ（或θ），
l2
EA2
2
A A
AF
2
2EA
AF
m2 d 2 n2 2mn cos
当E,F在公垂线同一侧时取负号
d l 2 m2 n2 2mn cos
第十三页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
合力
F1
F2
F3
200
(
11 ,,
12 2
2) ( 3
1 ,1 , 12 2
2) ( 3
1 ,0,
3
2
3
)
200(0 ,0
,
6)
这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为 200 6kg ,作用点为 O .
由于 200 6 500 ,所以钢板仍静止不动
要提起这块钢板,设 F1 F2
因此,要提起这块钢板,
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
设CnnCE••E, ACABEB1(1的1,1公0,00)垂, A线即B1的方(x2向2,2x向,y4)量,20y为n4z(x,0y, z).则 A1
C1
C
z
B1
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
第十五页，编辑于星期日：六点 三十六分。
3 , 1 , 0)① 22
又∵ x2 y2 z2 1 ③
cos 60
1 (x, y 2
∴由①②③可解得
, z)
x
(0
,1
, 0)
1
,
y
②
1
,
z
12 2
2 3
.
∴
F1
200(
1 ,1, 12 2
2) 3
同法可求得 F2 200(
1 ,1 , 12 2
2 3
)
,
F3
200(
1 ,0, 3
2) 3
(1)求证：PA//平面EDB
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设 DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG Z
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
11
P
E(0, , )
22 因为底面ABCD是正方形，
E F
所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(1 , 1，0) 22 A
（2）证明：依题意得B(1,1,0), PB (1,1,1)
又DE (0, 1 , 1),故PB • DE 0 1 1 0
22
22
所以PB DE
Z
由已知EF PB,
且EF DE E,
P
所以PB 平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D
C
Y
A B
X
第九页，编辑于星期日：六点 三十六分。
( 1 , 1 , 1) • ( 1 , 1 , 36 6 3 3 6• 6 63
2) 3
1
6 1
3
1 2
所以EFD 60,即二面角C PB D的大小为60.
第十一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
异面直线间的距离
1．如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为θ，
在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 A’E=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A′的长 d.
第五页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于 点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
P
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D
C
A B
第六页，编辑于星期日：六点 三十六分。
A
B
在C两E与直A线B1上的各距取离点d C|,nA|•,nC|AC |A2(13,30,.0).
xE
y
第十四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
小结
利用空间向量解决立体几何中的问题,首 先要探索如何用空间向量来表示点、直线、 平面在空间的位置以及它们的关系.即建立立 体图形与向量之间的联系,这样就可以将立体 几何问题转化成空间向量的问题.解决立体几 何中的问题,有三种常用方法:综合方法、向量 方法、坐标方法,对具体问题要会选用合适得 方法.